高一數學（滬教版2020選修第二冊）

第7章

概率初步（續）

７.３常用分布（第1課時）７．３常用分布１二項分布考慮如下問題：一次測驗共有１０道選擇題，每題備有４個選項，其中只有１個正確．如果某學生隨意猜測答題，問其答對一半以上的概率有多大．這樣的概率計算具有普遍性，現在就來討論這種題型的概率計算從這個角度可以證明二項式定理這是這個分布被稱為二項分布的理由．

定義獨立地重復一個成功概率為p的伯努利試驗n次，其成功次數的分布稱為二項分布（ｂｉｎｏｍｉａｌｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ），亦稱成功次數x服從二項分布B(n,p)

獨立重復伯努利試驗是一個非常重要的概率模型，在實際中經常出現．例１獨立地重復n次成功概率為p的伯努利試驗，求至少有一次成功的概率解用X表示成功次數．至少有一次成功相當于X＞０，它的對立事件是X＝０．由概率的性質，至少有一次成功的概率為

直觀地說，做一件事情，不管成功概率多小，只要執著地努力，重復的次數足夠多，就有很大可能會成功．如同俗語所說：失敗是成功之母．反過來說，如果不斷地重復，小概率的壞事也終有可能發生．例如，開車一次發生事故的概率p很小，但是如果每天開車，長期下去還是很有可能發生事故的．所以，不僅每次開車都要格外小心，減小事故發生的概率p，而且要盡可能地減少開車次數n，這樣就能使發生事故的概率盡量減小解用Xk表示第k次隨機試驗的結果：若成功，則Xk

＝１；若失敗，則Xk＝０．總的成功次數X可以表示為按照定義，XK的期望是所以，由期望的線性性質，得

用同樣的方法可以計算X的方差．先計算D［X１］．因為

所以

例２設X服從二項分布B（n，p），求X的期望與方差．

因為每次試驗是獨立地重復，所以X１，X２，…，Xn

是相互獨立的，且D［Xk］＝P（１－P），K＝１，２，…，n．由方差的性質，有課本練習練習７．３（１）

１．已知隨機變量X服從二項分布B（n，P），若E［X］＝３０，D［X］＝２０，求p的值．

２．一批產品的二等品率為０．３．從這批產品中每次隨機取一件，并有放回地抽取２０次．用X表示抽到二等品的件數，求D［X］．隨堂檢測解：1.將一枚質地均勻的硬幣連續拋擲4次，X表示“正面朝上”出現的次數.(1)求X的分布；(2)E(X)＝_______，D(X)＝_________.21解：2.雞接種一種疫苗后，有80%不會感染某種病毒.如果5只雞接種了疫苗，求：(1)沒有雞感染病毒的概率；(2)恰好有1只雞感染病毒的概率.3.判斷下列表述正確與否，并說明理由:(1)12道四選一的單選題，隨機猜結果，猜對答案的題目數X～B(12，0.25)；(2)100件產品中包含10件次品，不放回地隨機抽取6件，其中的次品數Y～B(6，0.1).解：

每道題猜對答案與否是獨立的，且每道題猜對答案的概率為0.25，故猜對答案的題目數X服從二項分布，即X～B(12，0.25).(1)正確.理由如下：

每次抽到次品的概率為0.1，但由于是不放回抽樣，所以每次是否抽到次品不獨立，不滿足二項分布的條件.(2)錯誤.理由如下：所以X的分布為解：5.某射手進行射擊訓練，假設每次射擊擊中目標的概率為0.6，且每次射擊的結果互不影響，已知射手射擊了5次，求: