2022-2023學年天津市寶城區第一中學高一上學期期末線上練習數學

試題

一、單選題

1.已知集合A={x|-l<x<l},B={x|0<x<2},則Au3=()

A.㈠⑵B.(-1,2]C.[0,1)D.10,1J

【答案】B

【分析】直接利用并集的定義求解.

【詳解】因為A={x|-l<x<l},B={x|0<x<2},

所以AuB=(T,2].

故選：B

2.下列函數在其定義域內既是奇函數，又是增函數的是()

3

A.y=-log2x(x>0)B.y=x+x(xeR)

C.y=3*(xeR)D.y=cosx

【答案】B

【分析】先判斷定義域是否關于原點對稱，再把r代入解析式，看是否與原解析式相反.若函數為奇

函數，則進一步判斷函數的單調性.

【詳解】對于A項，定義域為{x|x>0}不關于原點對稱，所以函數不是奇函數，故A錯誤；

對于B項，令〃x)=x+x3,定義域為R,且/(—x)=—x+(—xy=-(犬+/)=-/(同，所以函數為奇

函數.又函數y=x以及y=d均是R上的增函數，所以/(力=尤+丁是增函數，故B項正確；

對于C項，令g(x)=3',函數定義域為R,g(_x)=3-*=$3，，所以函數不是奇函數，故C項錯

誤；

對于D項，令//(x)=cosx,函數定義域為R,〃(一x)=cos(-x)=cosx=/z(x),所以函數為偶函數，

不是奇函數，故D項錯誤.

故選：B.

Qinr4-4r

3.函數y=陋芾竺的圖象大致為()

22

Six

甘

2

\Q}x

【答案】A

【分析】根據函數的奇偶性，可排除C、D,利用/⑴和％一”時，/(力-0,結合選項，即可求

津

【詳解】由題意，函數〃力=s方inX"產+4的Y定義域為R,

所以函數/(x)為奇函數，圖象關于原點對稱，排除C、D；

當x=l時，可得〃1)="詈e"2)，且時，〃x)fO,

結合選項，可得A選項符合題意.

故選：A.

4.己知函數y=log“(x+2)+3的圖象恒過定點A,若角。的頂點與原點重合，始邊與x軸的非負半

軸重合，且點A在角a的終邊上，則tan(a+[)的值為()

A.—B.2C.gD.-2

22

【答案】A

【分析】根據對數型函數求出恒過定點A,根據任意角的三角函數求出tana,代入求解.

【詳解】函數y=log〃(x+2)+3的圖象恒過定點A

x+2=1x=-l/、

),=3，所以A(T3)

y=logul+3

點A(T,3)在角a的終邊上

tana=-3

7U

tana+tan—.「.

4_tana+1_-3Q+1

z.tana+—

I4?.兀1—tanCL1—(—3)2

1—tana?ftan—''

4

故選：A

5.已知扇形的周長為6cm,該扇形的圓心角是1弧度，則該扇形的面積()

1217

A.4cm2B.2cm2C.—cm~D.—cm

24

【答案】B

【分析】求出扇形半徑，然后由扇形面積公式計算.

【詳解】設扇形半徑為小則2r+r=6,r=2,

所以扇形的面積S=；xlx22=2.

故選：B.

2

6.函數，(x)=lnx-R可的零點所在的區間是()

A.(3,4)B.(2,3)C.(1,2)D.(0,1)

【答案】B

【分析】根據函數解析式，結合/(x)在(0,1)、(1,鈣)的值域情況、單調性，結合零點存在性定理判

斷零點所在區間即可.

【詳解】fCO的定義域為“或>。且XN1},

2

在(0,1)上，/(》)=11一k<0恒成立，不存在零點，排除D；

2

在(l,xo)上，y=\nx,y=——；均遞增，即/㈤在該區間上單調遞增，

x-1

2

由解析式知：/⑵=坨2-2<0,/⑶=ln3-l>0,/(4)=ln4-->0,

零點所在的區間是(2,3).

