附錄Ⅰ截面的幾何性質(zhì)A、IP等均為與截面的幾何形狀和尺寸大小有關(guān)的幾何量，稱為截面的幾何性質(zhì)。本章將介紹這些幾何性質(zhì)的定義和計(jì)算方法。拉壓：扭轉(zhuǎn)：彎曲：§Ⅰ-1截面的靜面矩和形心位置§Ⅰ-2慣性矩、慣性積和慣性半徑§Ⅰ-4轉(zhuǎn)軸公式主慣性軸和主慣性矩§Ⅰ-3平行移軸公式目錄一、截面的靜面矩（靜矩）特點(diǎn)：1、靜面矩不僅與平面圖形的形狀尺寸有關(guān)，還與所選坐標(biāo)的位置有關(guān)。同一平面圖形對(duì)不同的坐標(biāo)軸，其靜面矩不同。2、靜面矩的數(shù)值可正可負(fù)，也可以為零。3、靜面矩的單位：m3或

mm3

定義：§Ⅰ-1截面的靜面矩和形心位置截面對(duì)z軸的靜面矩截面對(duì)y軸的靜面矩zyOdAzy二、平面圖形的形心位置圖示為均質(zhì)等厚薄板，厚度為δ，面積為A，單位體積的重量為γ。設(shè)重心為C點(diǎn)，其坐標(biāo)為yC、zC。利用合力矩定理可求得重心的坐標(biāo)公式為（a）（b）（a）（b）平面圖形的形心坐標(biāo)公式則：或(I-2a)(I-2b)(I-1)推論：即：z軸過形心<＝>

Sz=0解：I、II兩部分的面積及形心的y坐標(biāo)分別為因?yàn)檎麄€(gè)矩形截面對(duì)z軸的靜面矩恒等于零，即例I-1求I、II兩部分面積對(duì)z軸的靜面矩SzI和SzII，并對(duì)其結(jié)果進(jìn)行分析。ⅡⅠ例I-2求半徑為R的半圓截面對(duì)直徑軸z的靜面矩Sz，并確定其形心坐標(biāo)。解：取對(duì)稱軸為y軸，則形心必位于y軸上。根據(jù)定義：(d=2R)求圖示截面對(duì)y、z軸的靜面矩以及形心位置zyOR解法1：思考：ydy解法2：zyOr三、組合截面的靜面矩和形心位置組合截面對(duì)于某一軸的靜面矩就等于該截面的各組成部分對(duì)于同一軸的靜面矩的代數(shù)和，即：其中：Ai，yCi，zCi分別代表第i個(gè)簡(jiǎn)單圖形的面積和形心坐標(biāo)，n為組成此截面的簡(jiǎn)單圖形的個(gè)數(shù)。(I-3)1.組合截面的靜面矩2、組合截面的形心坐標(biāo)公式其中：yC

、

zC為組合截面的形心坐標(biāo)

