10.2事件的相互獨立性學習目標1.在具體情境中，了解兩個事件相互獨立的概念.2.能利用相互獨立事件同時發生的概率公式解決一些簡單的實際問題.復習引入性質1

對任意的事件A，都有P(A)≥0；性質2

必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即

P(Ω)=1，P(?)=0；性質3

如果事件A和事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；性質4

事件A與事件B互為對立事件，那么

P(A)＝1－P(B)，P(B)＝1－P(A)；性質5

如果A?B，那么P(A)≤P(B)；對于任意事件A，0≤P(A)≤1；性質6

設A，B是一個試驗中的兩個事件，我們有

P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．新知探究

我們知道，積事件AB就是事件A與事件B同時發生.因此，積事件AB發生的概率一定與事件A，B發生的概率有關.那么，這種關系會是怎樣的呢？試驗：分別拋擲兩枚質地均勻的硬幣，A=“第一枚硬幣正面朝上”，B=“第二枚硬幣反面朝上”；分別計算P(A)，P(B)，P(AB)，你有什么發現?用1表示硬幣“正面朝上”，用0表示硬幣“反面朝上”，則樣本空間為

Ω={(1,1)，(1,0)，(0,1)，(0,0)}，包含4個等可能的樣本點，

A={(1,1)，(1,0)}，B={(1,0)，(0,0)}，所以AB={(1,0)}．由古典概型概率計算公式，P(A)=P(B)=1/2，P(AB)=1/4，于是P(AB)=P(A)P(B)．積事件AB的概率P(AB)等于P(A)，P(B)的乘積.新知探究

設A，B兩個事件，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，則稱事件A與事件B相互獨立，簡稱獨立．

對于兩個事件A，B，如果其中一個事件是否發生對另一個事件發生的概率沒有影響，就把它們叫做相互獨立事件．兩個事件相互獨立

P(AB)=P(A)P(B)事件A與B相互獨立.注意：①互斥事件：兩個事件不能同時發生.②相互獨立事件：兩個事件的發生彼此互不影響.新知探究必然事件與任意事件是否相互獨立？必然事件與任意事件相互獨立，不可能事件與任意事件相互獨立不可能事件與任意事件是否相互獨立？必然事件一定發生，不受任何事件是否發生的影響不可能事件一定不會發生，不受任何事件是否發生的影響當然，它們也不影響其他事件的發生.新知探究

若事件A與B相互獨立，那么它們的對立事件是否也相互獨立？那么

是否相互獨立？AB證明∵事件A與B相互獨立∴P(AB)=P(A)P(B)也相互獨立新知探究（1）必然事件及不可能事件與任何事件A相互獨立.

（2）若事件A與B相互獨立,則以下三對事件也相互獨立:注意：當三個事件A、B、C兩兩獨立時，

等式P(ABC)=P(A)P(B)P(C)一般不成立.相互獨立事件的性質新知探究例1

一個袋子中裝有標號分別是1，2，3，4的4個球，除標號外沒有其他差異．采用不放回方式從袋中依次任意摸出兩球．設A=“第一次摸到球的標號小于3”，B=“第二次摸到球的標號小于3”，那么事件A與B是否獨立？解

樣本空間Ω={(m,n)|m,n∈{1，2，3，4}，m≠n}，包含12個等可能樣本點，

A={(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)}，B={(1,2)，(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)}，所以AB={(1,2)，(2,1)}．所以P(A)=P(B)=6/12=1/2，P(AB)=2/12=1/6，此時P(AB)≠P(A)P(B)，因此事件A與B不獨立．新知探究(1)不可能事件與任何一個事件相互獨立.

()(2)必然事件與任何一個事件相互獨立.

()(3)“P(AB)=P(A)·P(B)”是“事件A,B相互獨立”的充要條件.

()(4)一枚硬幣擲兩次,A=“有正面向上,也有反面向上”,B=“最多一次反面向下”,則A,B相互獨立.(

)練習1判斷正誤，正確的畫“√”，錯誤的畫“?”.√√√提示：一枚硬幣擲兩次的樣本點為(正,正),(正,反),(反,正),(反,反),這時A={(正,反),(反,正)}，B={(正,正),(正,反),(反,正)}，AB={(正,反),(反,正)}，于是P(A)=

,P(B)=

,P(AB)=

.由此可知P(AB)≠P(A)·P(B),所以事件A,B不相互獨立.新知探究練習2

判斷下列事件是否為相互獨立事件.①

籃球比賽的“罰球兩次”中，事件A：第一次罰球，球進了.

