PAGE8PAGE2.3冪函數整體設計教學分析冪函數作為一類重要的函數模型,是學生在系統地學習了指數函數、對數函數之后研究的又一類基本的初等函數.學生已經有了學習指數函數和對數函數的圖象和性質的學習經歷,冪函數概念的引入以及圖象和性質的研究便水到渠成.因此,學習過程中,引入冪函數的概念之后,嘗試放手讓學生自己進行合作探究學習.本節通過實例,讓學生認識到冪函數同樣也是一種重要的函數模型,通過研究y＝x,y＝x2,y＝x3,y＝x-1,y＝x等函數的性質和圖象,讓學生認識到冪指數大于零和小于零兩種情形下,冪函數的共性：當冪指數α＞0時,冪函數的圖象都經過點（0,0）和（1,1）,且在第一象限內函數單調遞增；當冪指數α＜0時,冪函數的圖象都經過點（1,1）,且在第一象限內函數單調遞減且以兩坐標軸為漸近線.在方法上,我們應注意從特殊到一般地去進行類比研究冪函數的性質,并注意與指數函數進行對比學習.將冪函數限定為五個具體函數,通過研究它們來了解冪函數的性質.其中,學生在初中已經學習了y=x,y=x2,y=x-1等三個簡單的冪函數,對它們的圖象和性質已經有了一定的感性認識.現在明確提出冪函數的概念,有助于學生形成完整的知識結構.學生已經了解了函數的基本概念、性質和圖象,研究了兩個特殊函數：指數函數和對數函數,對研究函數已經有了基本思路和方法.因此,教材安排學習冪函數,除內容本身外,掌握研究函數的一般思想方法是另一目的,另外,應讓學生了解利用信息技術來探索函數圖象及性質是一個重要途徑.學習中學生容易將冪函數和指數函數混淆,因此在引出冪函數的概念之后,可以組織學生對兩類不同函數的表達式進行辨析.三維目標1.通過生活實例引出冪函數的概念,會畫冪函數的圖象,通過觀察圖象,了解冪函數圖象的變化情況和性質,加深學生對研究函數性質的基本方法和流程的經驗,培養學生概括抽象和識圖能力,使學生體會到生活中處處有數學,激發學生的學習興趣.2.了解幾個常見的冪函數的性質,通過這幾個冪函數的性質,總結冪函數的性質,通過畫圖比較,使學生進一步體會數形結合的思想,利用計算機等工具,了解冪函數和指數函數的本質差別,使學生充分認識到現代技術在人們認識世界的過程中的作用,從而激發學生的學習欲望.3.應用冪函數的圖象和性質解決有關簡單問題,培養學生觀察分析歸納能力,了解類比法在研究問題中的作用,滲透辯證唯物主義觀點和方法論,培養學生運用具體問題具體分析的方法去分析和解決問題的能力.重點難點教學重點:從五個具體的冪函數中認識冪函數的概念和性質.教學難點:根據冪函數的單調性比較兩個同指數的指數式的大小.課時安排1課時教學過程導入新課通過例題檢驗預習來引入新課【例題】下列函數中，是冪函數的有？（適當引導：從自變量所處的位置這個角度）（引入新課,書寫課題:冪函數）.思路2.我們前面學習了三類具體的初等函數:二次函數、指數函數和對數函數,這一節課我們再學習一種新的函數——冪函數,教師板書課題:冪函數.推進新課新知探究提出問題問題①:冪函數的定義問題②:我們前面學習指對數函數的性質時,用了什么樣的思路?研究冪函數的性質呢?問題③:畫出y=x,y=x,y=x2,y=x-1,y=x3五個函數圖象,完成下列表格.函數性質y=xy=x2y=x3y=xy=x-1定義域值域奇偶性單調性特殊點圖象分布問題⑤:通過對以上五個函數圖象的觀察,哪個象限一定有冪函數的圖象？哪個象限一定沒有冪函數的圖象？哪個象限可能有冪函數的圖象,這時可以通過什么途徑來判斷？問題⑥:通過對以上五個函數圖象的觀察和填表,你能類比出一般的冪函數的性質嗎?活動：考慮到學生已經學習了指數函數與對數函數,對函數的學習、研究有了一定的經驗和基本方法,所以教學流程又分兩條線,一條以內容為明線,另一條以研究函數的基本內容和方法為暗線,教學過程中同時展開,學生相互討論,必要時,教師將解析式寫成指數冪形式,以啟發學生歸納,學生作圖,教師巡視,學生小組討論,得到結論,必要時,教師利用幾何畫板演示.討論結果：①通過觀察發現這些函數的變量在底數位置,解析式右邊都是冪,因為它們的變量都在底數位置上,不符合指數函數的定義,所以都不是指數函數.②由于函數的指數是一個常數,底數是變量,類似于我們學過的冪的形式,因此我們稱這種類型的函數為冪函數,如果我們用字母α來表示函數的指數,就能得到一般的式子,即冪函數的定義:一般地,形如y=xα（x∈R）的函數稱為冪函數,其中x是自變量,α是常數.如y=x2,y=x,y=x3等都是冪函數,冪函數與指數函數、對數函數一樣,都是基本初等函數.③我們研究指對數函數時,根據圖象研究函數的性質,由具體到一般;一般要考慮函數的定義域、值域、單調性、奇偶性;有時也通過畫函數圖象,從圖象的變化情況來看函數的定義域、值域、單調性、奇偶性等性質,研究冪函數的性質也應如此.④學生用描點法,也可應用函數的性質,如奇偶性、定義域等,畫出函數圖象.利用描點法,在同一坐標系中畫出函數y=x,y=x,y=x2,y=x3,y=x-1的圖象.列表:x…-3-2-10123…y=x…-3-2-10123…y=x…011.411.73…y=x2…9410149…y=x3…-27-8-101827…y=x-1…--11…描點、連線.