高三下學(xué)期理數(shù)診斷試卷一、單項(xiàng)選擇題1.集合，，那么〔

〕A.

B.

C.

D.

2.復(fù)數(shù)滿(mǎn)足〔為虛數(shù)單位〕，那么的虛部為〔

〕A.

B.

-1

C.

D.

13.向量滿(mǎn)足，且，那么的夾角大小為〔

〕A.

B.

C.

D.

4.點(diǎn)為雙曲線右支上一點(diǎn)，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，假設(shè)，那么雙曲線的一條漸進(jìn)方程是〔

〕A.

B.

C.

D.

5.2021年9月1日蘭州地鐵一號(hào)線正式開(kāi)通，兩位同學(xué)同時(shí)去乘坐地鐵，一列地鐵有節(jié)車(chē)廂，兩人進(jìn)入車(chē)廂的方法數(shù)共有〔

〕A.

15種

B.

30種

C.

36種

D.

64種6.函數(shù)的圖象如下列圖，那么函數(shù)的圖象為〔

〕A.

B.

C.

D.

7.?九章算術(shù)?卷五?商功?中有如下問(wèn)題：“今有委粟平地，下周一十二丈，高四丈.〞意思是：今將粟放在平地，谷堆下周長(zhǎng)12丈，高4丈.將該谷堆模型看作一個(gè)圓錐，取近似值，那么該圓錐外接球的外表積約為〔

〕A.

55平方丈

B.

75平方丈

C.

110平方丈

D.

150平方丈8.一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，現(xiàn)定義這組數(shù)據(jù)的平均差.以下列圖是甲、乙兩組數(shù)據(jù)的頻率分布折線圖根據(jù)折線圖，判斷甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均差的大小關(guān)系是〔

〕A.

B.

C.

D.

無(wú)法確定9.函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)為1，那么的最大值為〔

〕A.

1

B.

C.

D.

10.以下四個(gè)命題：①是兩條不同的直線，是一個(gè)平面，假設(shè)，那么.②命題“〞的否認(rèn)是“〞.③函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心為.④函數(shù)為上的增函數(shù).其中真命題的個(gè)數(shù)是〔

〕A.

0個(gè)

B.

1個(gè)

C.

2個(gè)

D.

3個(gè)11.是離心率為的橢圓外一點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的光線被軸反射后，所有反射光線所在直線中只有一條與橢圓相切，那么此條切線的斜率是〔

〕A.

B.

C.

1

D.

12.奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，那么的圖象與函數(shù)的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于〔

〕A.

0

B.

9

C.

11

D.

17二、填空題13.“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)〞學(xué)習(xí)平臺(tái)是由中共中央宣傳部主管，以習(xí)近平新時(shí)代中國(guó)特色社會(huì)主義思想和黨的十九大精神為主要內(nèi)容，立足全體黨員、面向全社會(huì)的優(yōu)質(zhì)平臺(tái).2021年1月日，“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)〞學(xué)習(xí)平臺(tái)在全國(guó)上線，某單位組織全體黨員登錄學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)積分得到的頻率分布直方圖如下列圖.假設(shè)學(xué)習(xí)積分在〔單位：萬(wàn)分〕的人數(shù)是32人，那么該單位共有________名黨員，假設(shè)學(xué)習(xí)積分超過(guò)2萬(wàn)分的黨員可獲得“學(xué)習(xí)達(dá)人〞稱(chēng)號(hào)，那么該單位有________名黨員能獲得該稱(chēng)號(hào).14.假設(shè)滿(mǎn)足約束條件，那么的最小值為_(kāi)_______．15.如圖，正方體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)在棱上，，過(guò)的平面與平面平行，且與正方體各面相交得到截面多邊形，那么該截面多邊形的周長(zhǎng)為_(kāi)_______．16.在中，，，那么的值為_(kāi)_______．三、解答題17.為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，.〔1〕求數(shù)列的通項(xiàng)公式；〔2〕假設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.18.在三棱錐中，是的中點(diǎn)，，.〔1〕證明：平面；〔2〕假設(shè)，求二面角的余弦值.19.2021年1月15日教育部制定出臺(tái)了?關(guān)于在局部高校開(kāi)展根底學(xué)科招生改革試點(diǎn)工作的意見(jiàn)?〔也稱(chēng)“強(qiáng)基方案〞〕，?意見(jiàn)?宣布：2021年起不再組織開(kāi)展高校自主招生工作，改為實(shí)行強(qiáng)基方案.強(qiáng)基方案上要選拔培養(yǎng)有志于效勞國(guó)家重大戰(zhàn)略需求且綜合素質(zhì)優(yōu)秀或根底學(xué)科拔尖的學(xué)生.據(jù)悉強(qiáng)基方案的校考由試點(diǎn)高校自主命題，校考過(guò)程中通過(guò)筆試后才能進(jìn)入面試環(huán)節(jié).甲、乙兩所大學(xué)的筆試環(huán)節(jié)都設(shè)有三門(mén)考試科目且每門(mén)科目是否通過(guò)相互獨(dú)立.假設(shè)某考生報(bào)考甲大學(xué)，每門(mén)科目通過(guò)的概率均為，該考生報(bào)考乙大學(xué)，每門(mén)科目通過(guò)的概率依次為，其中.〔1〕假設(shè)，分別求出該考生報(bào)考甲、乙兩所大學(xué)在筆試環(huán)節(jié)恰好通過(guò)一門(mén)科目的概率；〔2〕強(qiáng)基方案規(guī)定每名考生只能報(bào)考一所試點(diǎn)高校，假設(shè)以筆試過(guò)程中通過(guò)科目數(shù)的數(shù)學(xué)期望為依據(jù)作出決策，當(dāng)該考生更希望通過(guò)乙大學(xué)的筆試時(shí)，求的范圍.20.拋物線及點(diǎn).〔1〕以?huà)佄锞€焦點(diǎn)為圓心，為半徑作圓，求圓與拋物線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；〔2〕、是拋物線上不同的兩點(diǎn)，且直線與軸不垂直，弦的垂直平分線恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求的范圍.21..〔1〕判斷函數(shù)是否存在極值，并說(shuō)明理由；〔2〕求證：當(dāng)時(shí)，在恒成立.22.在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的參數(shù)方程為〔為參數(shù)〕.以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.〔1〕假設(shè)，設(shè)雙曲線的一條漸近線與相交于兩點(diǎn)，求；〔2〕假設(shè)，分別在與上任取點(diǎn)和，求的最小值.23.函數(shù).〔1〕當(dāng)時(shí)，畫(huà)出函數(shù)的圖象：〔2〕當(dāng)時(shí)，恒成立，求的范圍.

