《相似三角形應(yīng)用舉例》教學(xué)設(shè)計一、教學(xué)目標(biāo)1.進(jìn)一步鞏固相似三角形的知識．2.能夠運用三角形相似的知識解決一些實際問題．二、教學(xué)重點及難點重點：運用三角形相似的知識計算不能直接測量的物體的高度（或長度）．難點：靈活運用三角形相似的知識解決實際問題（如何把實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題）．三、教學(xué)用具電腦、多媒體、課件、直尺四、相關(guān)資源五、教學(xué)過程（一）復(fù)習(xí)導(dǎo)入E1．回顧相似三角形的判定方法：E（1）相似三角形的定義；（2）平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似定理；（3）判定定理一（4）判定定理二（5）判定定理三（6）判定定理四2．相似三角形有哪些性質(zhì)？（1）對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例；（2）對應(yīng)高的比，對應(yīng)中線的比，對應(yīng)角平分線的比都等于相似比；（3）周長的比等于相似比；（4）面積的比等于相似比的平方．設(shè)計意圖：通過復(fù)習(xí)相似三角形的判定方法和性質(zhì)，及時清除學(xué)生學(xué)習(xí)中障礙，為本節(jié)課的學(xué)習(xí)提供扎實的知識儲備．（二）探究新知1．測量金字塔高度問題胡夫金字塔是埃及現(xiàn)存規(guī)模最大的金字塔，被喻為“世界古代七大奇觀之一”．塔的4個斜面正對東南西北四個方向，塔基呈正方形，每邊長約230米．據(jù)考證，為建成該金字塔，共動用了10萬人花了20年時間．原高146.59米，但由于經(jīng)過幾千年的風(fēng)吹雨打，頂端被風(fēng)化吹蝕，所以高度有所降低．在古希臘，有一位偉大的科學(xué)家叫泰勒斯．一天，希臘國王阿馬西斯對他說：“聽說你什么都知道，那就請你測量一下埃及金字塔的高度吧！”，這在當(dāng)時的條件下是個大難題，因為是很難爬到塔頂?shù)模阒捞├账故窃鯓訙y量該金字塔的高度的嗎？【例1】據(jù)傳說，古希臘數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的頂部立一根木桿，借助太陽光線構(gòu)成兩個相似三角形，來測量金字塔的高度．如圖，木桿EF長2m，它的影長FD為3m，測得OA為201m，求金字塔的高度BO．思考：如何測出OA的長？學(xué)生小組討論；師生共同交流，畫出示意圖：通過觀察示意圖，使學(xué)生建立起相似圖形的幾何直覺，并能明確表述求OA的方法中蘊含的數(shù)學(xué)知識（金字塔的影子可以看成一個等腰三角形，則OA等于這個等腰三角形的底邊上的高與金字塔邊長的一半的和）．分析：把太陽光的光線近似看成平行光線，可知在同一時刻的陽光下，豎直的兩個物體的影子互相平行，從而構(gòu)造相似三角形，再利用相似三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)已知條件，求出金字塔的高度．解：太陽光是平行光線，因此∠BAO＝∠EDF，又∠AOB＝∠DFE＝90°，∴△ABO∽△DEF．∴．∴（m）．因此金字塔的高度為134m．還可以用其他方法測量嗎？學(xué)生嘗試用平面鏡進(jìn)行測量．如圖，由△ABO∽△AEF，得．從而可求得．2．測量河寬問題估算河的寬度，你有什么好辦法嗎？【例2】如圖，為了估算河的寬度，我們可以在河對岸選定一個目標(biāo)點P，在近岸取點Q和S，使點P，Q，S共線且直線PS與河垂直，接著在過點S且與PS垂直的直線a上選擇適當(dāng)?shù)狞cT，確定PT與過點Q且垂直PS的直線b的交點R．已測得QS=45m，ST=90m，QR=60m，請根據(jù)這些數(shù)據(jù)，計算河寬PQ．學(xué)生先小組討論；教師在這一活動中重點關(guān)注學(xué)生們探究的主動性，特別應(yīng)關(guān)注那些平時學(xué)習(xí)有一定困難的學(xué)生．通過例2進(jìn)一步完善學(xué)生們的想法，讓學(xué)生體會用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的成就感和快樂．