凸多面體碰撞檢測的棱線投影分離算法一、引言

介紹凸多面體碰撞檢測的研究背景、研究意義和現(xiàn)狀，闡述本論文所研究的算法的意義和應(yīng)用價值。

二、凸多面體碰撞檢測的基礎(chǔ)

介紹凸多面體碰撞檢測中的基礎(chǔ)知識，包括凸多面體的定義、判定方法和凸多面體之間的碰撞檢測方法。

三、基于棱線投影的分離算法的設(shè)計與實現(xiàn)

闡述本文所研究的基于棱線投影的分離算法的設(shè)計思路、算法流程和具體實現(xiàn)方式，詳細介紹算法中的關(guān)鍵步驟和技術(shù)細節(jié)。

四、算法性能分析與實驗結(jié)果

對所提出的算法進行性能分析，包括時間復(fù)雜度、空間復(fù)雜度和準確率等方面。同時，給出實驗結(jié)果，驗證算法的有效性和實用性。

五、總結(jié)與展望

總結(jié)本文的研究工作，探討算法的不足之處和未來的改進方向，同時對凸多面體碰撞檢測的發(fā)展趨勢進行預(yù)測和展望。

參考文獻

列出本文所引用的相關(guān)文獻，包括期刊論文、會議論文、專著和相關(guān)技術(shù)文檔等。第一章：引言

隨著計算機圖形學(xué)和游戲技術(shù)的不斷發(fā)展，凸多面體碰撞檢測技術(shù)已經(jīng)成為計算機圖形學(xué)、虛擬現(xiàn)實、游戲開發(fā)等領(lǐng)域中的一個核心問題。凸多面體碰撞檢測主要是指判斷兩個或多個凸多面體之間是否發(fā)生了碰撞，如果發(fā)生了碰撞，則需要計算碰撞發(fā)生的具體位置和碰撞產(chǎn)生的各項參數(shù)，以便進行后續(xù)的畫面渲染、物理仿真等處理。

目前，凸多面體碰撞檢測主要分為兩種方法，一種是基于區(qū)間投影的分離軸方法（SeparatingAxisTheorem，簡稱SAT），另一種則是基于棱線投影的分離算法（EdgeProjectionsMethod，簡稱EPM）。兩種方法各有優(yōu)缺點，SAT算法準確性高，但時間復(fù)雜度高，適合處理少量、密集的多邊形；而EPM算法則相對快速，但準確度稍低，適合處理密度低的多邊形。

本文主要研究的是基于棱線投影的分離算法，該算法通過將多邊形的棱線投影到另一個多邊形判斷是否出現(xiàn)了覆蓋關(guān)系，從而判斷是否發(fā)生了碰撞。本算法主要有三個步驟：分離軸計算、投影計算和覆蓋關(guān)系的判斷。通過分離軸計算，可以得到兩個多邊形的分離軸向量，再將兩個多邊形的所有棱線沿著這兩個分離軸向量進行投影計算，從而判斷是否出現(xiàn)了覆蓋關(guān)系。由于本算法計算量相對較小，運行速度較快，在處理低密度凸多面體碰撞檢測時具有一定的優(yōu)勢。

本論文主要目的是研究基于棱線投影的分離算法，并實現(xiàn)一個完整的凸多面體碰撞檢測系統(tǒng)。本文從計算機圖形學(xué)和游戲技術(shù)的發(fā)展背景入手，闡述了凸多面體碰撞檢測的研究意義和現(xiàn)狀，介紹了凸多面體碰撞檢測的基礎(chǔ)知識，重點闡述了基于棱線投影的分離算法的設(shè)計思路、算法流程和具體實現(xiàn)方式，對所提出的算法進行了性能分析和實驗驗證，最后對算法的優(yōu)缺點進行總結(jié)，并探討了未來的改進方向和發(fā)展趨勢。在此過程中，將借助于一些已有的現(xiàn)成的開源的middleware。第二章：凸多面體碰撞檢測的基礎(chǔ)知識

2.1凸多面體

凸多面體是一個在三維空間中的凸多邊形體，即該多面體的每個點都在其內(nèi)部或表面。通常用頂點、棱線和面等元素進行描述。在游戲開發(fā)中，凸多面體廣泛應(yīng)用于物體建模和碰撞檢測等方面。凸多面體具有以下幾個重要特點：

（1）所有的內(nèi)角均小于180度；

（2）任意兩個點之間都可以用棱線直線連接；

（3）包裹有物體且不空隙；

（4）任意兩個點之間的線段上的所有點都在該多面體的內(nèi)部或表面上。

2.2碰撞檢測基本原理

碰撞檢測是對兩個對象之間的相對運動進行分析，并判斷兩個對象之間是否存在碰撞的過程。在游戲開發(fā)中，碰撞檢測是非常關(guān)鍵的一項技術(shù)。通常情況下，可以通過以下步驟進行碰撞檢測：

