第四節(jié)一、三角級(jí)數(shù)及三角函數(shù)系的正交性

二、函數(shù)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)三、周期函數(shù)的Fourier展開(kāi)第四章傅里葉級(jí)數(shù)四、周期為2l的周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)五、Fourier級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)形式1一、三角級(jí)數(shù)及三角函數(shù)系的正交性簡(jiǎn)單的周期運(yùn)動(dòng):(諧波函數(shù))(A為振幅,復(fù)雜的周期運(yùn)動(dòng):令得函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)為角頻率,φ為初相)(諧波迭加)稱上述形式的級(jí)數(shù)為三角級(jí)數(shù).2定理1.組成三角級(jí)數(shù)的函數(shù)系證:同理可證:正交

,上的積分等于0.即其中任意兩個(gè)不同的函數(shù)之積在3上的積分不等于0.且有但是在三角函數(shù)系中兩個(gè)相同的函數(shù)的乘積在4則稱函數(shù)f與g在[a,b]上正交。且一般，若設(shè)是區(qū)間[a,b]上的一個(gè)函數(shù)列，若其中任意兩個(gè)不同的函數(shù)在[a,b]上正交，且則稱是[a,b]上的正交函數(shù)系。5二、函數(shù)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)1、f(x)滿足什么條件時(shí)，才能展開(kāi)成三角級(jí)數(shù)？2、如果f(x)能展開(kāi)成三角級(jí)數(shù)，展開(kāi)式中的如何計(jì)算？6定理2.

設(shè)f(x)是周期為2的周期函數(shù),且證:

由定理?xiàng)l件,①②對(duì)①在逐項(xiàng)積分,得右端級(jí)數(shù)在上一致收斂于f，則7(利用正交性)類似地,用sinkx

乘①式兩邊,再逐項(xiàng)積分可得8稱為的傅里葉系數(shù);稱公式②為Euler-Fourier公式。①②以的傅里葉系數(shù)為系數(shù)的三角級(jí)數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)

.這些系數(shù)稱為函數(shù)

9三、周期函數(shù)的Fourier展開(kāi)設(shè)有函數(shù)f：[a,b]R.如果在[a,b]內(nèi)插入n-1個(gè)分點(diǎn)：能使f在每個(gè)開(kāi)子區(qū)間內(nèi)都單調(diào)，那么就稱f在[a,b]上分段單調(diào)。10定理3(Dirichlet定理)而且除有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)外都是連續(xù)的，則f(x)

x

為間斷點(diǎn)

x

為連續(xù)點(diǎn)注意:函數(shù)展成傅里葉級(jí)數(shù)的條件比展成冪級(jí)數(shù)的條件低得多.設(shè)

f(x)在上分段單調(diào)，的傅里葉級(jí)數(shù)在上收斂,且其和函數(shù)為：定理中的條件稱為狄利克雷(Dirichlet

)條件。11周期延拓定義在上的函數(shù)f(x)的傅氏級(jí)數(shù)展開(kāi)法其它Fourier級(jí)數(shù)展開(kāi)式同F(xiàn)(x)上的傅里葉級(jí)數(shù)12例1.設(shè)

f(x)是周期為2的周期函數(shù),

它在上的表達(dá)式為解:

先求傅里葉系數(shù)將f(x)展成傅里葉級(jí)數(shù).13141)

根據(jù)收斂定理可知,時(shí),級(jí)數(shù)收斂于2)傅氏級(jí)數(shù)的部分和逼近說(shuō)明:f(x)的情況見(jiàn)右圖.15三、正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)1.周期為2的奇、偶函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)定理4.對(duì)周期為2的奇函數(shù)f(x),其傅里葉級(jí)數(shù)為周期為2的偶函數(shù)f(x),其傅里葉級(jí)數(shù)為余弦級(jí)數(shù),它的傅里葉系數(shù)為正弦級(jí)數(shù),它的傅里葉系數(shù)為16例2.設(shè)的表達(dá)式為f(x)x,將f(x)展成傅里葉級(jí)數(shù).

f(x)是周期為2的周期函數(shù),它在解:

若不計(jì)周期為2的奇函數(shù),因此17n＝1根據(jù)收斂定理可得f(x)的正弦級(jí)數(shù):級(jí)數(shù)的部分和逼近f(x)的情況見(jiàn)右圖.n＝2n＝3n＝4n＝5182.定義在[0,]上的函數(shù)展成正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù)周期延拓F(x)

f(x)在[0,]上展成周期延拓F(x)余弦級(jí)數(shù)奇延拓偶延拓正弦級(jí)數(shù)

f(x)在[0,]上展成19例3.