畫出以上五個函數的圖象如圖2-3-1.圖2-3-1讓學生通過觀察圖象,分組討論,探究冪函數的性質和圖象的變化規律,教師注意引導學生用類比研究指數函數、對數函數的方法研究冪函數的性質.通過觀察圖象,完成表格.函數性質y=xy=x2y=x3y=xy=x-1定義域RRR{x|x≥0}{x|x≠0}值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0}奇偶性奇奇奇非奇非偶奇單調性在第Ⅰ象限單調遞增在第Ⅰ象限單調遞增在第Ⅰ象限單調遞增在第Ⅰ象限單調遞增在第Ⅰ象限單調遞減特殊點(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)圖象分布第Ⅰ、Ⅲ象限第Ⅰ、Ⅱ象限第Ⅰ、Ⅲ象限第Ⅰ象限第Ⅰ、Ⅲ象限⑤第一象限一定有冪函數的圖象；第四象限一定沒有冪函數的圖象；而第二、三象限可能有,也可能沒有圖象,這時可以通過冪函數和定義域和奇偶性來判斷.⑥冪函數y=xα的性質.（1）所有的冪函數在（0,+∞）都有定義,并且圖象都過點（1,1）（原因：1x=1）；（2）當α＞0時,冪函數的圖象都通過原點,并且在\[0,+∞)上是增函數（從左往右看,函數圖象逐漸上升）.特別地,當α＞1時,x∈（0,1）,y=x2的圖象都在y=x圖象的下方,形狀向下凸,α越大,下凸的程度越大.當0＜α＜1時,x∈（0,1）,y=x2的圖象都在y=x的圖象上方,形狀向上凸,α越小,上凸的程度越大.（3）當α＜0時,冪函數的圖象在區間（0,+∞）上是減函數.在第一象限內,當x向原點靠近時,圖象在y軸的右方無限逼近y軸正半軸,當x慢慢地變大時,圖象在x軸上方并無限逼近x軸的正半軸.應用示例【例1】判例1.已知冪函數的圖象過點（2,），試求出此函數的解析式.變式訓練：如果函數是冪函數，求實數m的值.【例2】比較下列各組數的大小.【例3】證明冪函數f(x)=在［0,+∞)上是增函數.活動：學生先思考或討論,再回答,教師根據實際,可以提示引導.證明函數的單調性一般用定義法,有時利用復合函數的單調性.證明：任取x1,x2∈［0,+∞),且x1＜x2,則f(x1)-f(x2)===,因為x1-x2＜0,x1+x2＞0,所以＜0.所以f(x1)<f(x2),即f(x)=在［0,+∞)上是增函數.點評：證明函數的單調性要嚴格按步驟和格式書寫,利用作商的方法比較大小,f(x1)與f(x2)的符號要一致.課堂小結1.冪函數的概念.2.冪函數的性質.3.冪函數的性質的應用.作業必做題：課本P79習題2.3第1題設計感想冪函數作為一類重要的函數模型,是學生在系統地學習了指數函數、對數函數之后研究的又一類基本的初等函數,課本內容較少,但高考內容不少,應適當引申,所以設計了一些課本上沒有的題目類型,以擴展同學們的視野,同時由于作圖的內容較多,建議抓住關鍵點作圖,要會熟練地運用計算機或計算器作圖,強化對知識的理解.學情分析學生已經接觸過函數，已經確立了利用函數的定義域、值域、奇偶性、單調性研究一個函數的意識，已初步形成對數學問題的合作探究能力。雖然前面學生已經學會用描點列表連線的畫圖的方法來繪制指數函數，對數函數的圖象，但是對于冪函數圖象的畫法仍然缺乏感性認識。學生層次參差不齊，個體差異比較明顯。效果分析通過課堂的整理、總結與反思，使學生對冪函數的圖象及性質有了更深的學習。提升了學生數形結合的思想，設計研究型學習活動，誘發學生創造性的想象，同時教會學生如何開展研究型學習。本節內容之后，將把指數函數、對數函數、冪函數科學的組織起來，提現充滿在整個數學中的組織化，系統化的精神，讓學生了解系統研究一類函數的方法，以便能將該方法遷移到對其他函數的研究。評測練習1.下列函數中不是冪函數的是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案：Ｃ2.下列函數在上為減函數的是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案：Ｂ3.下列冪函數中定義域為的是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案：Ｄ4．函數y＝（x2－2x）的定義域是（）A．{x|x≠0或x≠2}B．（－∞，0）（2，＋∞）C．（－∞，0）］［2，＋∞］D．（0，2）解析：函數可化為根式形式，即可得定義域．答案：B5．函數y＝（1－x2）的值域是（）A．［0，＋∞］B．（0，1）C．（0，1）D．［0，1］解析：這是復合函數求值域問題，利用換元法，令t＝1－x2，則y＝．∵－1≤x≤1，∴0≤t≤1，∴0≤y≤1．答案：D課后反思本節課，主要研究冪函數，用過圖象特征來研究其性質。前面學生學習了指數函數，現在接觸冪函數，在圖象上可能會與指數函數混淆，于是可通過計算機演示冪函數的圖象來研究冪函數，加深學生對新知識的理解。本節課的難點是冪函數圖象隨指數變化的規律，學生通過計算機上的演示和操作，對大量的圖象進行分類，歸納，對掌握函數性質