2021北京西城高三一模數(shù)學(xué)2021.4本試卷共6頁，共150分。考試時(shí)長120分鐘。考生務(wù)必將答案寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。（1）已知集合A＝{x|x≥1}，B＝{－1，0，1，2}，則A∩B＝（A）{2} （B）{1，2} （C）{0，1，2} （D）{x|x≥－1}（2）已知復(fù)數(shù)z滿足，則z的虛部是（A）－1 （B）1 （C）－i （D）i（3）在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為（A）15 （B）－15 （C）30 （D）－30（4）某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的表面積為（A）12 （B） （C）16 （D）（5）已知函數(shù)，則不等式的解集是（A）（0，1） （B）（－∞，2）（C）（2，＋∞） （D）（0，2）（6）在△ABC中，C＝90o，AC＝4，BC＝3，點(diǎn)P是4B的中點(diǎn)，則（A） （B）4 （C） （D）6（7）在△ABC中，C＝60°，a＋2b＝8，sinA＝6sinB，則c＝（A） （B） （C）6 （D）5（8）拋物線具有以下光學(xué)性質(zhì):從焦點(diǎn)出發(fā)的光線經(jīng)拋物線反射后平行于拋物線的對稱軸.該性質(zhì)在實(shí)際生產(chǎn)中應(yīng)用非常廣泛.如圖，從拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F發(fā)出的兩條光線a,b分別經(jīng)拋物線上的A,B兩點(diǎn)反射，已知兩條入射光線與x軸所成銳角均為60°，則兩條反射光線a'和b'之間的距離為（A） （B） （C） （D）（9）在無窮等差數(shù)列{an}中，記＝a1－a2＋a3－a4＋a5－…＋(－1)n+1，an（n＝1,2,…），則“存在m∈N*，使得<”是“{an}為遞增數(shù)列”的（A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件（C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件（10）若非空實(shí)數(shù)集X中存在最大元素M和最小元素m，則記△（X）＝M－m.下列命題中正確的是（A）已知X＝{－1，1}，Y＝{0，b}，且△（X）＝△（Y），則b＝2（B）已知X＝[a，a＋2]，Y＝{y|y＝x2，x∈X}，則存在實(shí)數(shù)a，使得△（Y）<1（C）已知X＝（xf（x）≥g（x）x∈[－1，1]}，若△（X）＝2，則對任意X∈[－1，1]，都有f（x）≥g（x）（D）已知X=[a，a＋2]，Y＝[b,b＋3]，則對任意的實(shí)數(shù)a，總存在實(shí)數(shù)b，使得△（X∪Y）≤3第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。（11）函數(shù)的定義域是____________.（12）已知雙曲線C：，則C的漸近線方程是______；過C的左焦點(diǎn)且與x軸垂直的直線交其漸近線于M，N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OMN的面積是______.（13）在等比數(shù)列{an}中，a1＋a3＝10，a2＋a4＝－5，則公比q＝______；若an>1，則n的最大值為______。（14）已知函數(shù)f（x）＝sinx，若對任意x∈R都有f（x）＋f（x＋m）＝c（c為常數(shù)），則常數(shù)m的一個(gè)取值為______.（15）長江流域水庫群的修建和聯(lián)合調(diào)度，極大地降低了洪澇災(zāi)害風(fēng)險(xiǎn)，發(fā)揮了重要的防洪減災(zāi)效益.每年洪水來臨之際，為保證防洪需要、降低防洪風(fēng)險(xiǎn)，水利部門需要在原有蓄水量的基礎(chǔ)上聯(lián)合調(diào)度，統(tǒng)一蓄水，用蓄滿指數(shù)（蓄滿指數(shù)＝）來衡量每座水庫的水位情況.假設(shè)某次聯(lián)合調(diào)度要求如下：（i）調(diào)度后每座水庫的蓄滿指數(shù)仍屬于區(qū)間[0，100]；（ii）調(diào)度后每座水庫的蓄滿指數(shù)都不能降低；（iii）調(diào)度前后，各水庫之間的蓄滿指數(shù)排名不變.記x為調(diào)度前某水庫的蓄滿指數(shù)，y為調(diào)度后該水庫的蓄滿指數(shù)，給出下面四個(gè)y關(guān)于x的函數(shù)解析式：①；②y＝10；③；④則滿足此次聯(lián)合調(diào)度要求的函數(shù)解析式的序號是________.三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。（16）（本小題13分）如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為DD1的中點(diǎn).（I）求證：BD//平面ACE;（II）求直線AD與平面ACE所成角的正弦值.