（1）將要檢測的對象分別抽象成數(shù)學(xué)模型，如凸多面體或球體等；

（2）根據(jù)對象的運動軌跡，計算出對象之間的距離和相對速度等信息；

（3）根據(jù)距離和速度等信息，判斷對象之間是否發(fā)生了碰撞；

（4）如果發(fā)生了碰撞，則計算碰撞的具體位置和碰撞產(chǎn)生的各項參數(shù)，如碰撞力、摩擦力等，并進行后續(xù)的處理。

2.3凸多面體碰撞檢測技術(shù)分類

凸多面體碰撞檢測通常分為兩種方法，分別是基于區(qū)間投影的分離軸方法（SAT）和基于棱線投影的分離算法（EPM）。

（1）基于區(qū)間投影的分離軸方法

SAT算法主要是通過將多邊形的各個面沿著法線方向投影到另一個多邊形上，從而求解兩個多邊形之間的最小投影長度來判斷是否發(fā)生了碰撞。該方法準確性高，但計算量大，運算速度較慢，適用于處理少量、密集的多邊形。

（2）基于棱線投影的分離算法

EPM算法主要是通過將兩個多邊形的棱線沿著分離軸（即兩個多邊形的法線的叉積）方向進行投影計算，然后判斷是否出現(xiàn)了覆蓋關(guān)系從而判斷是否發(fā)生了碰撞。該方法計算量相對較小，運行速度較快，適合處理密度低的多邊形。

2.4凸多面體的投影計算

在凸多面體碰撞檢測中，投影計算是一項重要的基礎(chǔ)操作。在EPM算法中，投影計算主要是指將某個多邊形的棱線沿著分離軸方向進行投影并計算投影長度的過程。由于本算法需要進行大量的投影計算操作，因此投影計算的精度和效率是比較關(guān)鍵的。

在具體實現(xiàn)時，可以通過直接計算兩個多邊形的所有棱線和法線的叉積，從而得到兩個多邊形所有可能的分離軸向量。然后將兩個多邊形的所有棱線沿著這些分離軸方向進行投影，判斷是否出現(xiàn)了覆蓋關(guān)系。在投影計算過程中，可以采用優(yōu)化算法，如快速投影算法等，以提高計算速度和精度。

2.5碰撞檢測的誤差和優(yōu)化

在凸多面體碰撞檢測中，由于涉及到多個復(fù)雜的三維圖形，因此在算法實現(xiàn)過程中難免會出現(xiàn)一些誤差。通常情況下，誤差主要包括算法精度不足、計算量過大、判定閾值不合理等問題。為了提高凸多面體碰撞檢測的準確度和效率，可以采取以下優(yōu)化措施：

（1）優(yōu)化算法，采用合適的分離軸、投影算法和算法優(yōu)化技術(shù)；

（2）優(yōu)化數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，采用高效的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)以提高算法的運行速度；

（3）加入閾值，優(yōu)化算法的判定規(guī)則，從而提高算法的穩(wěn)定性和魯棒性。

綜上所述，凸多面體碰撞檢測是計算機圖形學(xué)、虛擬現(xiàn)實和游戲開發(fā)等領(lǐng)域中的一個重要課題。在實現(xiàn)凸多面體碰撞檢測算法時，需要充分考慮算法的準確度、計算效率和誤差控制等因素，以獲得更加優(yōu)秀的算法性能。第三章：基于SAT算法的凸多面體碰撞檢測

3.1SAT算法原理

SAT算法（SeparatingAxisTheorem，分離軸算法）是一種最基礎(chǔ)的凸多面體碰撞檢測算法，其主要思想是：如果兩個凸多面體之間沒有任何交集，那么這兩個多面體投影到任何一個方向上的區(qū)間（即投影長度）都不會有交集。因此，只需要找到兩個多面體所有投影長度的最小值，如果該值大于0，則兩個多面體之間有交集；否則，兩個多邊形之間沒有交集。

3.2SAT算法流程

（1）求解兩個凸多面體的法線集合

SAT算法求解交集的關(guān)鍵是求解兩個多面體的法線集合，即能夠?qū)蓚€多面體分開的法向量集合。在實踐中，通過列舉兩個多面體的所有面和面的法向量的法向量，得到兩個多面體的法線集合。由于兩個凸多面體存在大量的面和面的法向量，因此需要對法線集合進行約簡，去除冗余的法向量。

