三角函數

——復習參考題復習1寫出與下列各角終邊相同的角的集合S，并且把S中適合不等式－2π≤β＜4π的元素β寫出來：復習參考題（1）

；（2）

；（3）

；（4）0．（1）｛β｜β＝

＋2kπ，k∈Z），

（2）｛β｜β＝

＋2kπ，k∈Z｝，

復習1寫出與下列各角終邊相同的角的集合S，并且把S中適合不等式－2π≤β＜4π的元素β寫出來：復習參考題（1）

；（2）

；（3）

；（4）0．（3）｛β｜β＝

＋2kπ，k∈Z｝，（4）｛β｜β＝2kπ，k∈Z），－2π，0，2π．復習2一個扇形的弧長與面積的數值都是5，求這個扇形中心角的度數（精確到1°）．復習參考題約143°．復習3（1）已知cosφ＝

，求sinφ，tanφ．復習參考題（2）已知sinx＝2cosx，求角x的三個三角函數值．（1）當φ為第一象限角時，sinφ＝

，tanφ＝

；當φ為第四象限角時，sinφ＝

，tanφ＝

．（2）當x為第一象限角時，tanx＝2，cosx＝

，sinx＝

；當x為第三象限時，tanx＝2，cosx＝

，sinx＝

．復習4復習參考題已知tanα＝

，計算：（1）；

（2）；（3）sinαcosα；

（4）（sinα＋cosα）2．（1）（2）（3）（4）復習5復習參考題計算（可用計算工具，第（2）（3）題精確到0.0001）：（1）

；（2）sin2＋cos3＋tan4；（3）cos（sin2）．（1）0．（2）1.0771．（3）0.6143．復習6復習參考題設π＜x＜2π，填表：x1sinx－1cosxtanx10不存在－1復習7復習參考題求下列函數的最大值、最小值，并求使函數取得最大、最小值的x的集合：（1）

；（2）y＝3－2cosx．（1）最大值為

，此時x的集合為｛x｜x＝

＋2kπ，k∈Z）；最小值為

，此時x的集合為｛x｜x＝

＋2kx，k∈Z）．（2）最大值為5，此時x的集合為｛x｜x＝（2k＋1）π，k∈Z）；最小值為1，此時x的集合為｛x｜x＝2kπ，k∈Z）．復習8復習參考題畫出下列函數在長度為一個周期的閉區間上的簡圖，并指出分別由函數y＝sinx，x∈R的圖象經過怎樣的變換得到：（1）；

（2）；（1）；

（2）；表及圖象變換略，圖象如圖所示：復習8復習參考題畫出下列函數在長度為一個周期的閉區間上的簡圖，并指出分別由函數y＝sinx，x∈R的圖象經過怎樣的變換得到：（1）；

（2）；（1）；

（2）；表及圖象變換略，圖象如圖所示：復習9復習參考題（2）如何根據第（1）小題并運用正弦函數的性質，得到函數y＝sinx，x∈［0，2π］的圖象？（3）如何根據第（2）小題并通過平行移動坐標軸，得到函數y＝sin（x＋φ）＋k，x∈［0，2π］（φ，k都是常數）的圖象？（1）用描點法畫出函數y＝sinx，x∈

的圖象．復習參考題復習9解答（1）列表：描點畫圖如下：x0sinx00.170.340.500.640.770.870.940.981（1）用描點法畫出函數y＝sinx，x∈

的圖象．復習參考題復習9解答（2）如何根據第（1）小題并運用正弦函數的性質，得到函數y＝sinx，x∈［0，2π］的圖象？（2）由sin（π－x）＝sinx，可知函數y＝sinx，x∈［0，π］的圖象關于直線x＝

對稱，據此可得函數y＝sinx，x∈［

，π］的圖象；又由sin（2π－x）＝－sinx，可知函數y＝sinx，x∈［0，2π］的圖象關于點（π，0）對稱，據此可得到函數y＝sinx，x∈［π，2π］的圖象．復習參考題復習9解答（3）如何根據第（2）小題并通過平行移動坐標軸，得到函數y＝sin（x＋φ）＋k，x∈［0，2π］（φ，k都是常數）的圖象？（3）先把y軸向右（當φ＞0時）或向左（當φ＜0時）平行移動｜φ｜個單位長度，再把x軸向下（當k＞0時）或向上（當k＜0時）平行移動｜k｜個單位長度，將圖象向左或向右延伸，并擦去［0，2π］之外的部分，便得到函數y＝sin（x＋φ）＋k，x∈［0，2π］的圖象．復習10復習參考題不通過畫圖，寫出下列函數的振幅、周期、初相，并說明如何由正弦曲線得到它們的圖象：（1）；