答案解析局部一、單項(xiàng)選擇題1.【解析】【解答】，故答案為：A

【分析】可求出集合N，然后進(jìn)行交集的運(yùn)算即可．2.【解析】【解答】，所以，那么的虛部是-1.故答案為：B

【分析】首先利用除法法那么化簡(jiǎn)，

再求的虛部。3.【解析】【解答】，，解得：，即，，所以和的夾角大小為.故答案為：A

【分析】根據(jù)

求出m，再代入夾角計(jì)算公式即可．4.【解析】【解答】由題意，點(diǎn)為雙曲線右支上一點(diǎn)，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，因?yàn)椋呻p曲線的定義，可得，解得，所以雙曲線的一條漸進(jìn)方程是，即.所以雙曲線的一條漸進(jìn)方程是.故答案為：C.

【分析】由利用雙曲線定義求得a，即可求得雙曲線的漸近線方程．5.【解析】【解答】每位同學(xué)都可以進(jìn)入地鐵中的任何一節(jié)車(chē)廂，每個(gè)人都有6種方法，所以?xún)扇诉M(jìn)入車(chē)廂的方法數(shù)共有種方法.故答案為：C

【分析】根據(jù)題意，依次分析兩位同學(xué)進(jìn)入車(chē)廂的方法，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．6.【解析】【解答】將函數(shù)的圖象作以軸為對(duì)稱(chēng)軸的翻折變換，得到函數(shù)的圖象，再將圖象向右平移一個(gè)單位，即可得到函數(shù)的圖象．故答案為：D．

【分析】根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)變化和平移變換即可解出。7.【解析】【解答】如下列圖，結(jié)合題意繪出圖像：因?yàn)楣榷严轮荛L(zhǎng)12丈，取近似值3，所以圓錐底面半徑丈，谷堆高4丈，即丈,設(shè)球的半徑丈，那么丈，丈，，解得，該圓錐外接球的外表積約為平方丈，故答案為：B.

【分析】根據(jù)谷堆下周長(zhǎng)12丈可求出底面圓的半徑，設(shè)外接球的半徑為R，利用勾股定理求出R，最后利用球的外表積公式進(jìn)行求解即可．8.【解析】【解答】由給定的平均差公式可知：數(shù)據(jù)越集中于平均值附近，平均差越小.甲乙兩圖的縱坐標(biāo)表示的為頻率/組距，即指數(shù)據(jù)落在此處的概率，甲圖中，不同組距區(qū)間的概率相差不大，即指數(shù)據(jù)較為均勻的分布在各區(qū)間，而乙圖數(shù)據(jù)較為集中的分布在乙圖最高處指代的區(qū)間，其他區(qū)間分布的比較少，故乙圖平均差比較小.故答案為：C

【分析】根據(jù)題意分析平均差是表示一組數(shù)據(jù)離散程度的量，平均差越小，數(shù)據(jù)越集中，結(jié)合頻率分布折線圖得出結(jié)論．9.【解析】【解答】因?yàn)椋李}意有，即，而，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即的最大值為．故答案為：D．