（2）投影計算

投影計算是SAT算法的核心步驟，主要是將兩個凸多面體投影到法向量上，并計算兩個多面體在該方向上的投影長度。通過投影長度的比較，判斷兩個多面體是否發(fā)生了碰撞。

（3）碰撞檢測

在投影計算的基礎(chǔ)上，對于一個多面體，如果其在所有法向量上的投影間隔都大于0，則該多面體與另一個多面體沒有交集，即沒有發(fā)生碰撞。反之，兩個凸多面體之間存在交集，即發(fā)生了碰撞。

3.3SAT算法流程優(yōu)化

在實際應(yīng)用中，SAT算法的計算量較大，存在性能瓶頸。為了提高算法的運行效率和性能，可以采用以下優(yōu)化措施：

（1）法線集合優(yōu)化

選擇合適的法線集合，去除冗余的法向量，縮短運算時間。

（2）分離優(yōu)化

SAT算法在判定碰撞的過程中，一旦發(fā)現(xiàn)有方向間沒有交集，就直接退出循環(huán)，這就是分離優(yōu)化。

（3）投影優(yōu)化

SAT算法的投影計算是該算法的瓶頸，因此可以采用快速投影算法等優(yōu)化算法，提高計算速度。

3.4SAT算法的局限性

雖然SAT算法是一種廣泛應(yīng)用于游戲開發(fā)和圖形學(xué)領(lǐng)域的凸多面體碰撞檢測算法，但該算法存在以下幾個局限性：

（1）只適用于凸多面體模型

SAT算法只適用于凸多面體模型，對于非凸多面體，需要進行拆分后再進行碰撞檢測。

（2）算法計算量大

在實際應(yīng)用中，SAT算法的計算量大，當運行的對象數(shù)量增多時，計算復(fù)雜度會進一步增加。

（3）不適用于快速運動的對象

SAT算法不適用于高速運動的對象，因為在高速運動的情況下，物體的運動軌跡可能會穿過另一物體，導(dǎo)致碰撞檢測不可靠。

綜上所述，SAT算法是一種基礎(chǔ)、精確的凸多面體碰撞檢測算法，經(jīng)過多年的發(fā)展和優(yōu)化，已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于游戲開發(fā)和計算機圖形學(xué)領(lǐng)域。同時，SAT算法在實際應(yīng)用過程中也存在一些局限性，需要結(jié)合實際情況選擇合適的算法來提高檢測效率和精度。第四章：基于BVH樹的凸多面體碰撞檢測

4.1BVH樹原理

BVH（BoundingVolumeHierarchy，包圍盒層次）樹是一種廣泛應(yīng)用于計算機圖形學(xué)領(lǐng)域的碰撞檢測優(yōu)化算法。BVH樹的主要思想是將場景中的物體劃分為兩個子集，根據(jù)一定的準則進行遞歸劃分，構(gòu)建出層次結(jié)構(gòu)的樹形結(jié)構(gòu)。

BVH樹中每個結(jié)點都對應(yīng)一個包圍盒，用于表示其子樹中所有物體的幾何范圍。當兩個凸多面體碰撞檢測時，只需要檢測兩個物體的包圍盒是否相交即可判斷兩個物體是否發(fā)生了碰撞。通過BVH樹的構(gòu)建和包圍盒的檢測，可以大大減少碰撞檢測的運算量和時間復(fù)雜度。

4.2BVH樹構(gòu)建流程

（1）BVH樹的初始構(gòu)建

BVH樹的初始構(gòu)建操作是將場景中所有的三角形（或者其他的幾何形狀）都配上包圍盒，并將它們用一個盒子來圍住。這里提到的包圍盒可以是球、立方體或任何其它符合要求的形狀。在初始化時，所有的物體都被放置在樹的葉子節(jié)點上。

（2）遞歸劃分操作

BVH樹構(gòu)建的過程是遞歸進行的。遞歸劃分操作的目的是將一個包含N個物體的節(jié)點劃分成左右兩個節(jié)點，每個子節(jié)點包含N/2個物體。遞歸劃分的過程中，需要選擇一個劃分面，使得劃分面將物體劃分為兩個幾乎相等的部分。通常使用中點法或者平均法來確定劃分面。

（3）遞歸建立樹結(jié)構(gòu)

當一個節(jié)點被劃分成兩個子節(jié)點，并且每個子節(jié)點仍然包含多個物體時，需要遞歸地向下建立樹結(jié)構(gòu)。遞歸過程直到每個子節(jié)點僅包含一個物體為止，此時該子節(jié)點成為葉子節(jié)點。

4.3碰撞檢測流程

當給定兩個凸多面體進行碰撞檢測時，需要遍歷BVH樹，并檢測葉子節(jié)點所包含的物體是否與另一個凸多面體相交。如果檢測到任何一個葉子節(jié)點中包含的物體與另一個凸多面體相交，則兩個物體發(fā)生了碰撞。

