試卷第=page11頁，共=sectionpages66頁試卷第=page66頁，共=sectionpages66頁中考數學高頻考點突破——圓的切線的證明1．如圖，的邊為的直徑，與圓交于點D，D為的中點，過D作于E．(1)求證：；(2)求證：為的切線．2．如圖，在中，，以為直徑的與相交于點D，過點D作，交于點E．(1)求證：是的切線；(2)若的直徑為5，，求的長．3．如圖，已知是的直徑，C是上的點，點D在的延長線上，．(1)求證：是的切線；(2)若，，求圖中陰影部分的面積．4．如圖，中，，，點O在上，以O為圓心，為半徑畫⊙O，分別與邊相交于點，垂足分別為E、D．(1)求證：是⊙O的切線；(2)設，求的長（用含m的代數式表示）．5．如圖，在等腰中，，以為直徑作，交于點D，過點D作，垂足為E．(1)求證：是的切線；(2)如果，，求的長．6．如圖，在中，，以為直徑作半圓O交于點D，點E為中點，連接．(1)求證：是半圓O的切線；(2)若，，求的長．7．如圖，是的直徑，點C是上一點，和過點C的直線互相垂直，垂足為D，交于點E，且平分．(1)求證：直線是的切線；(2)連接，若，，求AE的長．8．如圖，，分別是的直徑和弦，半徑于點．過點作的切線與的延長線交于點，，的延長線交于點．(1)求證：是的切線；(2)若，，求圖中陰影部分的面積．9．已知四邊形是平行四邊形，以為直徑的經過點D．(1)如圖1，若，求證：與相切；(2)如圖2，若，，交邊于點F，交邊延長線于點E，求，的長．10．如圖，在中，，的平分線交于點，點在上，以點為圓心，為半徑的圓恰好經過點，分別交，于點，．(1)試判斷直線與的位置關系，并說明理由；(2)若，，，求陰影部分的面積（結果保留）．11．如圖，已知，以交于點D，點E為弧的中點，連接交于點F，且．(1)求證：是的切線；(2)若⊙O的半徑為2，，求的長．12．如圖，在中，為的直徑，為上一點，是的中點，過點作的垂線，交的延長線于點．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長．13．如圖，在中，，的角平分線交于點D，點O在上，以點O為圓心，為半徑的圓恰好經過點D，分別交、于點E，F．(1)試判斷直線與⊙O的位置關系，并說明理由；(2)若，，求⊙O的半徑．14．如圖，是的直徑，點是上異于的點，連接，點在的延長線上，且，點在的延長線上，且．(1)求證：是的切線；(2)若的半徑為3，，則的長為_____________．15．如圖，是的直徑，C、D是上兩點，且D為弧中點，過點D的直線交的延長線于點E，交的延長線于點F，連接．(1)求證：是的切線；(2)若的半徑為2，求陰影部分的面積；16．如圖，在中，，，點在上，經過點，，且交于點，直徑于點．(1)求證：是的切線；(2)若，求的長．17．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分線BE交AC于點E，⊙O是△BEF的外接圓，交AB于點F，圓心O在AB上．(1)求證：AC是⊙O的切線；(2)過點E作EH⊥AB于點H，求證：EF平分∠AEH；(3)求證：CD＝HF．18．如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB的中點O為圓心、OA為半徑的圓交AC于點D，E是BC的中點，連接DE，OE．(1)判斷DE與⊙O的位置關系，并說明理由；(2)求證：BC2=CD·2OE；(3)若AB：AC=3：5，BE=6，求OE的長．答案第=page2525頁，共=sectionpages2626頁答案第=page2626頁，共=sectionpages2626頁參考答案：1．(1)見解析(2)見解析【分析】（1）連接，根據圓周角定理得到，根據線段垂直平分線的性質證明即可；（2）連接，根據三角形中位線定理得到，根據平行線的性質得到，根據切線的判定定理證明即可．【解析】（1）如圖1，連接，∵為的直徑，∴；（2）如圖2，連接，，是的中位線，，，∵是的半徑，∴為的切線．【點評】本題考查的是切線的判定、圓周角定理，掌握經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線是解題的關鍵．2．(1)見解析(2)【分析】（1）連接，求得，進而得到，即可求得，證得結論；（2）連接，由是的直徑，得，再由，可求得，最后利用等面積法求得．【解析】（1）證明：如圖1，連接，，，，，，，，，是的切線；（2）解：如圖2，連接，∵是的直徑，，，，，，，，，的長是．【點評】本題考查了切線的判定，平行線的性質和判定，圓周角定理，等腰三角形的性質，等面積法求線段，勾股定理，解決本題的關鍵是熟練掌握相關幾何知識，作出適當的輔助線．3．(1)見解析(2)【分析】（1）連接，可得，由于是的直徑，可得，從而得到，即可；（2）設的半徑為r，則，由于，可得到，，再求出，分別計算的面積以及扇形的面積即可求出陰影部分面積．【解析】（1）證明∶如圖，連接，∵，∴，∵，∴，∵是的直徑，∴，∴，∴，∵是半徑，∴是的切線；（2）設的半徑為r，則，∴，∵，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∴，∵，∴∴，解得：，∴，∵，∴，∴∴，過點O作于點E，∴，∴，∵，∴陰影部分面積為．【點評】本題考查圓的綜合問題，涉及圓的切線判定，勾股定理，含30度的直角三角形的性質，等邊三角形的性質等知識，熟練掌握和靈活運用相關知識是解題的關鍵．4．(1)見解析(2)【分析】（1）連接，則，得，再由得，則，得，于是，可證明是的切線；（2）作于點，則，得，推得，則，于是有，再證明，推得，即可求出用含的代數式表示的式子．【解析】（1）解：證明：如圖，連接，，，，，，，于點，，是的半徑，且，是的切線．（2）如圖，作于點，，，，，于點，，，，，，，，，，，，，即．【點評】此題考查等腰三角形的判定與性質、圓的切線的判定、相似三角形的判定與性質等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關鍵．5．(1)見解析(2)【分析】（1）連接，由，得到，先證明，得到，則，由是的半徑，即可得到結論；（2）由，得到，由勾股定理得到，由,得到,連接，由得到，由勾股定理即可求得的長．【解析】（1）證明：連接，∵，∴，∵等腰中，，∴，∵∴，∴，∴，∴，∴，∵是的半徑，∴是的切線；（2）∵，∴，∴，∴，∵為的中點，∴,∵,∴,連接，∵為的直徑，∴,∵,∴，∴，∴，即的長為．【點評】此題考查了切線的判定定理，解直角三角形等知識，熟練掌握相關知識是解題的關鍵．6．(1)見解析(2)3【分析】（1）如圖，連接；根據題意結合圖形，證明，即可解決問題；（2）首先求出，進而求出的值；運用勾股定理求出的值，即可解決問題．【解析】（1）證明：連接，∵為的直徑，∴；又∵點E為的中點，∴，∴；∵，∴，∵，∴，∴，又∵點D半圓O上，∴是半圓O的切線．（2）解：由（1）知，又∵∴，∴，∴∴，由勾股定理得：．【點評】本題考查了切線的判定、圓周角定理以及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，熟練掌握相關知識點是解決問題的關鍵．7．(1)證明見解析(2)【分析】（1）如圖所示，連接，由角平分線的定義得到，再由推出，則，再由，得到，由此即可證明結論；（2）如圖所示，連接，先證明，再由是直徑，得到，即可利用勾股定理求出，證明，求出，再利用勾股定理求出，則．【解析】（1）證明：如圖所示，連接，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，又∵點C在上，∴直線是的切線；（2）解：如圖所示，連接，由（1）得，∴，∴，∵是直徑，∴，∴，∴，∴，即，∴，∴，∴．【點評】本題主要考查了切線的判定，相似三角形的性質與判定，圓周角定理，勾股定理，平行線的性質與判定等等，正確作出輔助線是解題的關鍵．8．(1)見解析(2)【分析】（1）連接，可以證得，根據全等三角形的性質以及切線的性質定理可以得到，即，即可證得是的切線；（2）根據垂徑定理得到，根據切線的性質得到，求得，根據等腰三角形的性質得到，根據勾股定理得到，根據三角形和扇形的面積公式即可得出結論．【解析】（1）證明：連接，是的切線，是的直徑，，于點，，，在和中，，（SAS），，，是的半徑，是的切線．（2）解：于點，，，是的切線，，，，，，，，，，，在中，，．故答案為：．【點評】本題考查了切線的判定和性質，勾股定理，三角形和扇形的面積公式，全等三角形的判定和性質，正確地作出輔助線是解題的關鍵．9．(1)見解析(2)，【分析】（1）連接，由，，得到，則，由四邊形是平行四邊形，，則，則，證得，得到結論；（2）連接，，，由圓周角定理證得是直徑，在和中，利用勾股定理得到，設，則，列方程求出，即可得到答案．【解析】（1）證明：連接，∵，，∴，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴，∴，∵是的半徑，∴與相切；（2）解：如圖，連接，，，∵是直徑，∴．∵，∴，∴，∴是直徑，∴，，∴，，∴，在和中，，，∴，設，則，∴．解得，∴，即．【點評】此題主要考查了切線的判定定理、圓周角定理、勾股定理、平行四邊形的性質等知識，熟練掌握相關定理和性質是解題的關鍵．10．(1)相切，見解析(2)【分析】（1）連接，由角平分線的性質可得，再根據等腰三角形的性質，易得，再根據平行線的性質可得即可知與相切；（2）根據圓周角定理可得，由直角三角形的性質可得，，再根據扇形面積公式，利用陰影部分面積等于的面積減去扇形的面積即可求解．【解析】（1）解：與相切．理由：連接，是的平分線，又，，，．，即．（2）解：，，，在中，，設的半徑為，則，解得：，，陰影部分的面積．【點評】本題考查了直線與圓的位置關系和不規則圖形的面積計算，解題的關鍵是熟練掌握切線的判定．11．(1)見解析(2)【分析】（1）連接AE，求出，推出，求出，根據切線的判定即可證明結論．（2）根據．求出，根據證，推出，由勾股定理得出求解即可．【解析】（1）證明：連接，∵是的直徑∴，∴，∵，∴，∵E為弧中點，∴，∴，∴，∵為直徑，∴是的切線．（2）解：∵的半為2，∴，∵∴，∴，∵，∴，∴∴，設，由勾股定理得：，解得：（負數舍去），∴．【點評】本題主要考查了切線的判定、等腰三角形的性質、勾股定理、相似三角形的性質和判定等知識點，靈活運用相關性質、判定定理是解答本題的關鍵．12．(1)見解析(2)【分析】（1）根據題意連接，直接利用切線的定理進行分析證明即可；（2）根據題意連接，交于于點，利用三角函數和勾股定理以及矩形的性質進行綜合分析計算即可．【解析】（1）解：證明：連接；∵；∴；又∵為的中點；∴∴；∴；∴；∵；∴；又∵為半徑；∴為的切線；（2）連接，交于于點，則，∵是圓的直徑；∴；∴四邊形為矩形；∵∴，∴，∵，則，由勾股定理的，∴又∵四邊形為矩形；∴【點評】本題考查圓的綜合問題，熟練掌握圓的切線定理和勾股定理以及三角函數和矩形的性質是解題的關鍵．13．(1)與⊙O相切，理由見解析(2)4【分析】（1）連接，根據角平分線與等腰三角形得到，再根據直角三角形兩銳角互余即可得到證明；（2）在中根據勾股定理即可得到答案．【解析】（1）解：與⊙O相切，理由如下，證明：連接，∵是的角平分線，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴與⊙O相切；（2）解：在中設半徑為r，根據勾股定理可得，，∵，，∴，解得．【點評】本題考查切線的判定，勾股定理，解題的關鍵是作輔助線．14．(1)見解析(2)【分析】（1）連接，先根據等腰三角形的性質可得，再根據圓周角定理可得，從而可得，然后根據圓的切線的判定定理即可得證；（2）證明，然后根據相似三角形的性質求出的值，由此即可得出答案．【解析】（1）證明：如圖，連接，，，是的直徑，，，，，即，，又是的半徑，是的切線．（2），，，，，的半徑為3，，，解得：．【點評】本題考查了切線的判定，相似三角形的性質與判定，掌握以上知識是解題的關鍵．15．(1)見解析(2)【分析】（1）連接，根據等弧所對的圓周角相等可得，從而利用角平分線和平行證明，然后利用平行線的性質求出，即可解答；（2）根據圓周角定理可得，然后在中，利用銳角三角函數的定義求出的長，最后根據，進行計算即可解答【解析】（1）證明：連接，如圖所示，∵D為中點，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵是的半徑，∴是的切線；（2）∵，∴，在中，，∴，∴【點評】本題考查了解直角三角形，圓周角定理，垂徑定理，切線的判定與性質，扇形面積的計算，熟練掌握圓周角定理，以及解直角三角形是解題的關鍵．16．(1)見解析(2)【分析】（1）連接，由等腰三角形的性質得出，，求出，得出，即可得出是的切線；（2）由垂徑定理得出，由直角三角形的性質得出，得出，，即可得出．【解析】（1）證明：連接，如圖所示：，，，，，，，是的切線；（2）解：直徑，，，，，，，，．【點評】本題考查了切線的判定、等腰三角形的性質、垂徑定理、含角的直角三角形的性質等知識；熟練掌握切線的判定和等腰三角形的性質是解題的關鍵．17．(1)證明見解析(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）連接OE，根據∠BEF＝90°，證明BF是圓O的直徑，說明OB＝OE，得出∠OBE＝∠OEB，根據BE平分∠ABC，得出∠CBE＝∠OBE，根據內錯角相等，兩直線平行，證明，得出∠AEO＝∠C＝90°，即可證明結論正確；（2）先證明∠BEC＝∠BEH，再根據等角的余角相等證明∠FEH＝∠FEA，即可證明結論正確；（3）連接DE，根據角平分線的性質，得出EC＝EH，根據“AAS”證明△CDE≌△HFE，即可證明結論．【解析】（1）證明：連接OE，如圖所示：∵BE⊥EF，∴∠BEF＝90°，∴BF是圓O的直徑，∴OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB，∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠OBE，∴∠OEB＝∠CBE，∴，∴∠AEO＝∠C＝90°，∴AC是⊙O的切線；（2）證明：∵∠C＝∠BHE＝90°，∠EBC＝∠EBA，∴∠BEC＝∠BEH，∵BF是⊙O是直徑，∴∠BEF＝90°，∴∠FEH+∠BEH＝90°，∠AEF+∠BEC＝90°，∴∠FEH＝∠FEA，∴FE平分∠AEH．（3）證明：連接DE，如圖所示：∵BE是∠ABC的平分線，EC⊥BC于C，EH⊥AB于H，∴EC＝EH，∵∠CDE+∠BDE＝180°，∠HFE+∠BDE＝180°，∴∠CDE＝∠HFE，∵∠C＝∠EHF＝90°，∴△CDE≌△HFE（AAS），∴CD＝HF，【點評】本題主要考查了切線的判定和性質，圓周角定理，三角形全等的判定和性質，平行線的判定和性質，余角和補角的性質，作出相應的輔助線，證明△CDE≌△HFE，是解題的關鍵．18．(1)DE為⊙O的切線，理由見解析(2)見解析(3)OE=【分析】（1）連接