將函數(shù)分別展成正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù).解:

先求正弦級(jí)數(shù).去掉端點(diǎn),將f(x)作奇周期延拓,20注意:在端點(diǎn)x=0,,級(jí)數(shù)的和為0,與給定函數(shù)因此得

f(x)=x+1的值不同.21再求余弦級(jí)數(shù).將則有作偶周期延拓,22說(shuō)明:

令

x=0

可得即23四、周期為2l的周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)周期為2l的函數(shù)f(x)周期為2

的函數(shù)F(z)變量代換將F(z)作傅氏展開(kāi)

f(x)的傅氏展開(kāi)式24狄利克雷(Dirichlet)條件:1)在一個(gè)周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)2)在一個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)極值點(diǎn)設(shè)周期為2l

的周期函數(shù)f(x)滿足收斂定理?xiàng)l件,則它的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式為(在f(x)的連續(xù)點(diǎn)處)其中定理.25說(shuō)明:其中(在f(x)的連續(xù)點(diǎn)處)如果

f(x)

為偶函數(shù),則有(在f(x)的連續(xù)點(diǎn)處)其中注:無(wú)論哪種情況,在f(x)的間斷點(diǎn)x處,傅里葉級(jí)數(shù)都收斂于如果

f(x)為奇函數(shù),則有26例4.把展開(kāi)成(1)正弦級(jí)數(shù);(2)余弦級(jí)數(shù).解:(1)將f(x)作奇周期延拓,則有在x=2k

處級(jí)數(shù)收斂于何值?27(2)將

作偶周期延拓,則有28說(shuō)明:

此式對(duì)也成立,由此還可導(dǎo)出據(jù)此有29利用歐拉公式五、傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)形式設(shè)f(x)是周期為2l的周期函數(shù),則30注意到同理31傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)形式:因此得32式的傅里葉級(jí)數(shù).例5.

把寬為

,高為h,周期為T的矩形波展成復(fù)數(shù)形解:

在一個(gè)周期它的復(fù)數(shù)形式的傅里葉系數(shù)為內(nèi)矩形波的函數(shù)表達(dá)式為3334內(nèi)容小結(jié)1.周期為2的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)及收斂定理其中注意:

若為間斷點(diǎn),則級(jí)數(shù)收斂于352.周期為2的奇、偶函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)

奇函數(shù)正弦級(jí)數(shù)

偶函數(shù)余弦級(jí)數(shù)3.在[0,]上函數(shù)的傅里葉展開(kāi)法

作奇周期延拓,展開(kāi)為正弦級(jí)數(shù)

作偶周期延拓,展開(kāi)為余弦級(jí)數(shù)36為正弦級(jí)數(shù).4.周期為2l的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)公式(x

間斷點(diǎn))其中當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時(shí),(偶)(余弦)1.在[0,]上的函數(shù)的傅里葉展開(kāi)法唯一嗎?答:

不唯一,延拓方式不同級(jí)數(shù)就不同.思考與練習(xí)37

,處收斂于2.則它的傅里葉級(jí)數(shù)在在處收斂于

.提示:設(shè)周期函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的表達(dá)式為383.寫出函數(shù)傅氏級(jí)數(shù)的和函數(shù).答案:定理339備用題

1.葉級(jí)數(shù)展式為則其中系數(shù)提示:利用“偶倍奇零”(1993考研)的傅里40傅里葉(1768–1830)法國(guó)數(shù)學(xué)家.他的著作《熱的解析理論》(1822)是數(shù)學(xué)史上一部經(jīng)典性書中系統(tǒng)的運(yùn)用了三角級(jí)數(shù)和三角積分,他的學(xué)生將它們命名為傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉積分.

最卓越的工具.以后以傅里葉著作為基礎(chǔ)發(fā)展起來(lái)的文獻(xiàn),他深信數(shù)學(xué)是解決實(shí)際問(wèn)題傅里葉分析對(duì)近代數(shù)學(xué)以及物理和工程技術(shù)的發(fā)展都產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響.41狄利克雷(1805–1859)德國(guó)數(shù)學(xué)家.對(duì)數(shù)論,數(shù)學(xué)分析和