（2）．（1）振幅是1，周期是

，初相是

．把正弦曲線向左平行移動

個單位長度，可以得函數y＝sin（x＋

），x∈R的圖象；再把所得圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的

倍（縱坐標不變），就可得出函數y＝sin（5x＋

），x∈R的圖象．復習10復習參考題不通過畫圖，寫出下列函數的振幅、周期、初相，并說明如何由正弦曲線得到它們的圖象：（1）；

（2）．（2）振幅是2，周期是12π，初相是0．把正弦曲線上所有點的橫坐標伸長到原來的6倍（縱坐標不變），得到函數y＝

，x∈R的圖象；再把所得圖象上所有點的縱坐標伸長到原來的2倍（橫坐標不變），就可得到函數y＝

，x∈R的圖象．復習11復習參考題（3）已知α，β都是銳角，tanα＝

，sinβ＝

，求tan（α＋2β）的值．（1）已知α，β都是銳角，sinα＝

，cos（α＋β）＝

，求sinβ的值；（2）已知求sin（α＋β）的值；（1）（2）（3）1．復習12復習參考題（4）求

的值．（1）證明tanα＋tanβ＝tan（α＋β）－tanαtanβtan（α＋β）；（2）（4）（3）2．（2）求tan20°＋tan40°＋tan20°tan40°的值；（3）若α＋β＝

，求（1－tanα）（1－tanβ）的值；（1）提示：利用公式tan（α＋β）＝復習13復習參考題化簡：（3）tan70°cos10°（tan20°－1）；（4）sin50°（1＋tan10°）．（1）

；（2）sin40°（tan10°－

）；（1）原式＝

（2）原式＝（3）原式＝（4）原式＝復習14復習參考題（4）已知cos2θ＝

，求sin4θ＋cos4θ的值．（2）已知

，求sinα的值；（3）已知sin4θ＋cos4θ＝

，求sin2θ的值；（1）已知cosθ＝

，π＜θ＜

，求

的值；（1）（2）（3）（4）復習15復習參考題（2）已知cosα＋cosβ＝

，sinα＋sinβ＝

，求cos（α－β）的值．（1）已知cos（α＋β）＝

，cos（α－β）＝

，求tanαtanβ的值；于是有tanαtanβ＝

（1）由已知可求得cosαcosβ＝

，sinαsinβ＝

．（2）把cosα＋cosβ＝

兩邊分別平方，得cos2α＋cos2β＋2cosαcosβ＝

．把sinα＋sinβ＝

兩邊分別平方，得sin2α＋sin2β＋2sinαsinβ＝

．復習15復習參考題（2）已知cosα＋cosβ＝

，sinα＋sinβ＝

，求cos（α－β）的值．（1）已知cos（α＋β）＝

，cos（α－β）＝

，求tanαtanβ的值；所以cos（α－β）＝把所得兩式相加，得2＋2（cosαcosβ＋sinαsinβ）＝

，即2＋2cos（α－β）＝

．復習16復習參考題證明：（3）

（4）

（1）cos4α＋4cos2α＋3＝8cos4α；（2）

（1）左式＝2cos22α－1＋4cos2α＋3＝2（cos2α＋1）2＝2（2cos2α）2＝8cos4α＝右式．（2）左式＝

＝右式．（3）左式＝

＝右式．（4）左式＝

＝右式．復習17復習參考題已知sinα－cosα＝

，0≤α≤π，求

的值．復習18復習參考題已知

，求

的值．復習18復習參考題已知

，求

的值．復習19復習參考題已知sinθ＋cosθ＝2sinα，sinθcosθ＝sin2β，求證4cos22α＝cos22β．把已知代入sin2θ＋cos2θ＝（sinθ＋cosθ）2－2sinθcosθ＝1中，得（2sinα）2－2sin2β＝1．變形得2（1－cos2α）－（1－cos2β）＝1，即2cos2α＝cos2β，4cos22α＝4cos22β．復習20復習參考題已知函數f（x）＝cos4x－2sinxcosx－sin4x，（2）當x∈

時，求f（x）的最小值以及取得最小值時x的集合．（1）求f（x）的最小正周期；（1）最小正周期是π．f（x）＝（cos2x＋sin2x）（cos2x－sin2x）－2sinxcosx＝cos2x－sin2x＝

（2）由x∈［0，

］，得

，所以當2x＋

＝π，即x＝

時，f（x）的最小值為

，f（x）取最小值時x的集合為復習21復習參考題已知函數

的最大值為1，（1）由2＋a＝1，得a＝－1．（2）單調遞減區間為

，k∈Z．（3）｛x｜2kπ≤x≤

＋2kπ，k∈Z｝．（1）求常數a的值；（2）求函數f（x）的單調遞減區間；（3）求使f（x）≥0成立的x的取值集合．復習22復習參考題已知函數f（x）＝sin2x＋2cos2x＋m在區間

