人教B版高中數學必修第一冊§3.1.1

函數及其表示方法

函數的表示方法變式：已知函數f(x＋2)的定義域為(－2，0)，則函數f(2x－2)的定義域為(

)已知函數f(x－1)的定義域為[－2，3]，則函數f(2x＋1)的定義域為(

)例2設函數g（x）=的值域為S，分別判斷-

和3是否是S中的元素.例3已知f(x)=（1）求f（-1），f（0）和f（2）；（2）求函數f（x）的值域.判斷方程是否有解，由此給出求函數f（x）值域的一種方法。

前面我們所接觸到的函數y=f（x）中，絕大多數f（x）都是用代數式（或解析式）來表示的，例如f（x）=2x+1，這種表示函數的方法稱為解析法.

前面給出的關于中國創新指數的函數，實際上是用列表的形式給出了函數的對應關系，這種表示函數的方法稱為列表法.

如果將這個函數記為i=f（y），則從表格中可以看出f（2013）=152.6，f（2015）=171.5另外，如果將這個函數的定義域記為D，值域記為S，則有D={2008，2009，2010，2011，2012，2013，2014，2015}，S={116.5,125.5,131.8,139.6,148.2,152.6,158.2,171.5}

前面給出的與心電圖有關的函數，實際上是用圖的形式給出了函數的對應關系.

一般地，將函數y=f（x），x∈A中的自變量x和對應的函數值y，分別看成平面直角坐標系中點的橫坐標與縱坐標，則滿足條件的點（x，y）組成的集合F稱為函數的圖像，即

F={（x，y）|y=f（x），x∈A）.

這就是說，如果F是函數y=f（x）的圖像，則圖像上任意一點的坐標（x，y）都滿足函數關系y=f（x）；反之，滿足函數關系y=f（x）的點（x，y）都在函數的圖像F上.

用函數的圖像表示函數的方法稱為圖像法.

從理論上來說，要作出一個函數的圖像，只需描出所有點即可.但是，很多函數的圖像都由無窮多個點組成，描出所有點并不現實.因此，實際作圖時，經常先描出函數圖像上一些有代表性的點，然后再根據有關性質作出函數圖像，這稱為描點作圖法.

例如，我們知道，一次的數y=-x+1的圖像是一條直線，又易知圖像過點（0，1）和（1，0），所以容易作出其圖像如下圖所示.例4北京市自2014年5月1日起，居民用水實行階梯水價：年用水量不超過180m3的部分，水價為5元/m3；超過180m3但不超過260m3的部分，水價為7元/m3.如果北京市一居民年用水量為xm3，其要繳納的水費為f（x）元。假設0≤x≤260，試寫出f（x）的解析式，并作出f（x）的圖像.

如果一個函數，在其定義域內，對于自變量的不同取值區間，有不同的對應方式，則稱其為分段函數.

可以看出，狄利克雷函數的定義域為R，值域為{0，1}，但它的圖像不能形象地展示出來。嘗試與發現例5設x為任意一個實數，y是不超過x的最大整數，判斷這種對應關系是否是函數。如果是，作出這個函數的圖像；如果不是，說明理由。依照題意填寫下表，然后判斷對應關系是否是函數。例5中的函數通常稱為取整函數，記作y=[x]，其定義域是R，值域是Z這個函數早在18世紀就被“數學王子”高斯提出，因此也被稱為高斯取整函數.

在以后的學習中，我們還會碰到值域只有一個元素的函數，這類函數通常稱為常數函數.也就是說，常數函數中所有自變量對應的函數值都相等.例如f（x）=7，x∈R是一個常數函數，它的值域是{7}，圖像是一條垂直于y軸的直線.例6已知函數y=，指出這個函數的定義域、值域，并作出這個函數的圖像.例7已知二次函數的圖像過點（-1，4），（0，1），（1，2），求這個二次函數的解析式.例8已知f（x）=x2，求f（x-1）.【嘗試與