故選：B.

7.設函數“x)=cos(2x-?,則下列結論正確的是()

A.f(x)的圖象關于直線對稱

B.的圖象關于點(親0bJ?稱

C.)=/卜+￡|是偶函數

D.f(x)在區間0,|上單調遞增

【答案】c

【分析】對于A,求出函數的對稱軸，可知不存在kez使得對稱軸為直線x=-2,A錯誤;

對于B,求出函數的對稱中心，可知不存在kez使其一個對稱中心為B錯誤;

對于C,由/（X）求出/口+7），利用誘導公式，結合偶函數的定義，可得C正確；

對于D,當XC04時，求出整體"=2x-g的范圍，驗證y=cos〃不是單調遞增，D錯誤.

【詳解】由2x-E=E,ZeZ解得x=F+竺，左eZ,

362

所以函數/（x）=cos?-2的對稱軸為X」+”，AwZ,

I62

由紅條若解得％=故A錯誤;

?_7C,7T,__口5兀kit.—

由2x---=/：7r+--,keZx=—4--,kwZ,

32122

所以函數〃x)=cos(2x-T的對稱中心為信+與,0),AeZ,

由各+”=B解得”=-2eZ,故B錯誤；

12262

71

=cos2x+—=cos2x,而cos[2(-x)J=cos(-2x)=cos2x,

I6~3

所以丫=/卜+^|是偶函數，c正確；

TTTT

令〃=2x-§,當0,y時，

兀「兀兀［口口「兀兀

2x——G——，一gjUG——,

333」33」

此時y=cos〃在"w不是單調遞增函數，故D錯誤.

故選：C.

02

8.己知a=logs4,b=log022,c=2,則。，b,c的大小關系為()

A.b<a<cB.a<b<c

C.b<c<aD.c<b<a

【答案】A

【分析】根據對數函數及指數函數單調性，比較。，b,。與0,1的大小關系即可得答案.

02

【詳解】解:H^JO=log51<log54<log55=1,log022<log02l=0,2->2°=b

所以Ovavl,Z?<0,c>l,

所以Z?<a<c,

故選：A.

9.要得到函數y=0cosx的圖象，只需將函數y=^sin（2x+?）的圖象上所有的點的

A.橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再向左平行移動￡個單位長度

4

TT

B.橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再向右平行移動g個單位長度

O

C.橫坐標縮短到原來的9倍（縱坐標不變），再向左平行移動9個單位長度

/O

D.橫坐標縮短到原來的■倍（縱坐標不變）,再向右平行移動/單位長度

【答案】A

【詳解】令r：s2、in（2x?'T），當函數圖象上所有的點橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標

4

1

不變）時，函數為1?一/（r）-v2sin（v+^）.若圖象再向左平行移動￡個單位長度，則函數為

z244

于是選A.

二、填空題

10.化簡cos480的值是.

【答案】-g##-0.5

【分析】利用三角函數誘導公式和特殊角三角函數值即可求得cos480的值.

【詳解】cos480=cos（480-36。）=cos12。

=cos（180-60）=-cos60=

故答案為：

11.函數y=tan（3x-?卜勺單調增區間是.

?（兀k冗兀.r

【答案】U+r7+TreZ

【分析】根據正切函數的單調性即可得出答案.

【詳解】解：令飛kTC<3x-?<gkn,

nkji7ikTr.

得zn——+—<x<—+—,keZ,

12343

所以函數丫力中二力的單調增區間是(卡+g5+g)?eZ.

nk兀兀k7t\,r

故答案為:——+—，—+——\,keZ.

12343)

12.下列說法正確的是

①若=2,則：的值為1；

⑴ah

②已知。>0/>02+1=4,則a+46的最小值為9；

ab

③設xeR,則“必-5x<0”是"|x-l|<1"的充分而不必要條件.