解：∵∠PQR＝∠PST＝90°，∠P＝∠P，∴△PQR∽△PST．∴，即，，PQ×90=(PQ＋45)×60．解得PQ=90（m）．因此，河寬大約為90m．3．盲區(qū)問題【例3】如圖，左、右并排的兩棵大樹的高分別是AB=8m和CD＝12m，兩樹底部的距離BD=5m，一個人估計自己眼睛距地面1.6m．她沿著正對這兩棵樹的一條水平直路l從左向右前進(jìn)，當(dāng)她與左邊較低的樹的距離小于多少時，就看不到右邊較高的樹的頂端C了？分析：如圖（1），設(shè)觀察者眼睛的位置為點F，畫出觀察者的水平視線FG，分別交AB，CD于點H，K．視線FA與FG的夾角∠AFH是觀察點A時的仰角．類似地，∠CFK是觀察點C時的仰角．由于樹的遮擋，區(qū)域Ⅰ和Ⅱ都是觀察者看不到的區(qū)域（盲區(qū)）．解：如圖（2），假設(shè)觀察者從左向右走到點E時，她的眼睛的位置點E與兩棵樹的頂端點A，C恰在一條直線上．∵AB⊥l，CD⊥l，∴AB∥CD．∴△AEH∽△CEK．∴，即．解得EH=8（m）．由此可知，如果觀察者繼續(xù)前進(jìn)，當(dāng)她與左邊的樹的距離小于8m時，由于這棵樹的遮擋，她看不到右邊樹的頂端C．師生共同總結(jié)：利用三角形相似，可以解決一些不能直接測量的物體的長度或高度問題．方法可以有：立標(biāo)桿、目測、利用太陽光下的影子、利用鏡子．設(shè)計意圖：學(xué)生經(jīng)歷觀察、測量、畫圖、數(shù)學(xué)建模等活動，獲得了解決不能直接測量物體的高度（或長度）的實際問題的思路和一般步驟，培養(yǎng)學(xué)生在實際問題中建立數(shù)學(xué)模型的能力，從而提高學(xué)生理論聯(lián)系實際解決問題的能力．（三）課堂練習(xí)1．如圖，ABCD是正方形，E是CD的中點，P是BC邊上的一點，下列條件：（1）∠APB=∠EPC；（2）∠APE=90°；（3）P是BC的中點；（4）BP︰BC=2︰3．其中能推出△ABP∽△ECP的有（）．A．4個B．3個C．2個D．1個設(shè)計意圖：考查三角形相似的判定條件．2．如圖，在△ABC中，DE∥BC，DE分別與AB，AC相交于點D，E．若AD=4，DB=2，則DE︰BC的值為（）．A．B．C．D．設(shè)計意圖：考查學(xué)生利用相似三角形的判定和性質(zhì)進(jìn)行推理計算的能力．3．如圖，電燈P在橫桿AB的正上方，AB在燈光下的影子為CD，AB∥CD，AB=2m，CD=5m，點P到CD的距離是3m，則點P到AB的距離是（）．A．mB．mC．mD．m4．如圖，測得BD=120m，DC=60m，EC=50m，求河寬AB．設(shè)計意圖：考查利用相似三角形的知識測量河寬．6．如圖所示，大江的一側(cè)有甲，乙兩個工廠，它們有垂直于江邊的小路，長度分別為m千米及n千米，設(shè)兩條小路相距l(xiāng)千米．現(xiàn)在要在江邊建立一個抽水站，把水送到甲，乙兩廠去，欲使供水管路最短，抽水站應(yīng)建在哪里？設(shè)計意圖：考查學(xué)生利用相似三角形的知識解決線路最短問題．答案：1．B．解析：（1）中因為∠B=∠C，∠APB=∠EPC，所以△ABP∽△ECP．（2）若∠APE=90°，則∠APB+∠EPC=90°．由題意可得∠BAP=∠EPC，∠B=∠C=90°．所以△ABP∽△ECP．（4）中因為BP∶BC=2∶3，所以BP=BC，PC=BC．所以=2，且∠B=∠C=90°．所以△ABP∽△ECP．故選B．2．A解析：因△ADE∽△ABC，故．3．C4．解：∵AB∥CE，∴△ABD∽△ECD．∴．∴．∴AB=100（m）．答：河寬AB為100m．5．解：如圖所示，AD垂直于江邊于D，BE垂直于江邊于E，則AD=m千米，BE=n千米，DE=l千米．延長BE至F，使EF=BE．連接AF交DE于點C，則在C點建抽水站，到甲，乙兩廠的供水管路AC+CB為最短．設(shè)CD=x千米，因為Rt△ADC∽Rt△FEC，所以，即，解得x=（千米）．六、課堂小結(jié)1．相似三角形的應(yīng)用主要有兩個方面：（1）測高（不能直接使用皮尺或刻度尺測量的）測量不能到達(dá)頂部的物體的高度，通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決．（2）測距（不能直接測量的兩點間的距離）測量不能到達(dá)的兩點間的距離，常構(gòu)造相似三角形求解．2．利用相似三角形解決實際問