概率及其計(jì)算本課內(nèi)容4.2——4.2.1概率的概念在同樣的條件下，某一隨機(jī)事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生，那么，它發(fā)生的可能性究竟有多大？能否用數(shù)值來進(jìn)行刻畫呢？我們來看兩個(gè)試驗(yàn)：1.在一個(gè)箱子里放有1個(gè)白球和1個(gè)紅球，它們除顏色

外，大小、質(zhì)地都相同.從箱子中隨機(jī)取出1個(gè)球，它可能是紅球也可能是白球，由于球的大小和質(zhì)地

都相同，又是隨機(jī)摸取，所以每個(gè)球被取到的可能

性是一樣大的.很自然地，我們用表示取到紅球的

可能性，同理，取到白球的可能性也是.一個(gè)能自由轉(zhuǎn)動(dòng)的游戲轉(zhuǎn)盤如圖所示，紅、黃、綠3個(gè)扇形的圓心角度數(shù)均為120°，讓轉(zhuǎn)盤自由轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)它停止后，指針指向的區(qū)域可能是紅色、黃色、綠色這3種情況中的1種.由于每個(gè)扇形的圓心角度數(shù)相等，對(duì)指針指向“紅色區(qū)域”、“黃色區(qū)域”“綠色區(qū)域”這3個(gè)事件，發(fā)生的條件完全相同，所以出現(xiàn)每種情況的可能性大小相等.很自然地，我們用表示指針指向紅色區(qū)域、黃色區(qū)域和綠色區(qū)域的可能性大小.2.上述例子和其他大量例子表明，在隨機(jī)現(xiàn)象中，出現(xiàn)的每一個(gè)結(jié)果的可能性大小，能夠用一個(gè)不超過1的非負(fù)數(shù)來刻畫.一般地，對(duì)于一個(gè)隨機(jī)事件A，我們把刻畫其發(fā)生可能性大小的數(shù)值，稱為隨機(jī)事件A發(fā)生的概率，記為P（A）.例如，上述摸球試驗(yàn)中，P（摸出紅球)=，P（摸出白球)

=又如，在轉(zhuǎn)盤試驗(yàn)中，P（指針指向紅色區(qū)域）=動(dòng)腦筋把分別寫有數(shù)字1，2，3，4，5的5張一樣的小紙片捻成小紙團(tuán)放進(jìn)盒子里，搖勻后，隨機(jī)取出一個(gè)小紙團(tuán)，試問：（1）取出的序號(hào)可能出現(xiàn)幾種結(jié)果，每一個(gè)小紙團(tuán)被取出

的可能性一樣嗎？（2）“取出數(shù)字3”是什么事件？它的概率是多少？（3）“取出數(shù)字小于4”是什么事件？它的概率是多少？（4）“取出數(shù)字小于6”是什么事件？它的概率是多少？（5）“取出數(shù)字6”是什么事件？它的概率是多少？（1）在上述試驗(yàn)中，可能取出序號(hào)為1，2，3，4，5

中的任意一個(gè)小紙團(tuán)，而且這5個(gè)紙團(tuán)被取出的

可能性都相等.

（2）“取出數(shù)字3”是隨機(jī)事件，它包含5種可能結(jié)果

中的1種可能結(jié)果.

因此，P（取出數(shù)字3）=（3）“取出數(shù)字小于4”是隨機(jī)事件，它包含5種可能

結(jié)果中的3種可能結(jié)果，即取出數(shù)字1，2，3.

因此，P（取出數(shù)字小于4）=（4）“取出數(shù)字小于6”是必然事件，它包含全部5種可能結(jié)果，即取出數(shù)字1，2，3，4，5，無論取到其中的哪個(gè)數(shù)字都小于6.因此，P（取出數(shù)字小于6）==1.（5）由于盒子中沒有數(shù)字“6”這個(gè)小紙團(tuán)，因此，這一事件是不可能事件，它包含的結(jié)果數(shù)是0.因此，P（取出數(shù)字6）==0.一般地，如果在一次試驗(yàn)中，有n種可能的結(jié)果，其中每一種結(jié)果發(fā)生的可能性相等，那么出現(xiàn)每一種結(jié)果的概率都是

如果事件A包含其中的m種可能的結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率個(gè)事件A包含的可能結(jié)果數(shù)一次試驗(yàn)所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)①在①式中，由m和n的含義可知0≤m≤n，特別地，當(dāng)A為必然事件時(shí)，P（A）=1；當(dāng)A為不可能事件時(shí)，P（A）=0.因此0≤

≤

1.

即0≤P（A）≤1.不可能事件必然事件概率為0概率為1事件發(fā)生的可能性越來越大事件發(fā)生的可能性越來越小事件發(fā)生的概率越大，則該事件就越有可能發(fā)生.例1假定按同一種方式擲兩枚均勻硬幣，如果第一枚出現(xiàn)正面（即正面朝上），第二枚出現(xiàn)反面，就記為（正，反），

如此類推（如圖）.舉例解

擲兩枚均勻硬幣，所有可能的結(jié)果有4個(gè)，

即（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），而且這4個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性

相等.

（1）寫出擲兩枚硬幣的所有可能結(jié)果.（2）寫出下列隨機(jī)事件發(fā)生的所有可能結(jié)果.A：“兩枚都出現(xiàn)反面”；B：“一枚出現(xiàn)正面、一枚出現(xiàn)反面”；C：“至少有一枚出現(xiàn)反面”.A，B，C事件發(fā)生的所有可能結(jié)果分別是：

A：（反，反）；B：（正，反），（反，正）；C：（反，正），（正，反），（反，反）.解（3）求事件A，B，C的概率.由（1）、（2）可知，

P（A）=解P（B）=P（C）=擲一枚均勻的骰子，骰子的6個(gè)面上分別刻有1，2，3，4，5，6點(diǎn)，求下列事件的概率：（1）點(diǎn)數(shù)為3；（2）點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)；（3）點(diǎn)數(shù)為7；（4）點(diǎn)數(shù)大于2小于6.練習(xí)答：（1）點(diǎn)數(shù)為3的概率為（2）點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)的概率為（3）點(diǎn)