靜電場及其邊值問題的解法第一頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期二§3.5靜電場邊值問題，唯一性定理

Electrostatic-FieldBoundary-ValueProblems,UniquenessTheorem邊值問題：在給定的邊界條件下，求解位函數的泊松方程或拉普拉斯方程，以得到任意點位函數或場強；

本節內容

3.5.1邊值問題的類型

3.5.2惟一性定理

第二頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期二

靜態場問題已知場域邊界上各點電位值分布型問題給定場源分布，求任意點場強或位函數；邊值型問題給定邊界條件，求解位函數的泊松方程或拉普拉斯方程，以得到任意點位函數或場強；靜態場問題第一類邊界條件第二類邊界條件第三類邊界條件一、二類邊界條件的線性組合，即已知場域邊界上各點電位的法向導數第三頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期二一、靜電場邊值問題及其分類

1.邊值問題的分類----根據場域邊界條件的不同狄利克雷問題：給定整個場域邊界上的電位函數值（第一類）聶曼問題：給定待求位函數在邊界上的法向導數值

（第二類）混合邊值問題：給定邊界上的位函數及其法向導數的線性組合（第三類）第四頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期二2.邊值條件包括：場域的邊界條件銜接條件----不同媒質分界面上的邊界條件周期邊界條件自然邊界條件（無界空間）第五頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期二

邊值條件

自然邊界條件（無界空間）

周期邊界條件

銜接條件

----不同媒質分界面上的邊界條件，如第六頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期二例：（第一類邊值問題）（第三類邊值問題）例：第七頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期二計算法實驗法圖解法邊值型問題解法解析法數值法有限差分法有限元法邊界元法矩量法…鏡像法分離變量法復變函數法格林函數法…§3.5靜電場邊值問題，唯一性定理3.邊值型問題的解法第八頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期二二、惟一性定理UniquenessTheorem

即，滿足邊界條件的泊松方程或拉普拉斯方程的解是惟一的。§3.5靜電場邊值問題，唯一性定理

在場域V的邊界面S上給定或的值，則泊松方程或拉普拉斯方程在場域V具有惟一值。

惟一性定理的表述

惟一性定理的重要意義

給出了靜態場邊值問題具有惟一解的條件

為靜態場邊值問題的各種求解方法提供了理論依據

為求解結果的正確性提供了判據第九頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期二§3.6鏡像法

ImageMethod鏡像法的基本原理接地導體平面的鏡像點電荷對無限大介質平面的鏡像導體球面的鏡像導體圓柱面的鏡像線電流對無限大磁介質平面的鏡像本節內容第十頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期二

當有電荷存在于導體或介質表面附近時，導體和介質表面會出現感應電荷或極化電荷，而感應電荷或極化電荷將影響場的分布。非均勻感應電荷產生的電位很難求解，可以用等效電荷的電位替代1.

問題的提出

幾個實例q一、鏡像法的基本原理

接地導體板附近有一個點電荷，如圖所示。q′非均勻感應電荷等效電荷第十一頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期二

接地導體球附近有一個點電荷，如圖。非均勻感應電荷產生的電位很難求解，可以用等效電荷的電位替代

接地導體柱附近有一個線電荷。情況與上例類似，但等效電荷為線電荷。q非均勻感應電荷q′等效電荷

結論：所謂鏡像法是將不均勻電荷分布的作用等效為點電荷或線電荷的作用。

問題：這種等效電荷是否存在？這種等效是否合理？第十二頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期二2.鏡像法的原理鏡像法概念：在一定條件下，用一個或多個位于待求場域邊界以外虛設的較簡單的等效電荷來等效替代場域邊界上未知的較為復雜的電荷分布的作用，且保持原有邊界上邊界條件不變，則根據惟一性定理，待求場域空間電場可由原來的電荷和所有等效電荷產生的電場疊加得到。從而將原含該邊界的非均勻媒質空間變換成無限大單一均勻媒質的空間，使分析計算過程得以明顯簡化；這些等效電荷稱為鏡像電荷，這種求解方法稱為鏡像法。第十三頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期二

用虛設的鏡像電荷來替代實際邊界,將原來具有邊界的空間變成同一媒質空間，使計算簡化。鏡像法:3.理論依據：惟一性定理第十四頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期二

個數、位置、電量大小——“三要素”。4.鏡像法應用的關鍵點5.

