第五講方差分析上第一頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一方差分析基本概念5.1單因素方差分析5.2多因素方差分析5.3協方差分析5.4第二頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一

為了進行兩組以上均數的比較，通常可以使用方差分析方法。本章介紹方差分析基本概念、單因素方差分析、多因素方差分析及協方差分析。第三頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一5.1方差分析基本概念

方差分析是R.A.Fister發明的，用于兩個及兩個以上樣本均數差別的顯著性檢驗。方差分析方法在不同領域的各個分析研究中都得到了廣泛的應用。從方差入手的研究方法有助于找到事物的內在規律性。第四頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一

受不同因素的影響，研究所得的數據會不同。造成結果差異的原因可分成兩類：一類是不可控的隨機因素的影響，這是人為很難控制的一類影響因素，稱為隨機變量；另一類是研究中人為施加的可控因素對結果的影響，稱為控制變量。第五頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一

在影響教學效果的因素中，就有兩類因素：一是人為可控制的變量，如教學的方法、教材的使用；還有一類是隨機的變量，如學生接受知識的能力（這里指的是一個普通班級的學生接受知識能力，因此是隨機的。在某些情況下，比如將學生按學習水平、能力分成高、中、低幾個班級，在這時，學生接受知識的能力是一個控制變量。因此，隨機變量和控制變量的劃分并不是絕對的，根據分析情況的不同而不同，應區別對待）。第六頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一

可以對兩個普通的班級分別使用兩種不同的教學方法，一段時間后進行測試，就可以得到不同教學方法對教學效果的影響。同樣，也可以使用不同的教材，分析其對教學效果的影響。第七頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一

方差分析就是實現上述功能的分析方法。方差分析的基本思想是：通過分析研究不同變量的變異對總變異的貢獻大小，確定控制變量對研究結果影響力的大小。通過方差分析，分析不同水平的控制變量是否對結果產生了顯著影響。如果控制變量的不同水平對結果產生了顯著影響，那么它和隨機變量共同作用，必然使結果有顯著的變化；如果控制變量的不同水平對結果沒有顯著的影響，那么結果的變化主要由隨機變量起作用，和控制變量關系不大。第八頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一

根據控制變量的個數，可以將方差分析分成單因素方差分析和多因素方差分析。單因素方差分析的控制變量只有一個（但一個控制變量可以有多個觀察水平），多因素方差分析的控制變量有多個。第九頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一5.2單因素方差分析5.2.1統計學上的定義和計算公式

定義：單因素方差分析測試某一個控制變量的不同水平是否給觀察變量造成了顯著差異和變動。例如，培訓是否給學生成績造成了顯著影響；不同地區的考生成績是否有顯著的差異等。第十頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一

單因素方差分析實質上采用了統計推斷的方法，由于方差分析有一個比較嚴格的前提條件，即不同水平下，各總體均值服從方差相同的正態分布，因此方差分析問題就轉換成研究不同水平下各個總體的均值是否有顯著差異的問題。第十一頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一

計算公式：采用的統計推斷方法是計算F統計量，進行F檢驗。總的變異平方和記為SST，分解為兩個部分：一部分是由控制變量引起的離差，記為SSA（組間BetweenGroups離差平方和）；另一部分隨機變量引起的SSE（組內WithinGroups離差平方和）。于是有第十二頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一其中，其中，k為水平數；ni為第i個水平下的樣本容量。可見，組間樣本離差平方和是各水平組均值和總體均值離差的平方和，反映了控制變量的影響。第十三頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一

組內離差平方和是每個數據與本水平組平均值離差的平方和，反映了數據抽樣誤差的大小程度。第十四頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一F統計量是平均組間平方和與平均組內平方和的比，計算公式為n-k=(n1-1)+…+(nk-1)=n-k第十五頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一

從F值計算公式可以看出，如果控制變量的不同水平對觀察變量有顯著影響，那么觀察變量的組間離差平方和必然大，F值也就比較大；相反，如果控制變量的不同水平沒有對觀察變量造成顯著影響，那么，組內離差平方和影響就會比較大，F值就比較小。第十六頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一單因素方差分析零假設H0:控制變量的不同水平對各總體均值沒有顯著影響。第十七頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一第十八頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一5.2.2SPSS中實現過程

研究問題表5-1 三組學生的數學成績人名數學組別hxh99.000yaju88.000yu99.000shizg89.000hah94.000s90.000watet79.002jess56.002wish89.0022_new199.0022_new270.0022_new389.0022_new455.0012_new550.0012_new667.0012_new767.0012_new856.0012_new956.001第十九頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一

實現步驟圖5-1在菜單中選擇“One-WayANOVA”命令第二十頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一圖5-2“One-WayANOVA”對話框第二十一頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一圖5-3“One-WayANOVA：Options”對話框第二十二頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一圖5-4“One-WayANOVA：PostHocMultipleComparisons”對話框第二十三頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一ANOVA（ANalasisOfVAriance）方差分析One-WayANOVA單因素方差分析PostHocMultipleComparisons在研究設計階段未預先考慮或預料到，經假設檢驗得出多個總體均數不全相等的提示后，才決定的多個均數的多重事后比較。LSD(Least-significantdifference)最小顯著差數法，用t檢驗完成各組均值間的配對比較。S-N-K(Student-Newmnan-Keuls)用StudentRange分布進行所有各組均值間的配對比較。如果各組樣本含量相等或者選擇了“Harmonicaverageofallgroups”即用所有各組樣本含量的調和平均數進行樣本量估計時還用逐步過程進行齊次子集(差異較小的子集)的均值配對比較。在該比較過程中，各組均值從大到小按順序排列，最先比較最末端的差異。第二十四頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一圖5-5“One-WayANOVA：Contrasts”對話框第二十五頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一5.2.3結果和討論

