第=page11頁，共=sectionpages11頁2022-2023學年安徽省合肥市廬巢八校聯考高一（下）期中數學試卷一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.設a，b是兩個不共線的平面向量，已知m=a?2b，n=3A.2 B.?2 C.6 D.2.若復數z滿足z(?1+2i)=A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.如圖，在△ABC中，AN=13NC，P是BNA.911 B.511 C.2114.一平面四邊形OABC的直觀圖O′A′B′C′如圖所示，其中O′A.322

B.32

5.設m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，有下列四個命題：其中正確命題的序號是(

)

①若m?β，α⊥β則m⊥α；

②若m?β，α//β，則m//α；

③若m⊥α，m⊥βA.③④ B.①② C.②④6.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a2+cA.1 B.2 C.2 D.7.三棱錐P?ABC的三條側棱PA、PB、PC兩兩互相垂直，且長度分別為3、4、A.202π B.125268.如圖，P為平行四邊形ABCD所在平面外一點，E為AD的中點，F為PC上一點，當PA//A.23

B.14

C.13二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）9.已知向量a=(2,1)A.(a+b)//a

B.向量a在向量b上的投影向量為?12b

C.a10.設復數z=3+iA.實部為2 B.虛部為?i

C.模為5 11.如圖是正方體的平面展開圖，則關于這個正方體的說法正確的是(

)A.BM與ED平行 B.CN與BE是異面直線

C.CN與BM成60°12.如圖，透明塑料制成的長方體容器ABCD?A1B1A.沒有水的部分始終呈棱柱形

B.水面EFGH所在四邊形的面積為定值

C.隨著容器傾斜度的不同，A1C1始終與水面所在平面平行

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.已知|a|=|b|=1，a與b的夾角是90°，c=2a+14.已知|z|=2，則|z15.如圖，一立在水平地面上的圓錐形物體的母線長為4m，一只小蟲從圓錐的底面圓上的點P出發，繞圓錐表面爬行一周后回到點P處．若該小蟲爬行的最短路程為43m，則圓錐底面圓的半徑等于______16.直角梯形ABCD中AD⊥DC，AD/四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.(本小題10.0分)

設向量a與b滿足|a|=|b|=1，|3a?b|=18.(本小題12.0分)

已知：復數z=(1+i)2+2i1+i，其中i為虛數單位．

(1)求19.(本小題12.0分)

如圖，在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，截去三棱錐A1?A20.(本小題12.0分)

在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，且2ccosA=2b?3a.

(I)21.(本小題12.0分)

在正方體ABCD?A1B1C1D1中，S是B1D1的中點，E，F，G分別是BC，DC，22.(本小題12.0分)