（17）（本小題13分）已知函數(shù)，且圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，再從條件①、條件②、條件③中選擇兩個(gè)作為一組己知條件.（I）確定的解析式:（II）若圖象的對稱軸只有一條落在區(qū)間[0，a]上，求a的取值范圍.條件①：的最小值為－2；條件②：圖象的一個(gè)對稱中心為（，0）；條件③：的圖象經(jīng)過點(diǎn)（，－1）；注：如果選擇多組條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.（18）（本小題14分）天文學(xué)上用基等表示星體亮度，星等的數(shù)值越小、星體越亮.視星等是指觀測者用肉眼所看到的星體亮度；絕對星等是假定把恒星成放在距地球32.6光年的地方測得的恒星的亮度，反映恒星的真實(shí)發(fā)光本領(lǐng).下表列出了（除太陽外）視星等數(shù)值最小的10顆最充恒星的相關(guān)數(shù)據(jù)，其中a∈[0,1.3]星名天狼星老人星南門二大角星織女一五車二參宿七南河三水委一參宿四*視星等－1.47－0.72－0.27－0.040.030.080.120.380.46a絕對星等1.42－5.534.4－0.380.60.1－6.982.67－2.78－5.85赤緯－16.7°－52.7°－60.8°19.2°38.8°46°－8.2°5.2°－57.2°7.4°（I）從表中隨機(jī)選擇顆恒星，求它的絕對星等的數(shù)值小于視星等的數(shù)值的概率；（II）已知北京的緯度是北緯40°，當(dāng)且僅當(dāng)一顆恒星的“赤緯”數(shù)值大于－50°時(shí)，能在北京的夜空中看到它，現(xiàn)從這10顆恒星中隨機(jī)選擇4顆，記其中能在北京的夜空中看到的數(shù)量為X顆，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（III）記a＝0時(shí)10顆恒星的視星等的方差為，記a＝1.3時(shí)10顆恒星的視星等的方差為主，判斷與之間的大小關(guān)系.（結(jié)論不需要證明）

（19）（本小題15分）已知函數(shù)f（x）＝ex（lnx－a）.（I）若a＝1，求曲線y＝f（x）在點(diǎn)（1，f(1)）處的切線方程；（II）若a>1，求證：函數(shù)（）存在極小值；（III）若對任意的實(shí)數(shù)x∈[1，＋∞），f（x）≥－1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.（20）（本小題15分）已知橢圓C：（a>0）的焦點(diǎn)在x軸上，且經(jīng)過點(diǎn)E（1，），左頂點(diǎn)為D，右焦點(diǎn)為F.（I）求橢圓C的離心率和△DEF的面積；（II）已知直線y＝kx＋1與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)過點(diǎn)B作直線y＝t（t＞）的垂線，垂足為G.判斷是否存在常數(shù)t，使得直線AG經(jīng)過y軸上的定點(diǎn)？若存在，求t的值；若不存在，請說明理由.（21）（本小題15分）已知數(shù)列A：a1，a2，…，aN（N≥3）的各項(xiàng)均為正整數(shù)，設(shè)集合T＝{x|x＝aj－ai1≤i<j≤N}，記T的元素個(gè)數(shù)為P（T）.（I）若數(shù)列A:1，2，4，3，求集合T，并寫出P（T）的值；（II）若A是遞增數(shù)列，求證:“P（T）＝N－1”的充要條件是“A為等差數(shù)列”；（III）若N＝2n＋1，數(shù)列A由1.，2，3，···，n，2n這n＋1個(gè)數(shù)組成，且這n＋1個(gè)數(shù)在數(shù)列A中每個(gè)至少出現(xiàn)一次，求P（T）的取值個(gè)數(shù).