上的最大值為6，（2）f（x）＝2sin（2x＋

）＋4（x∈R）的最小值為－2＋4＝2，（1）求常數m的值；（2）當x∈R時，求函數f（x）的最小值，以及相應x的集合．（1）由

，得

，于是有2＋m＋1＝6．解得m＝3．此時x的取值集合由2x＋

＝

＋2kπ（k∈Z）求得，所求集合為｛x｜x＝

＋kπ，k∈Z｝．復習23復習參考題如圖，正方形ABCD的邊長為1，P，Q分別為邊AB，DA上的點．當△APQ的周長為2時，求∠PCQ的大小．設AP＝x，AQ＝y，∠BCP＝α，∠DCQ＝β，則tanα＝1－x，tanβ＝1－y．于是tan（α＋β）＝

又△APQ的周長為2，即x＋y＋

＝2，變形可得xy＝2（x＋y）－2．于是tan（α＋β）＝

＝1．又0＜α＋β＜

，所以α＋β＝

，∠PCQ＝

－（α＋β）＝

．復習24復習參考題已知sinβ＋cosβ＝

，β∈（0，π），（1）求tanβ的值；（2）你能根據所給的條件，自己構造出一些求值問題嗎？（1）由

可得25sin2β－5sinβ－12＝0．解得sinβ＝

或sinβ＝

（由β∈（0，π），舍去）．所以cosβ＝

－sinβ＝

．于是tanβ＝復習24復習參考題已知sinβ＋cosβ＝

，β∈（0，π），（1）求tanβ的值；（2）你能根據所給的條件，自己構造出一些求值問題嗎？（2）根據所給條件，可求出僅由sinβ，cosβ，tanβ表示的三角函數式的值．例如，sin（β＋

），cos2β＋2，

，等等．復習25復習參考題如圖，已知直線l1∥l2，A是l1，l2之間的一定點，并且點A到l1，l2的距離分別為h1，h2．B是直線l2上一動點，作AC⊥AB，且使AC與直線l1交于點C．設∠ABD＝α．（1）寫出△ABC面積S關于角α的函數解析式S（α）；（2）畫出上述函數的圖象；（3）由（2）中的圖象求S（α）的最小值．因為∠ABD＝α，所以∠CAE＝α，AB＝

，AC＝

．所以S△ABC＝

·AB·AC＝

，0＜α＜

．復習25復習參考題如圖，已知直線l1∥l2，A是l1，l2之間的一定點，并且點A到l1，l2的距離分別為h1，h2．B是直線l2上一動點，作AC⊥AB，且使AC與直線l1交于點C．設∠ABD＝α．（1）寫出△ABC面積S關于角α的函數解析式S（α）；（2）畫出上述函數的圖象；（3）由（2）中的圖象求S（α）的最小值．（1）所求函數解析式為S（α）＝

，0＜α＜

．（3）當2α＝

，即α＝

時，S（α）的最小值為h1h2．（2）略（可借助信息技術）．復習26復習參考題英國數學家泰勒發現了如下公式：其中n！＝1×2×3×4×…×n．這些公式被編入計算工具，計算工具計算足夠多的項就可以確保顯示值的精確性．比如，用前三項計算cos0.3，就得到cos0.3≈

＝0.9553375．試用你的計算工具計算cos0.3，并與上述結果比較．復習27復習參考題在地球公轉過程中，太陽直射點的緯度隨時間周而復始不斷變化．（1）如圖，設地球表面某地正午太陽高度角為θ，δ為此時太陽直射點的緯度，φ為當地的緯度值，那么這三個量滿足θ＝90°－｜φ－δ｜．某科技小組以某年春分（太陽直射赤道且隨后太陽直射點逐漸北移的時間）為初始時間，統計了連續400天太陽直射點的緯度平均值（太陽直射北半球時取正值，太陽直射南半球時取負值）．下面是該科技小組的三處觀測站成員在春分后第45天測得的當地太陽高度角數據：復習27復習參考題觀測站ABC觀測站所在緯度φ/度40.000023.43930.0000觀測站正午太陽高度角θ/度66.387082.946473.6141太陽直射點的緯度δ/度太陽直射點的緯度平均值/度請根據數據完成上面的表格（計算結果精確到0.0001）；復習27復習參考題（2）設第x天時太陽直射點的緯度平均值為y．該科技小組通過對數據的整理和分析，推斷y與x近似滿足