已知向量m=(3sinx,cosx)，n=(cosx,cosx)，x∈R，設f(x)=m?答案和解析1.【答案】D

【解析】解：∵m=a?2b，n=3a+kb(k∈R)2.【答案】C

【解析】解：由z(?1+2i)=|1+3i|=10得z=10?1+3.【答案】D

【解析】【分析】本題考查的知識點是平面向量的基本定理及其應用．

由已知△ABC中，AN=13NC，P是BN上的一點，設BP【解答】解：∵P是BN上的一點，

設BP=λBN，

又AN=13NC，

則AP=AB+BP

=AB+λBN

4.【答案】B

【解析】解：平面四邊形OABC的直觀圖O′A′B′C′是直角梯形，其面積為12×(1+2)×1=32；

根據平面圖形與它的直觀圖面積比為15.【答案】D

【解析】解：①不對，也可能m//α；

根據兩個平面平行的性質可得②正確；

若m⊥α，m⊥β，則α//β；再根據n⊥α，可得n⊥β，故③正確；

④不正確，由條件知，也可能n?β6.【答案】A

【解析】解：∵在△ABC中，a2+c2=b2+ac，

∴可得a2+c2?b2=ac，

∵由余弦定理可得cosB=a2+c2?b22ac=12，

∴由0<B<π7.【答案】C

【解析】解：以PA、PB、PC為過同一頂點的三條棱，作長方體如圖

則長方體的外接球同時也是三棱錐P?ABC外接球．

∵長方體的對角線長為32+42+52=52

∴球直徑為52，半徑R=5228.【答案】D

【解析】解：連接AC與BE相交于點O，連接FO，如圖所示，

PA//平面EBF，PA?平面PAC，平面PAC∩平面EBF=FO，∴PA//FO，則有PFFC=AOOC．

∠AOE=∠9.【答案】BC【解析】【分析】本題考查了平面向量的坐標運算與命題真假判斷問題，考查了計算與推理能力，屬于中檔題．

根據平面向量的坐標表示與運算法則，判斷選項中的命題是否正確即可．【解答】解：對于A，向量a=(2,1)，b=(?3,1)，

所以a+b=(?1,2)，且?1×1?2×2=?5≠0，

所以a+b與a不平行，A錯誤；

對于B，向量a在向量b上的投影向量為

10.【答案】AC【解析】解：z=3+i1+i=(3+i)(1?i)(1+i)(1?11.【答案】CD【解析】解：把平面展開圖還原原幾何體如圖：

A.由正方體的性質可知，BM與ED異面且垂直，故A錯誤；

B.CN與BE平行，故B錯誤；

C.連接BE，則BE//CN，∠EBM為CN與BM所成角，連接EM，可知△BEM為正三角形，則∠EBM=12.【答案】AD【解析】解：因為容器的左側面與右側面平行，在容器傾斜的過程中，沒有水的部分始終滿足棱柱的結構特征，故沒有水的部分始終呈棱柱形，A正確；

在容器傾斜的過程中，水面成矩形面，長度EF不變，寬度EH變化，則水面EFGH所在四邊形的面積變化，故B錯誤；

A1C1//AC，圖(3)中，AC與水面相交，則A1C1與水面所在的平面相交，故C13.【答案】6

【解析】解：∵c⊥d，c=2a+3b，d=ka?4b，

故(2a+3b)?(ka?4b14.【答案】7

【解析】解：設z=x+yi，x，y∈R，

|z|=2，

則x2+y2=4，

故z在復平面中的點P(x,y)在以(0,0)為圓心，r=2為半徑的圓周上，z+3?15.【答案】43【解析】解：作出該圓錐的側面展開圖如右：由已知得OP=OQ=4，PQ=43，

所以cos∠POQ=OP2+O16.【答案】(3【解析】【分析】

本題考查的知識點是圓柱與圓錐的體積及余弦定理，屬中檔題．

由圓錐及圓柱的幾何特征可得，該幾何體由兩個底面相等的圓錐和圓柱組合而成，其中圓柱和圓錐的高均為1，代入圓柱和圓錐的體積公式，即可得到答案．

【解答】

解：由圖中數據可得：

S圓錐側=12×π×2×2=2π，17.【答案】解：(1)∵向量a與b滿足|a|=|b|=1，|3a?b|=5．

∴|3a?b|2=9a2+b2?6a?【解析】本題考查向量的模的求法，考查向量夾角的正弦值的求法，考查向量的模、向量數量積公式等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．

(1)由向量a與b滿足|a|=|b|=1，|3a?b|=5.求出18.【答案】解：(1)z=(1+i)2+2i1+i=2【解析】(1)根據已知條件，結合復數的四則運算，以及復數模公式，即可求解．

(2)19.【答案】解：(1)∵正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2，

∴△A1BD的邊長為2【解析】本題考查多面體體積與表面積的求法，考查計算能力，是基礎題．

(1)直接由三角形面積公式求三棱錐A1?A20.【答案】解：(I)由2ccosA=2b?3a，利用正弦定理化簡得：2sinCcosA=2sinB?3sinA，

即2sinCcos【解析】(I)已知等式利用正弦定理化簡，整理后根據sinA不為0求出cosC的值，即可確定出角C的大小；

(Ⅱ)利用三角形面積公式列出關系式，把b，sin21.【答案】解：(1)證明：連AC，BD交于點O，連SB，D1O，

∵G，E分別是SCBC的中點，∴GE//SB，

又D1S//BO，D1S=BO，則四邊形D1SBO為平行四邊形，

∴SB//D1O，∴GE//D1O，

GE?平面DlAC，DlO?平面DlAC，

∴EG//平面D1AC；

(2)證明：由題連接OF，A1F，

∵OF是△【解析】(1)連AC，BD交于點O，連SB，D1O，證明GE//D1