【分析】求出f〔x〕的導(dǎo)函數(shù)，由題意可得f′〔1〕=0，可得，再根據(jù)根本不等式即可求得ab的最大值．10.【解析】【解答】對(duì)于①中，假設(shè)，，那么或，所以①不正確；對(duì)于②中，根據(jù)全稱(chēng)命題與存在性命題的關(guān)系，可得命題“〞的否認(rèn)是“〞，所以②是正確的；對(duì)于③中，令，解得，即函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心為，所以③不正確；對(duì)于④中，當(dāng)，，此時(shí)，所以函數(shù)不是上的增函數(shù)，所以④不正確.故答案為：B.

【分析】直接利用直線和平面的位置關(guān)系，命題的否認(rèn)，三角函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的單調(diào)性與關(guān)系式的關(guān)系的應(yīng)用判定①②③④的結(jié)論．11.【解析】【解答】由題意可知，又，故，設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線斜率為，那么直線方程為：，即那么反射后的切線方程為：由得，因?yàn)樗蟹瓷涔饩€所在直線中只有一條與橢圓相切，，化簡(jiǎn)得：，即，解得故答案為：D.

【分析】設(shè)過(guò)P的直線，由關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)可得反射光線的直線方程，與橢圓聯(lián)立，由判別式等于0，可得k的值．12.【解析】【解答】解析：由于時(shí)，，可知當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)函數(shù)有最大值，又由于當(dāng)時(shí)，，因此可以畫(huà)出函數(shù)與的圖象如圖，由圖象可知，在區(qū)間內(nèi)兩圖象有4個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，在區(qū)間內(nèi)也有4個(gè)與它們關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的交點(diǎn)，這四對(duì)點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為，再加點(diǎn)橫坐標(biāo)，故各交點(diǎn)橫坐標(biāo)之和為9.故答案為：B

【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f〔x〕的單調(diào)性，畫(huà)出函數(shù)f〔x-1〕與函數(shù)y=2sinπx〔-4≤x≤6〕的圖象，由對(duì)稱(chēng)性，數(shù)形結(jié)合即可求得f〔x-1〕的圖象與函數(shù)y=2sinπx〔-4≤x≤6〕的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和．二、填空題13.【解析】【解答】由頻率分布直方圖可知，該單位組織學(xué)習(xí)積分在內(nèi)的黨員所占的頻率為，所以，該單位組織的黨員總?cè)藬?shù)為，該單位組織學(xué)習(xí)積分超過(guò)萬(wàn)分的黨員所占的頻率為，因此，該單位組織能獲得“學(xué)習(xí)達(dá)人〞稱(chēng)號(hào)的黨員人數(shù)為.故答案為：80；8.

【分析】由頻率分布直方圖求出學(xué)習(xí)積分在[1，1.5〕〔單位：萬(wàn)分〕的頻率為0.4，再由學(xué)習(xí)積分在[1，1.5〕〔單位：萬(wàn)分〕的人數(shù)是32人，能求出該單位人數(shù)，求出學(xué)習(xí)積分超過(guò)2萬(wàn)分的黨員所占頻率0.1，由此能求出該單位有0.1×80=8名黨員能獲得該稱(chēng)號(hào)．14.【解析】【解答】如下列圖，可行域?yàn)殛幱熬植浚河山獾茫?dāng)直線經(jīng)過(guò)直線與的交點(diǎn)時(shí)，．故答案為：-3．

【分析】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得答案.15.【解析】【解答】如圖：虛線即為截面圖形，分別為各邊的三等分點(diǎn)，且面面，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，那么，可得,那么截面的周長(zhǎng)為：，那么該截面多邊形的周長(zhǎng)為.故答案為：.

【分析】先利用平行關(guān)系得到截面與正方體的交點(diǎn)位于靠近D1，A，C的三等分點(diǎn)處，從而得到截面為MIHGFE，利用正方體的棱長(zhǎng)求出截面的周長(zhǎng)即可．16.【解析】【解答】在中，，可得即由余弦定理可知，可得，由正弦定理可知，因?yàn)椋?故答案為：.

【分析】先根據(jù)數(shù)量積得到，再結(jié)合余弦定理以及正弦定理即可求解結(jié)論．三、解答題17.【解析】【分析】〔1〕根據(jù)條件求出d的值，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，可求得數(shù)列

的通項(xiàng)公式；

〔2〕利用裂項(xiàng)相消法求和．

18.【解析】【分析】〔1〕在△CBD中，證明BC⊥BD，再利用勾股定理證明BC⊥PB，由線面垂直的判定定理證明即可；

〔2〕建立適宜的空間直角坐標(biāo)系，利用待定系數(shù)法求出平面PBA的法向量，求出平面PBD的