2021北京西城高三一模數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）（

1

）B （

2

）A （

3

）A （

4

）D（

5

）D （

6

）C （

7

）B （

8

）C（

9

）B （10）D二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）（11） （12），（13），3 （14）（答案不唯一，只要是即可）（15）②④注：第（12）和（13）題第一空3分,第二空2分.第（15）題全部選對得5分，不選或有錯(cuò)選得0分，其他得3分.三、解答題（共6小題，共85分）（16）（共13分）解：（Ⅰ）連接交于點(diǎn)，連接，在正方形中，.因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn),所以.………………3分因?yàn)槠矫妫矫妫云矫?………………5分（Ⅱ）不妨設(shè)正方體的棱長為，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則，，，，所以，，. ………………8分設(shè)平面的法向量為，所以所以即 ………………10分令，則，，于是. ………………11分設(shè)直線與平面所成角為，則. ………………13分所以直線與平面所成角的正弦值為.（17）（共13分）解：（Ⅰ）由于函數(shù)圖象上兩相鄰對稱軸之間的距離為，所以的最小正周期，. ………………2分此時(shí).選條件①②：因?yàn)榈淖钚≈禐椋? ………………3分因?yàn)閳D象的一個(gè)對稱中心為，所以， ………………5分所以，因?yàn)椋裕藭r(shí). ………………7分所以. ………………8分選條件①③：因?yàn)榈淖钚≈禐椋? ………………3分因?yàn)楹瘮?shù)的圖象過點(diǎn)，則，即，.因?yàn)椋裕? ………………5分所以，. ………………7分所以. ………………8分選條件②③：因?yàn)楹瘮?shù)的一個(gè)對稱中心為，所以， ………………4分所以.因?yàn)椋裕藭r(shí). ………………6分所以.因?yàn)楹瘮?shù)的圖象過點(diǎn)，所以，即，，所以. ………………7分所以. ………………8分（Ⅱ）因?yàn)椋裕驗(yàn)閳D象的對稱軸只有一條落在區(qū)間上，所以， ………………11分得， ………………13分所以的取值范圍為.（18）（共14分）解：（Ⅰ）設(shè)一顆星的絕對星等的數(shù)值小于視星等的數(shù)值為事件.由圖表可知，顆恒星有顆恒星絕對星等的數(shù)值小于視星等的數(shù)值.所以. ………………3分（Ⅱ）由圖表知，有顆恒星的“赤緯”數(shù)值大于，有顆恒星的“赤緯”數(shù)值小于.所以隨機(jī)變量的所有可能取值為：.………………4分，，，.………………8分所以隨機(jī)變量的分布列為： ………………9分所以. ………………11分（Ⅲ）. ………………14分（19）（共15分）解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，所以. ………………1分所以，. ………………3分曲線在點(diǎn)處的切線方程為. ………………4分（Ⅱ）由，得，令，則. ………………6分當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù).所以的最小值為. ………………7分當(dāng)時(shí)，，， ………………9分又在單調(diào)遞增，故存在，使得，在區(qū)間上，在區(qū)間上. ………………10分所以，在區(qū)間上，在區(qū)間上，所以，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)存在極小值. ………………11分（Ⅲ）對任意的實(shí)數(shù)，恒成立，等價(jià)于的最小值大于或等于.