【答案】①

【分析】①由3"=(|1=2,得"=kg?2,匕=log：2,再利用對數運算求解判斷；②由基本不等式求

解判斷；③利用充分條件和必要條件的定義判斷;

【詳解】解：①由仔)得。=嗚=嚏

3"==2,12S2,則

112I22)

+-=log3+log-=log3x-=log2=l,故正確;

b2252:53)2

②由Q+4Z?=；(〃+4Z?)

當且僅當日弋，即〃=%高時，等號成立，故錯誤;

③由f-5x<0,得0<x<5,由得0<x<2,所以“Y-5x<0”是<1"的必要不充

分條件，故錯誤;

故選：A

13.己知函數/(x)=2sins?>0)在區間-與看上單調，且在區間［0,2句內恰好取得一次最大

值2,則。的取值范圍是.

12

【答案】—<C0<—

43

【分析】利用題給條件列出關于。的不等式組，解之即可求得。的取值范圍.

37rjr

【詳解】函數〃x)=2sins(0>O)在區間-工；上單調，

且在區間［0,2可內恰好取得一次最大值2,

3兀〉n

42co

5兀12

貝I」>>2兀解之得冷"

2co

—<2n

2co

12

故答案為：V"用

三、雙空題

e叫X40

14.已知函數/(x)=4，函數y=/(x)-。有四個不同零點，從小到大依次為

x+——3,x>0

.x

則實數。的取值范圍為;x,x2+x3x4的取值范圍為.

【答案】d,e][4,5)

【分析】根據函數性質畫出/(x)的圖象，將問題化為/")與'有四個交點，數形結合法求a范圍,

再由和三是(彳+1)2_11?4=0的兩個根、%，%是f-(a+3)x+4=0的兩個根，結合根與系數關系求

司當+4匕的范圍.

【詳解】由題設，當xe(Yo,-l)時，y=e7Te(l,+oo),且單調遞減；

當xw(-l,O]時,y=ex+1G(l,e],且單調遞增；

4

當xe(0,2),y=x+——3e(l,+oo),且單調遞減；

X

4

當xw(2,+oo),y=x+——3G(1,4-CO),且單調遞增；

X

所以y=/(x)-。有四個不同零點，即/(X)與y有四個交點，由圖知：IvaKe,

4

則在y=』+"上，&，匕在丫=工+一—3上，

x

令炭+"=盧+"=。,則|百+1|=|工2+1|=—。,即%是(％+1)2-ln%=0的兩個根,故xM2=lTn%,

4

而也,匕是X+—一3=〃，即x2-(a+3)x+4=0的兩個根，故為5=4,

x

2

所以+x3x4=5-lnae[4,5).

故答案為：a,e],[4,5)

【點睛】關鍵點點睛:將問題轉化為與y=a有四個交點,數形結合求參數范圍，進而把不々，三用

看作對應方程的根，應用根系關系及對數性質求范圍.

四、解答題

15.已知幕函數g(x)=x"的圖象經過點(2,0),函數/")=g，]：；.為奇函數.

⑴求幕函數y=g(x)的解析式及實數b的值；

(2)判斷函數/(x)在區間上的單調性，并用的數單調性定義證明.

【答案】(l)g(x)=?；b=0

⑵f(x)在(T/)上單調遞增，證明見解析

【分析】(1)首先代點，求函數的解析式，利用奇函數的性質/(0)=0,求。，再驗證；

(2)根據函數單調性的定義，設-1〈占〈三＜1,作差/(占)-/(馬)，判斷符號，即可判斷函數的單

調性.

L11

【詳解】(1)由條件可知2"=&，所以“=5,即g(x)=/=&,

所以g(4)=2,

Oy_1_卜Oy-

因為/(力=?氣是奇函數，所以"0)=6=0,即/(》)=言!，

滿足/(r)=-/(x)是奇函數，所以b=0成立；

(2)函數/(x)在區間(-1,1)上單調遞增，證明如下，

由(1)可知〃制=島，

在區間(T』)上任意取值占，%,且為＜七,

f(\_f(\_2占_2x?_2(%-1)

“YJ-八%r)-后一而一解+川￥+1)

因為-1<X1<超<1,所以12-占>0,(k+1)(若+1)>0

所以(王)＜0,

即/(玉)</(9),

所以函數在區間上單調遞增.