Sz、Sy為組合截面對(duì)z、y軸的靜面矩

A為組合截面的總面積,(I-4)①②1002014020求圖示T形截面的形心位置例I-3解：把T形截面看做由①、②兩個(gè)矩形截面組成。§Ⅰ-2慣性矩、慣性積和慣性半徑一、慣性矩與慣性積慣性矩定義特點(diǎn)：（3）慣性矩的量綱為長(zhǎng)度的四次方，單位為m4。（2）慣性矩恒為正值截面對(duì)z軸的慣性矩截面對(duì)y軸的慣性矩zyOdAzy（1）慣性矩不僅與截面的形狀尺寸有關(guān)，還與所選坐標(biāo)軸的位置有關(guān)，同一截面對(duì)不同坐標(biāo)軸慣性矩不同。----------(I-5)慣性積定義特點(diǎn):(2)其值可正、可負(fù)，可零。截面對(duì)y、z軸的慣性積zyOdAzy(1)慣性積的量綱為長(zhǎng)度的四次方，單位為m4。(3)若截面有一個(gè)對(duì)稱軸，則截面對(duì)包含此對(duì)稱軸在內(nèi)的正交坐標(biāo)軸的慣性積必為零。（對(duì)稱軸）-------(I-6)任意桃截面鐵對(duì)其景所在劫平面位內(nèi)任樣一點(diǎn)烤的極村慣性恒矩Ip，等訪于該謠截面礙對(duì)過疊此點(diǎn)濁的一對(duì)發(fā)正交耍坐標(biāo)有軸的光慣性件矩之挖和。二、滅極慣慈性矩定義句式zyOdAzyA（I-7）（I-釣7）式僑表明首：三、化組合慘截面奶的慣演性矩蓄和慣摔性積組合前截面句對(duì)于塔某軸泊的慣釘性矩集等于我它的杜各組放成部啦分對(duì)德同一喊軸的隔慣性棉矩之饒和，飄慣性搜積也嗽類同鹿。可鹽表示魄為：--盼--霜--檔--狠--溫--搬(I敘-8辟)其中iz、iy分別嚼稱為尾截面線對(duì)z軸和y軸的慣性祖半徑。工程軌中常輔把慣臭性矩怒表示酒為截抬面的臥面積滿與某叮一長(zhǎng)抖度平偵方的屑乘積,即或四、秀慣性薪半徑慣性誓半徑約的常阿用單路位為潔米（m）或執(zhí)毫米暫（mm）。（I-枝9）求矩形截面對(duì)其對(duì)稱軸z和y軸的慣性矩例I-4解：五、昏常用恨截面?zhèn)z慣性掛矩公妄式求圖臣示圓徐截面蠟對(duì)其桿形心唱軸z、y的慣止性矩例I-序5解：方法匆一：方法迅二：模（定霉義）同理，冒對(duì)于子空心是圓：§Ⅰ-3平行倘移軸磨公式條件見：C為形惠心，yC、zC為形屋心軸非，O--超--到--族--扇--仇--午-平行晨移軸癥公式證明:(第二竟式)坐標(biāo)陣關(guān)系期：(I掌-1翁0)則；(1似)兩平眨行軸贏中必認(rèn)須有揭一對(duì)虹為形井心軸面。(2載)在應(yīng)獄用慣辯性積態(tài)平行劑移軸挎公式妹時(shí)，乓注意a、b的正慢負(fù)號(hào)唐。注意噸：O平行移軸公式反移軸公式則：例I-醒6求圖熔示截發(fā)面對(duì)梯形心浪軸y、z的慣桿性矩。解：(1劫)計(jì)算南三部鳴分對(duì)y、z軸的捕慣性仆矩（2）計(jì)減算截比面的嘉慣性郵矩IIIIII例I-盾7（書涉例I-繭9）求圖居示半便圓截午面對(duì)礦平行切于底萬邊的z軸的吐慣性捆矩。解：整個(gè)圓截面對(duì)z1軸的慣性矩為，則半圓對(duì)z1軸慣性矩為雖然z軸與z1軸平怕行，屯但它愁們都泥不是若半圓堡截面郊的形沃心軸兄，故伴不能錢直接有移軸盜，即4040a＝100a＝100例I-猜8求圖噴示截耳面對(duì)重形心體軸z、y的慣乒性矩拜。解：(1菊)計(jì)算鵲半圓推對(duì)z軸的悔慣性督矩故4040a＝100a＝100(2予)計(jì)算Iz(3格)計(jì)算Iy比較短：例I-抖9求圖銷示截喪面對(duì)繞水平z(過形郊心)軸的窯慣性手矩。解：可以寧看成宵外面叛的大窩矩形夜對(duì)z軸的灑慣性燥矩減炭去里鋪面的昂小矩溜形對(duì)z軸的脊慣性右矩。形心俯坐標(biāo)鼓：外面球的大專矩形滋對(duì)Z軸的啄慣性奴矩為哲：利用播平行境移軸疲公式膽，可匠得里面粱的小士矩形傳對(duì)z軸的刻慣性樓矩為拒：所以練習(xí)求圖雄示截訴面對(duì)皺水平z(過形哥心)軸的餓慣性臉矩。解：可以嗓看成歐外面懇的大慈矩形趕對(duì)z軸的躲慣性月矩減惠去里華面的嶼小矩搞形對(duì)z軸的尖慣性樓矩。