①當(dāng)時(shí)，，由（Ⅱ）得，所以.所以在上單調(diào)遞增，所以的最小值為.由，得，滿足題意. ………………13分②當(dāng)時(shí)，由（Ⅱ）知，在上單調(diào)遞減，所以在上，不滿足題意.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是. ………………15分（20）（共15分）解：（Ⅰ）依題意，，解得. ………………1分因?yàn)椋矗? ………………2分所以，，所以離心率，的面積. ………………5分（Ⅱ）由已知，直線的方程為.當(dāng)，，時(shí)，直線的方程為，交軸于點(diǎn)；當(dāng)，，時(shí)，直線的方程為，交軸于點(diǎn).若直線經(jīng)過軸上定點(diǎn)，則，即，直線交軸于點(diǎn). ………………7分下面證明存在實(shí)數(shù)，使得直線經(jīng)過軸上定點(diǎn).聯(lián)立消整理，得， ………………8分設(shè)，.則，. ………………10分設(shè)點(diǎn)，所以直線的方程：. ………11分令，得. ………………12分因?yàn)椋? ………………14分所以直線過定點(diǎn).綜上，存在實(shí)數(shù)，使得直線經(jīng)過軸上定點(diǎn). ………15分（21）（共15分）解：（Ⅰ）因?yàn)椋裕? ………………4分（Ⅱ）充分性：若是等差數(shù)列，設(shè)公差為.因?yàn)閿?shù)列是遞增數(shù)列，所以.則當(dāng)時(shí)，.所以，. ………………6分必要性：若.因?yàn)槭沁f增數(shù)列，所以，所以，且互不相等.所以. 又，所以，且互不相等.所以，，…，.所以，所以為等差數(shù)列. ………………9分（Ⅲ）因?yàn)閿?shù)列由這個(gè)數(shù)組成，任意兩個(gè)不同的數(shù)作差，差值只可能為和.共個(gè)不同的值；且對任意的，和這兩個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)在集合中. ………………11分又因?yàn)檫@個(gè)數(shù)在數(shù)列中共出現(xiàn)次，所以數(shù)列中存在，所以.綜上，，且. ………………12分設(shè)數(shù)列：，此時(shí)，.現(xiàn)對數(shù)列分別作如下變換：把一個(gè)移動到之間，得到數(shù)列：，此時(shí)，.把一個(gè)移動到之間，得到數(shù)列：，此時(shí)，.……把一個(gè)移動到之間，得到數(shù)列：，此時(shí)，.把一個(gè)移動到之間，得到數(shù)列：，此時(shí)，.再對數(shù)列依次作如下變換：把一個(gè)移為的后一項(xiàng)，得到數(shù)列：，此時(shí)，；再把一個(gè)移為的后一項(xiàng)：得到數(shù)列：，此時(shí)，；依此類推……最后把一個(gè)移為的后一項(xiàng)：得到數(shù)列：，此時(shí)，.綜上所述，可以取到從到的所有個(gè)整數(shù)值，所以的取值個(gè)數(shù)為. ………………15分感恩的回報(bào)在一個(gè)鬧饑荒的城市，一個(gè)家庭殷實(shí)而且心地善良的面包師把城里最窮的幾十個(gè)孩子聚集到一塊，然后拿出一個(gè)盛有面包的籃子，對他們說：“這個(gè)籃子里的面包你們一人一個(gè)。在上帝帶來好光景以前，你們每天都可以來拿一個(gè)面包。”瞬間，這些饑餓的孩子仿佛一窩蜂一樣涌了上來，他們圍著籃子推來擠去大聲叫嚷著，誰都想拿到最大的面包。當(dāng)他們每人都拿到了面包后，竟然沒有一個(gè)人向這位好心的面包師說聲謝謝，就走了。但是有一個(gè)叫依娃的小女孩卻例外，她既沒有同大家一起吵鬧，也沒有與其他人爭搶。她只是謙讓地站在一步以外，等別的孩子都拿到以后，才把剩在籃子里最小的一個(gè)面包拿起來。她并沒有急于離去，她向面包師表示了感謝，并親吻了