§9.7動量原理在碰撞問題中的應用碰撞：物體突然受到?jīng)_擊或遇到障礙（突加約束）時，運動狀態(tài)發(fā)生急劇改變的一種力學現(xiàn)象。問題：宏觀角度研究碰撞前后物體角速度和質(zhì)心速度的改變情況。理論基礎：不用力及能量來研究度量基本假設：1.碰撞過程中，常力及普通力的作用忽略不計。2.碰撞過程中，物體的位移忽略不計動量原理11.碰撞時的動量定理——沖量定理。設質(zhì)量為m的質(zhì)點，碰撞前后的速度分別為v、u，碰撞發(fā)生的時間段為[0，t]，力為F，則由動量定理，得碰撞沖量表明：質(zhì)點在碰撞過程中的動量改變等于作用于質(zhì)點上的碰撞沖量。對n個質(zhì)點組成的質(zhì)點系，將質(zhì)點mi的沖量分為外碰撞沖量Ii(e)和內(nèi)碰撞沖量Ii(i)，則2由于內(nèi)碰撞沖量總是成對出現(xiàn)，即——沖量定理利用系統(tǒng)動量關(guān)系表明：質(zhì)點系動量的改變等于作用于質(zhì)點系外碰撞沖量的矢量和。式中，uC和vC分別為碰撞結(jié)束和開始時質(zhì)點系質(zhì)心的速度。3即得n個方程的矢量和為2.碰撞時的動量矩定理——沖量矩定理。考慮一個質(zhì)點：設碰撞過程中質(zhì)點對固定點O的矢徑r保持不變（基本假設2）對質(zhì)點系，將質(zhì)點mi上的沖量分為質(zhì)點系外碰撞沖量Ii(e)和內(nèi)碰撞沖量Ii(i)，則由4記則表明：碰撞過程中，質(zhì)點系對于某定點動量矩的改變，等于作用于質(zhì)點系的外碰撞沖量對同一點之矩的矢量和。若點O取為質(zhì)心C，則同理可得式中質(zhì)點系相對定點的沖量矩定理質(zhì)點系相對質(zhì)心的沖量矩定理5式中質(zhì)點系相對質(zhì)心的沖量矩定理表明：碰撞過程中，質(zhì)點系對于質(zhì)心動量矩的改變，等于作用于質(zhì)點系的外碰撞沖量對質(zhì)心之矩的矢量和。注意:b.質(zhì)點系對動點的動量矩可由相對動量矩與牽連動量矩公式計算，也可由兩點動量矩關(guān)系計算。6a.將質(zhì)心C改為任意一確定點，沖量矩定理形式保持不變。3.碰撞沖量對定軸轉(zhuǎn)動剛體的作用與撞擊中心設剛體繞定軸Oz轉(zhuǎn)動，受到外碰撞沖量的作用由沖量矩定理在z軸上的投影式，得設1、2為剛體在碰撞前后兩個瞬時的角速度，Jz為剛體繞定軸Oz的轉(zhuǎn)動慣量，則外碰撞沖量對z軸之矩的代數(shù)和外碰撞沖量：主動力的碰撞沖量軸承的碰撞沖量對變化無影響對構(gòu)件壽命有害如何減小或消除？7OxyIOxy碰撞沖量I也作用在此質(zhì)量對稱面內(nèi)，與x軸交于O,與y軸夾角為，且OO=loI得設1、2為剛體在碰撞前后兩個瞬時的角速度(逆時針），JO為剛體繞定軸Oz的轉(zhuǎn)動慣量，則由設軸承O對剛體的碰撞沖量IO沿x、y的正交分量為Iox、Ioy，設剛體繞定軸Oz轉(zhuǎn)動（Oxy為其質(zhì)量對稱面），質(zhì)量為m，質(zhì)心為C，取OC為x軸正向,且OC=rCCOIOxIOylo由沖量定理在x、y軸上的投影式，得8OxyI要使剛體在軸承處不受碰撞沖量的作用，即Iox=0、Ioy=0，COIOxIOylo則可得滿足此條件時，I與O、C兩點連線的交點O稱為碰撞中心若rC=0，則碰撞中心不存在。94.碰撞沖量對平面運動剛體的作用設剛體具有質(zhì)量對稱面，且剛體的運動也在其內(nèi)。若碰撞沖量I也作用在此質(zhì)量對稱面內(nèi)，則碰撞后，剛體仍在此面內(nèi)運動。聯(lián)立沖量定理與相對質(zhì)心的沖量矩定理，可得10例1圖示一靜止位于光滑水平面內(nèi)的均質(zhì)細桿AB，質(zhì)量為m,長為L,今有一沖量I沿水平面垂直作用于桿上，欲使此桿的端點A碰撞結(jié)束瞬時的速度為零，試問沖量I應作用于桿的什么位置？ABIb