16.已知函數/(x)=Asin(a)x+e)(其中4＞0,。＞0,|同＜弓)的圖像如圖所示.

⑴求函數/(x)的解析式;

(2)若將函數y=/(x)的圖像上的所有點的縱坐標不變，橫坐標伸長到原來的2倍，得到函數g(x)的

圖像，g(a)=|，ae(*j，求cosa的值.

【答案】⑴f(x)=sin(2x+"

⑵處

10

【分析】(1)先利用題給圖像求得A09的值，進而求得函數/(x)的解析式;

(2)先求得g(a)的解析式，再利用兩角差的余弦公式即可求得cosa的值.

【詳解】⑴由:="4,可得了=兀，則。=個=2,

由函數〃x)的圖像過點(稱，-1]，可得A=l,2、得+夕=2也+學#eZ,

解之得9=2E+g,ZeZ,又則9=],

則函數〃x)的解析式為/(x)=sin(2x+])

(2)將函數y=/(x)的圖像上的所有點的縱坐標不變,

橫坐標伸長到原來的2倍，得到函數g(x)的圖像，則g(x)=sin[x+5

則g(a)=sin(a+g)=],

由ae仁,兀

貝|cosa=cos(a+j

13白

4+X一=3V3-4

2-5-2

510

17.已知函數/(x)=26sinscoss+2cos23且函數圖像中相鄰兩條對稱軸間的距離為不

⑴求。的值及函數的單調遞增區間；

(2)當-pO時，求函數/("的最值，并寫出相應的自變量的取值.

兀兀

【答案】⑴0=1,kit--,kn+—,keZ；

_3o_

⑵當X=J時，〃X)取最小值_1；當x=0時，/(X)取最大值2.

【分析】(1)先利用函數f(x)的周期求得。的值，再利用整體代入法即可求得函數“X)的單調遞

增區間；

(2)利用正弦函數的圖像性質即可求得函數f(x)的最值及相應的自變量的取值.

【詳解】(1)/(x)=2>/3sincoxcos<yx+2cos2cox

=A/3sin2(vx+l+cos26yx=2sin(2(ux+￡)+l

又函數F(x)圖像中相鄰兩條對稱軸間的距離為,

則!=三，解之得T=兀，貝1]生=無，解之得。=1,

222a)

則/"(公=2$布(2》+看)+1.

由2E一]W21+看《2E+^,可得也一^(工工也+看,

jrjr

則函數fX的單調遞增區間為kn--,kn+-,kwZ；

Jo

(2)由(1)可得，/(x)=2sin|2%+-^|+1

.7T..._715兀7U（入兀

當一不°時，2x+—e,則一IKsm21十:47,

2J6|_66」V6J2

則—1?2sin（2x+7）+1W2.

當x=-j即2x+m=-J時，函數〃X）取最小值T；

362

當x=0,即2x+g=S時，函數〃x）取最大值2.

18.已知二次函數/。)=皿2-2》-3,關于x的不等式/。)<0的解集為(-1,〃)

⑴求實數九、”的值;

(2)當a<1時，解關于x的不等式ox?+〃+1>(加+1)彳+2奴；

⑶當ae(O,l)是否存在實數使得對任意xe[l,2]時，關于x的函數g(x)=/(?')-3/”有最小值-5.

若存在，求實數“值；若不存在，請說明理由

【答案】⑴加=1,〃=3；

(2)答案見解析；

⑶存在，“=叵

【分析】(1)利用給定條件結合一元二次不等式與一元二次方程的關系，借助韋達定理計算作答.

(2)分類討論求解一元二次不等式即可作答.

(3)換元，借助二次函數在閉區間上最值，計算判斷作答.

【詳解】(1)依題意，不等式〃*-2x-3<0的解集是(T，"),因此，-