確定鏡像電荷的兩條原則

等效求解的“有效場域”

鏡像電荷的確定

鏡像電荷必須位于所求解的場區域以外的空間中；

鏡像電荷的個數、位置及電荷量的大小以滿足所求解的場區域的邊界條件來確定；第十五頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期二二、接地導體平面的鏡像

點電荷對無限大接地導體平面的鏡像線電荷對無限大接地導體平面的鏡像點電荷對半無限大接地導體角域(導體劈)的鏡像第十六頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期二二、接地導體平面的鏡像

1.點電荷對無限大接地導體平面的鏡像

求（1）導體上方（即z>0的空間）的電位分布；

（2）導體表面的感應電荷。§3.6鏡像法q

待求場域：上半空間

邊界：無限大導體平面

邊界條件：第十七頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期二*此時，在z>0的空間里任一點p(x,y,z)的電位等于原點電荷q和鏡像電荷所產生電位的疊加。§3.6鏡像法有效區域qq第十八頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期二注意：僅對上半空間等效。*此時要保證z=0平面邊界條件不變，即應為零電位。可見，引入鏡像電荷后保證了邊界條件不變；鏡像點電荷位于z<0的空間，未改變所求空間的電荷分布，因而在z>0的空間，電位仍然滿足原有的方程。由惟一性定理知結果正確。

故對z=0平面上任意點有*選無窮遠處為參考點，則在z>0的空間任一點p的總電位是：

得§3.6鏡像法第十九頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期二鏡像電荷Z>0空間的電位分布：有效區域qq第二十頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期二上半空間的電場強度：第二十一頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期二（2）根據靜電場的邊界條件，求導體表面的感應電荷密度：§3.6鏡像法q第二十二頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期二導體表面的總感應電荷導體表面上感應電荷對點電荷的作用力鏡像電荷代替了導體表面所有感應電荷對上半空間的作用。可見，q或第二十三頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期二2.線電荷對無限大接地導體平面的鏡像

原問題有效區域-hz鏡像線電荷：待求場域z>0中的電位:上半空間的電場xz第二十四頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期二3.點電荷對半無限大接地導體角域(導體劈)的鏡像兩個相互垂直相連的半無限大接地導體平板形成的角域內，有點電荷q位于(d1,d2)處,求角內的電場分布。。d11qd22RR1R2R3q1d1d2d2q2d1q3d2d1第二十五頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期二d1qd2RR1R2R3q1d1d2d2q2d1q3d2d1d11qd22鏡像電荷q1=－q，位于(－d1,d2)鏡像電荷q2=－q，位于(d1,－d2)鏡像電荷q3=q,位于(－d1,－d2)電位函數第二十六頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期二由兩個半無限大接地導體平面形成角形邊界，當其夾角為整數時，該角域中的點電荷將有(2n-1)個鏡像電荷，該角域中的場可以用鏡像法求解;結論：q/3/3q當n=3時：第二十七頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期二當n=3時：角域夾角為π/n，n為整數時，有(2n－1)個鏡像電荷，n不為整數時，鏡像電荷將有無數個，鏡像法就不再適用了；當角域夾角為鈍角時，鏡像法亦不適用。角域外有5個鏡像電荷，大小和位置如圖所示。所有鏡像電荷都正、負交替地分布在同一個圓周上，該圓的圓心位于角域的頂點，半徑為點電荷到頂點的距離。

輪流找出鏡像電荷及鏡像電荷的鏡像，直到最后的鏡像電荷與原電荷重合為止。第二十八頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期二

例1

一個點電荷q與無限大導體平面距離為d，如果把它移至無窮遠處，需要做多少功？

解：移動電荷q時，外力需要克服電場力做功，而電荷q受的電場力來源于導體板上的感應電荷。可以先求電荷q移至無窮遠時電場力所做的功。

q'qx=∞0d-d

由鏡像法，感應電荷可以用像電荷

替代。當電荷q移至x時，像電荷

應位于－x，則像電荷產生的電場強度第二十九頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期二1.點電荷對無限大接地導體平面的鏡像

求（1）導體上方（即z>0的空間）的電位分布；

（2）導體表面的感應電荷。§3.6鏡像法

待求場域：上半空間

邊界：無限大導體平面

邊界條件：z=0時有效區域qq鏡像電荷第三十頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期二2.線電荷對無限大接地導體平面的鏡像

原問題有效區域-hz鏡像線電荷：xz第三十一頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期二當n=3時：角域夾角為π/n，n為整數時，有(2n－1)個鏡像電荷，n不為整數時，鏡像電荷將有無數個，鏡像法就不再適用了；當角域夾角為鈍角時，鏡像法亦