事件B：第二次罰球，球進了.②袋中有三個紅球，兩個白球，采取不放回的取球.

事件A：第一次從中任取一個球是白球.

事件B：第二次從中任取一個球是白球.③袋中有三個紅球，兩個白球，采取有放回的取球.

事件A：第一次從中任取一個球是白球.

事件B：第二次從中任取一個球是白球.新知探究判斷兩個事件相互獨立的方法①定義法：P(AB)=P(A)P(B)②直接法：由事件本身的性質直接判斷兩個事件的發生是否相互影響.③轉化法：判斷A與B是否相互獨立,轉化為判斷A與

,

與B,

與

是否具有獨立性.新知探究例2

甲、乙兩名射擊運動員進行射擊比賽，甲的中靶概率為0.8，乙的中靶概率為0.9，求下列事件的概率：(1)兩人都中靶；

(2)恰好有一人中靶；

(3)兩人都脫靶；

(4)至少有一人中靶．解

設A=“甲中靶”,B=“乙中靶”,A=“甲脫靶”,B=“乙脫靶”,由于

甲、乙射擊互不影響，∴A與B相互獨立，∴A與B，A與B，A與B也相互獨立，由已知得P(A)=0.8，P(B)=0.9，P(A)=0.2，P(B)=0.1.(1)AB=“兩人都中靶”，由事件獨立性的定義，得

P(AB)=P(A)P(B)=0.8×0.9=0.72.新知探究例2甲、乙兩名射擊運動員進行射擊比賽，甲的中靶概率為0.8，乙的中靶概率為0.9，求下列事件的概率：(1)兩人都中靶；

(2)恰好有一人中靶；

(3)兩人都脫靶；

(4)至少有一人中靶．(2)“恰好有一人中靶”=AB∪AB,且AB與AB互斥，根據概率的加法公式和事件獨立性定義，得P(AB∪AB)=P(AB)＋P(AB)=P(A)P(B)＋P(A)P(B)=0.8×0.1+0.2×0.9=0.26.(3)事件“兩人都脫靶”=AB，所以

P(AB)=P(A)P(B)=(1－0.8)×(1－0.9)=0.02.新知探究例2甲、乙兩名射擊運動員進行射擊比賽，甲的中靶概率為0.8，乙的中靶概率為0.9，求下列事件的概率：(1)兩人都中靶；

(2)恰好有一人中靶；

(3)兩人都脫靶；

(4)至少有一人中靶．(4)①事件“至少有一人中靶,②∵事件“至少有一人中靶”的對立事件是“兩人都脫靶”∴事件“至少有一人中把”的概率為“大化小”“正難則反”新知探究例3

甲、乙兩人組成“星隊”參加猜成語活動，每輪活動由甲、乙各猜一個成語,已知甲每輪猜對的概率為，乙每輪猜對的概率為.在每輪活動中，甲和乙猜對與否互不影響，各輪結果也互不影響.求“星隊”在兩輪活動中猜對3個成語的概率.分析：兩輪活動猜對3個成語，相當于事件“甲猜對1個，乙猜對2個”、事件“甲猜對2個,乙猜對1個”的和事件發生.解：設A1,A2分別表示甲兩輪猜對1個，2個成語的事件，B1,B2分別表示乙兩輪猜對1個，2個成語的事件.根據獨立性假定，得

P(A1)=2××=

143438

P(A2)=()2=，34916

P(B1)=2××=；

P(B2)=()2=.1323234949新知探究設A=“兩輪活動'星隊'猜對3個成語”，則

A=A1B2

∪A2B1，且A1B2與A2B1互斥，所以P(A)=P(A1B2)＋P(A2B1)；

P(A)=P(A1)P(B2)＋P(A2)P(B1)=×＋×=

384949916512例3

甲、乙兩人組成“星隊”參加猜成語活動，每輪活動由甲、乙各猜一個成語,已知甲每輪猜對的概率為，乙每輪猜對的概率為.在每輪活動中，甲和乙猜對與否互不影響，各輪結果也互不影響.求“星隊”在兩輪活動中猜對3個成語的概率.新知探究歸納：求較為復雜事件的概率的方法已知兩個事件A,B,那么:(1)A,B中至少有一個發生為事件A+B.2.對事件分解時,要明確事件中的“至少有一個發生”“至多有一個發生”

“恰好有一個發生”“都發生”“都不發生”“不都發生”等詞語的意義.

(2)A,B中至多有一個發生為事件