對桿進行運動分析：解:

碰撞后：繞A點的定軸轉(zhuǎn)動碰撞前:靜止

沖量定理：設此時角速度為

沖量矩定理：11

另：考慮動量矩守恒例2圖示一靜止位于鉛垂面內(nèi)的鏈桿機構(gòu)，三桿均為均質(zhì)細桿，質(zhì)量均為m,長度均為l,今有一沖量I水平作用于桿O1A上，若碰撞后使鉸鏈O1處的約束沖量為零，則h=?AO1O2BIh解:

沖量I作用下，約束O1、O2處會產(chǎn)生相應的約束沖量

由題意得IO2xIO2yIO1xIO1yIO1x=IO1y=0

設碰撞后桿O1A的角速度為

整體沖量矩定理：

AB平動12AO1O2BIhIO2yCvC

以桿O1A為對象

沖量矩定理：C1

聯(lián)立(1)(2),得13IAxIAyIO2x5.材料對碰撞的影響與恢復因數(shù)在碰撞時若碰撞沖量I未知，則僅利用沖量定理與沖量矩定理方程數(shù)不夠，需根據(jù)碰撞物體間的恢復因數(shù)列寫補充方程，才能求解。（1）碰撞過程的兩個階段v()I1v=0a.壓縮階段由沖量定理，得光滑水平面I2u()b.恢復階段仍由沖量定理，得14（2）材料的恢復因數(shù)牛頓在大量實驗的基礎上發(fā)現(xiàn)：當碰撞的材料一定時，碰撞結(jié)束與開始時的速度比近似為常數(shù)，即——常數(shù)e稱為恢復因數(shù)h1h2恢復因數(shù)表示碰撞后物體速度恢復的程度碰撞后物體變形恢復的程度碰撞后物體變形機械能損失的程度15對各種材料，均有表明：碰撞后變形不能完全恢復——非完全彈性碰撞e=1為理想情形，即碰撞后變形完全恢復，動能無損失。e=0為極限情況，即碰撞后變形絲毫沒有恢復。——非彈性碰撞或塑性碰撞——完全彈性碰撞C1C2對心碰撞偏心碰撞接觸點公法線若碰撞前后接觸點處的相對速度沿接觸點的公法線方向——正碰撞斜碰撞16設碰撞前兩物體接觸點處的絕對速度分別為v1、v2，碰撞后兩物體接觸點處的絕對速度分別為u1、u2，則恢復因數(shù)可定義為碰撞后兩物體接觸點處公法線方向的相對速度碰撞前兩物體接觸點處公法線方向的相對速度即恢復因數(shù)等于兩物體接觸點處沿公法線方向的分離速度與接近速度之比1718集體答疑準備安排

1月22日（周四）

1月24日（周六）

1月25日（周日）三天考試時間

:第18周周一（1月26日）

上午9:30-----11:30CABvo例3圖示質(zhì)量為m,長為l的均質(zhì)細桿AB,與鉛垂線成角平行下落到光滑的水平面上，設桿到達水平面時的速度為vo，A端與水平面的恢復因數(shù)為e,試求碰撞結(jié)束時桿的角速度和桿質(zhì)心C的速度。

對桿進行運動分析：解:碰前:平動

水平面光滑桿關(guān)于A點動量矩守恒A處沖量IAx=0,IAy未知，可由e給出補充方程。IAy19

碰后：平面運動設此時桿的角速度為，質(zhì)心C的速度為uCCABuCIAx=0uCx=0設碰后A點的速度為uA沿鉛垂方向投影，得聯(lián)立(1)(2)，得20

碰后：平面運動CABuC由A點動量矩守恒21例4圖示一質(zhì)量為M、半徑為r的均質(zhì)圓盤以角速度O繞它邊緣一點A在其平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，設想A釘突然脫開，圓盤邊緣另一點B突然被固定，設AB弧所對的圓心角為，求圓盤繞點B轉(zhuǎn)動的角速度及在B點所受到的沖量Ix、Iy。AOB解:B突然被固定IxIy碰撞沖量對該點之矩為零對B點動量矩守恒vOr22AOBIxIyvOr

沖量定理：2324ABOD例5圖示擺錘由無重桿AB和鉸于B端的均質(zhì)圓柱B構(gòu)成圓柱質(zhì)量為m

，AB長為l。初始時，AB與鉛垂線夾角為O=60o,且無初速釋放；當擺錘運動到最低點時與靜止在水平地面上質(zhì)量為2m的梯形物體D相撞；梯形體斜面傾角=30o。設碰撞是完全彈性的，所有接觸處光滑，求碰撞后梯形體D沿水平面滑動的速度和桿AB的能回升的最大角度max。解:擺錘下落時作什么運動？設碰撞前擺錘質(zhì)心速度為vB：動能定理vB平動