形心叢坐標(biāo)關(guān)：外面零的大遍矩形釋對(duì)Z軸的棉慣性澤矩為站：利用惰平行練移軸辨公式耕，可拔得里面黨的小透矩形逢對(duì)z軸的抽慣性毀矩為聞：所以yz100mm100mm100mm100mm練習(xí)求圖狹示截扇面對(duì)踐水平披軸zC的慣屠性矩預(yù)。故：§Ⅰ-4轉(zhuǎn)軸贊公式弱主慣袋性軸鐘和主墻慣性想矩一、塞慣性托矩和攻慣性任積的恨轉(zhuǎn)軸略公式則截唯面對(duì)y1軸的歡慣性育矩為已知抬：Iy、Iz、Iyz求：Iy1、Iz1、Iy1z1坐標(biāo)扛關(guān)系會(huì)：帶入伍上式權(quán)，整胡理得（I-11a）（I-11b）（I-11c）（I-11a）（I-11b）將（I-險(xiǎn)11恩a）和靠（I-鳴11夸b）式烈相加饅，可棉得上式地表明示截面制對(duì)于風(fēng)通過黎同一瘦點(diǎn)的臭任意申一對(duì)董正交敬坐標(biāo)忘軸的四兩慣歡性矩下之和召為一醉常數(shù)煤，并蘆等于惠截面省對(duì)該取坐標(biāo)宋原點(diǎn)梁的極宜慣性濃矩。二、氏截面唇的主戚慣性輕軸和知主慣糕性矩當(dāng)坐肉標(biāo)軸坑轉(zhuǎn)動(dòng)90呢°之后由此可知，在坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中，必然會(huì)有一對(duì)坐標(biāo)軸的慣性積則y0、z0就稱巨之為主慣舉性軸，簡(jiǎn)谷稱主軸。截歪面對(duì)廊主軸造的慣唐性矩粒稱之萍為主慣漸性矩。主軸律位置普：（I-13）主慣魂性矩鍬：（I-14a）（I-14b）此時(shí)恒大于，這是由于（I-13）式中負(fù)號(hào)放在分子上所致。（I-11a）說明億：主慣惜性矩?zé)煘闃O詞值慣屑性矩由于截面對(duì)過同一點(diǎn)的任一對(duì)正交坐標(biāo)軸的兩慣性矩之和為一常數(shù)，故上述主慣性矩是截面對(duì)過該點(diǎn)的所有坐標(biāo)軸的慣性矩中之最大值，而則為最小值。則y0、z0稱為形心裂主慣郵性軸可以千證明血：任毅意平閉面圖誓形必毛定存督在一撿對(duì)相雅互垂質(zhì)直的銷形心檢主慣墨性軸三、煩截面朽的形騙心主晝慣性山軸和饅形心步主慣怕性矩若，且益交點(diǎn)伙與截鐵面的料形心像重合常見狠截面項(xiàng)形心灰主軸串的位竹置（簡(jiǎn)住稱形心父主軸）(1緞)有兩跟個(gè)對(duì)窯稱軸挺的截尿面（形心）y、z即為所形心貼主軸(2層)有一唉個(gè)對(duì)斃稱軸童的截頸面y、z即為徹形心詠主軸(3扭)沒有符對(duì)稱百軸的市截面形，同乳樣存騰在一稀對(duì)形擊心主胡軸。(書例I-篩10緞)(4照)圓截崖面y、z、y1、z1均為靠形心拐主軸確定隔無對(duì)鄰稱軸擴(kuò)截面痰形心繁主軸峽的步仙驟：①確棍定截落面的被形心問位置拜，選搶取一嘗對(duì)形雁心軸衡為參揚(yáng)考軸希；②求晴出截啄面對(duì)哪參考礦軸的蒼慣性鏈矩和顫慣性睛積；③由（I-13）式解出值，從而確定形心主軸y0的位置。再利用（I-14a）和（I-14b）式，即可求得截面的形心主慣性矩。例I-搞1寫0試確底定圖扔示Z形截珠面的膝形心碌主軸賀的位普置，雅并計(jì)麥算形諒心主棒慣性泉矩。9090102002020IIIIIIC解：(1路)確定稱截面蠶的形搶心位齡置由于Z形截拐面有往一對(duì)所稱中韻心C，故C點(diǎn)即幣為該府截面展的形亮心。傳選取跪通過宋形心C的水搬平軸z和豎篇直軸y為參駱考軸側(cè)。9090102002020IIIIIIC(2威)求截睜面對(duì)y、z軸慣快性矩冒和慣倡性積矩形I矩形II9090102002020IIIIIIC矩形II浙I整個(gè)閣截面各對(duì)y、z軸的歲慣性駱矩和返慣性柴積：故y、z軸不厭是形森心主沃軸因?yàn)閠a謹(jǐn)n20分子牢分母斃都為李負(fù)，顏說明ta米n20應(yīng)該漠在第能三象伶限(3超)確定汽形心阿主軸戶的位蘭置由（I-負(fù)13）式混：9090102002020IIIIIIC(4研)求形與心主洞慣性沈矩證明賺：取y軸為弟對(duì)稱鼓軸，再取y2為對(duì)悲稱軸賞，所以皂過形羅心的石軸均曉為形發(fā)心主盤軸例I-殃11證明甘圖示款正八耐邊形化截面芒的形屑心軸總均為分形心匹主軸壞，且球截面桃對(duì)所撒有形滅心軸區(qū)的慣棟性矩摔均相沙等。濕（C為形勺心）設(shè)y1、z1為