在實際應(yīng)用中，碰撞檢測流程可以通過以下兩步實現(xiàn)：

（1）兩個凸多面體所在的葉子節(jié)點序列

首先，需要確定兩個凸多面體所在的葉子節(jié)點序列。對于構(gòu)建的BVH樹，每個葉子節(jié)點都對應(yīng)了一個三角形（或者其他幾何形狀）。如果兩個凸多面體都包含在同一個葉子節(jié)點中，則直接檢測兩個凸多面體的包圍盒是否相交即可。如果兩個凸多面體在不同的葉子節(jié)點中，則需要從兩個葉子節(jié)點向上遍歷BVH樹，找到兩個凸多面體的最小公共祖先節(jié)點（LCA）。LCA是使得兩個凸多面體在同一個子樹中的最深節(jié)點。然后，需要檢測最小公共祖先節(jié)點以及從最小公共祖先節(jié)點到兩個凸多面體所在葉子節(jié)點的路徑上的所有節(jié)點的包圍盒是否相交。

（2）碰撞檢測

經(jīng)過上述操作，可以得到兩個凸多面體所在的葉子節(jié)點序列和它們的最小公共祖先節(jié)點。接下來，對于每個葉子節(jié)點，檢測它們包含的物體是否與另一個凸多面體相交。如果檢測到有物體與另一凸多面體相交，則表示兩個凸多面體發(fā)生了碰撞。

4.4BVH樹的局限性

BVH樹是一種功能強大的凸多面體碰撞檢測算法，但是該算法在實際應(yīng)用過程中也存在一些局限性：

（1）構(gòu)建BVH樹的代價較高

BVH樹的構(gòu)建代價較高，特別是在場景物體數(shù)量較多、幾何形狀較復(fù)雜時，構(gòu)建時間會顯著增加。

（2）更新BVH樹的代價較高

當場景中的物體發(fā)生變化時，需要更新BVH樹，這個代價比初始構(gòu)建更高。而且，因為更新涉及到了重新劃分BVH樹的操作，因此更新操作可能會產(chǎn)生不連續(xù)性，從而不利于實時應(yīng)用。因此，針對高動態(tài)物體的應(yīng)用中，不適合使用BVH樹。

（3）非常規(guī)形狀物體碰撞檢測困難

由于BVH樹使用的是包圍盒，因此對于非常規(guī)形狀物體的碰撞檢測通常需要使用其他檢測算法。

綜上所述，BVH樹是一種高效的碰撞檢測算法，它有效地解決了大規(guī)模凸多面體碰撞檢測的問題。同時，BVH樹也存在一些不足之處，在實際應(yīng)用中需要根據(jù)具體情況選擇合適的算法來提高效率和精度。第五章：基于SAP的凸多面體碰撞檢測

SAP（SweepandPrune，掃描線算法）算法是一種基于軸對齊包圍盒的凸多面體碰撞檢測算法，其主要思想是使用軸向投影將凸多面體在各個坐標軸上投影成線段，并通過對這些線段進行快速排序和交叉檢測來實現(xiàn)碰撞檢測。

5.1軸向投影與坐標軸交

SAP算法使用的核心方法就是軸向投影。對于給定的凸多面體，其一般具有3個坐標軸，即X軸、Y軸和Z軸。通過沿著這些坐標軸對多邊形進行投影，可以將凸多面體投影為相應(yīng)的線段。在軸向投影后，只需要檢測線段是否相交，就可以確認凸多面體的碰撞情況。為了檢測線段是否相交，需要使用坐標軸交方法來計算兩個線段在每個坐標軸上的重疊程度。

坐標軸交（OverlapTest）是SAP算法中的一個重要步驟，它的主要目的是計算線段之間在每個坐標軸上是否存在重疊。對于兩個線段，分別投影到X軸、Y軸、Z軸上形成的投影線段為L1（p1，p2），L2（p3，p4），其中p1、p2、p3和p4為投影線段在坐標軸上的起點和終點。則兩個線段之間的重疊程度為：`(max(p1,p3)<=min(p2,p4))`。

5.2SAP算法的流程

SAP算法的幾個主要步驟如下：

（1）軸向投影

對于場景中的每一個凸多面體，使用軸向投影將其投影到X、Y、Z坐標軸中的每一個坐標軸上，形成一系列線段。

（2）快速排序

對所有投影線段按照坐標軸上的順序進行快速排序。在每個軸上，排序后的線段形成了一個有序的線段序列。

（3）軸向掃描

分別在X軸、Y軸、Z軸上執(zhí)行軸向掃描。首先，從X軸上的第一個線段開始