（1）首先是單因素方差分析的前提檢驗結果，也就是Homogeneityofvariancetest第二十六頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一（2）輸出的結果文件中第2個表格如下所示。第二十七頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一（3）輸出的結果文件中第3個表格如下所示。第二十八頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一（4）輸出的結果文件中第4個表格如下所示。HomogeneousSubsets

第二十九頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一

（5）輸出結果的最后部分是各組觀察變量均值的折線圖，如圖5-6所示。第三十頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一5.2.4

方差齊次性檢驗未通過的解決辦法各分組的方差相同是進行單因素的方差分析的前提條件之一，當該條件不滿足時應該如果處理呢？解決辦法：調整F檢驗SPSS提供了兩個調整F值：Brown-ForsytheF

和Welch’sF第三十一頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一在可選項對話框進行指定：5.2.4

方差齊次性檢驗未通過的解決辦法第三十二頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一調整后的結果：5.2.4

方差齊次性檢驗未通過的解決辦法第三十三頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一5.2.5

結果報告Theassumptionofhomogeneityofvarianceshasbeenviolated(F(2,15)=3.86,p<0.05).Welch’sasymptoticalFdistribution(F(2,8.96)=46.06,p<0.001)reportsthatmathlearningeffectsaresignificantlydifferentamongthethreegroups.第三十四頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一5.3多因素方差分析5.3.1統計學上的定義和計算公式

定義：多因素方差分析中的控制變量在兩個或兩個以上，它的研究目的是要分析多個控制變量的作用、多個控制變量的交互作用以及其他隨機變量是否對結果產生了顯著影響。例如，在本章開始講述的例子，在獲得教學效果的時候，不僅單純考慮教學方法，還要考慮不同風格教材的影響，因此這是兩個控制變量交互作用的效果檢驗。第三十五頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一

多因素方差分析不僅需要分析多個控制變量獨立作用對觀察變量的影響，還要分析多個控制變量交互作用對觀察變量的影響，及其他隨機變量對結果的影響。因此，它需要將觀察變量總的離差平方和分解為3個部分：第三十六頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一

多個控制變量單獨作用引起的平方和；多個控制變量交互作用引起的離差平方和；

其他隨機因素引起的離差平方和。第三十七頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一第三十八頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一第三十九頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一第四十頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一第四十一頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一

以上F統計量服從F分布。SPSS將自動計算F值，并根據F分布表給出相應的相伴概率值。第四十二頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一第四十三頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一5.3.2SPSS中實現過程

研究問題表5-2 三組不同性別學生的數學成績人名數學組別性別hxh99.000maleyaju88.000femaleyu99.000maleshizg89.000malehah94.000females90.000malewatet79.002malejess56.002femalewish89.002male2_new199.002male2_new270.002female2_new389.002male2_new455.001female2_new550.001male2_new667.001female2_new767.001male2_new856.001female2_new956.001male第四十四頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一

實現步驟圖5-7在菜單中選擇“Univariate”命令第四十五頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一圖5-8“Univariate”對話框（一）第四十六頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一圖5-9“Univariate:Options”對話框（一）第四十七頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一圖5-10“Univariate:PostHocMultipleComparisonsforObservedMeans”對話框第四十八頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一圖5-11“Univariate：Model”對話框第四十九頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一圖5-12“Univariate：ProfilePlots”對話框第五十頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一圖5-13“Univariate：Contrasts”對話框第五十一頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一5.3.3結果和討論

（1）SPSS輸出結果文件中的第一部分如下兩表所示。第五十二頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一

（2）輸出的結果文件中第二部分如下表所示。第五十三頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一

（3）輸出的結果文件中第三部分如下表所示。第五十四頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一

（4）輸出的結果文件中第四部分如下表所示。第五十五頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一

（5）輸出的結果文件中第五部分如下表所示。第五十六頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一

（6）輸出的結果文件中第六部分如下表所示。第五十七頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一

（7）

輸出結果的最后部分是控制變量之間是否有交互影響的圖形。第五十八頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一5.4.1統計學上的定義和計算公式5.4協方差分析

定義：協方差分析是將那些很難控制的因素作為協變量，在排除協變量影響的條件下，分析控制變量對觀察變量的影響，從而更加準確地對控制因素進行評價。第五十九頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一

利用協方差分析就可以完成這樣的功能。協方差將那些很難控制的隨機變量作為協變量，在分析中將其排除，然后再分析控制變量對觀察變量的影響，從而實現對控制變量效果的準確評價。協方差分析要求協變量應是連續數值型，多個協變量間互相獨立，且與控制變量之間也沒有交互影響。第六十頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一

前面單因素方差分析和多因素方差分析中的控制變量都是一些定性變量。而協方差分析中則即包含了定性變量（控制變量），又包含了定量變量（協變量）。第六十一頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一第六十二頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一第六十三頁，共六十八頁，編輯于2023年，星期一

以上F統計量服從F分布。SPSS將自動計算F值，并根據F分布表給出相應的相伴概率