1.3.2“楊輝三角”與二項式系數(shù)的性質(zhì)1

一般地，展開式的二項式系數(shù)有如下性質(zhì)：（1）（2）（4）（3）當n為偶數(shù)時，最大當n為奇數(shù)時，=且最大（對稱性）23

余數(shù)是1，所以是星期六引例、今天是星期五，那么天后的這一天是星期幾？提出問題4知識點1：

整除及近似計算問題5提出問題67知識點2：

賦值法的應用8已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求下列各式的值．(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6；(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.[思路探索]本題主要考查二項式系數(shù)與各項系數(shù)的區(qū)別，賦值法在求二項式系數(shù)中的應用以及分析問題、解決問題的能力．可用賦值法解決各項系數(shù)和或部分項系數(shù)和，一般令x＝0或x＝±1解決問題．【例題】9解令x＝1，則a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－1. ①令x＝－1，則a0－a1＋a2－…－a7＝37. ②(1)令x＝0，得a0＝1，代入①中得：a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2.(2)由①－②得2a1＋2a3＋2a5＋2a7＝－1－37，(4)法一

∵(1－2x)7的展開式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|10＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)＝1093－(－1094)＝2187.法二|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|是(1＋2x)7展開式中各項的系數(shù)和，令x＝1，∴|a0|＋|a1|＋…＋|a7|＝37＝2187.11習題訓練12131415變式訓練1617181920題型一與楊輝三角有關(guān)的問題如圖在“楊輝三角”中，斜線AB的上方，從1開始箭頭所示的數(shù)組成一個鋸齒形數(shù)列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，記其前n項和為Sn，求S19的值．【例1】[思路探索]本題關(guān)鍵是觀察數(shù)列的特征，數(shù)列的每一項在楊輝三角中的位置，把各項還原為二項展開式的二項式系數(shù)，再利用組合數(shù)求解．21規(guī)律方法解決與楊輝三角有關(guān)的問題的一般思路是：通過觀察找出每一行數(shù)據(jù)間的相互聯(lián)系以及行與行間數(shù)據(jù)的相互聯(lián)系．然后將數(shù)據(jù)間的這種聯(lián)系用數(shù)學式子表達出來，使問題得解．注意觀察方向：橫看、豎看、斜看、連續(xù)看、隔行看，從多角度觀察．22題型三二項式系數(shù)性質(zhì)的應用【例3】23[規(guī)范解答](1)令x＝1，則二項式各項系數(shù)的和為f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展開式中各項的二項式系數(shù)之和為2n.由題意知，4n－2n＝992.∴(2n)2－2n－992＝0， (2分)∴(2n＋31)(2n－32)＝0，∴2n＝－31(舍)，或2n＝32，∴n＝5. (4分)由于n＝5為奇數(shù)，所以展開式中二項式系數(shù)最大的項為中間兩項，它們分別是24【題后反思】(1)求二項式系數(shù)最大的項，要依據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)對(a＋b)n中的n進行討論，n為奇數(shù)時中間兩項的二項式系數(shù)最大；n為偶數(shù)時，中間一項的二項式系數(shù)最大．25 在(3x－2y)20的展開式中，求(1)二項式系數(shù)最大的項；(2)系數(shù)絕對值最大的項；(3)系數(shù)最大的項．【變式3】26求(1＋2x)20的展開式中x的奇次方項和x的偶次方項的系數(shù)和各是多少？[錯解1]∵二項展開式中奇次方項系數(shù)和偶次方項的系數(shù)和相同，∴奇次方項和偶次方項的系數(shù)和各為219.誤區(qū)警示混淆“項的系數(shù)”與“二項式系數(shù)”錯用二項式系數(shù)性質(zhì)致錯【示例】27 錯解1主要還是沒看清題意，將系數(shù)和與二項式系數(shù)和混淆了；錯解2解法欠妥，數(shù)據(jù)都對，但錯解2中的和很難求出．其原因還是沒把握住求和與系數(shù)和的根本方法． 關(guān)于系數(shù)和的問題，多注意用賦值方法解決．28單擊此處進入活頁規(guī)范訓練29例1、若展開式中前三項系數(shù)成等差

數(shù)列，求（1）展開式中含x的一次冪的項；（2）展開式中所有x的有理項；