第06講對數(shù)與對數(shù)函數(shù)(精講）目錄第一部分：知識點精準記憶第二部分：課前自我評估測試第三部分：典型例題剖析高頻考點一：對數(shù)的運算；高頻考點二：換底公式高頻考點三：對數(shù)函數(shù)的概念；高頻考點四：對數(shù)函數(shù)的定義域高頻考點五：對數(shù)函數(shù)的值域①求對數(shù)函數(shù)在區(qū)間上的值域；②求對數(shù)型復合函數(shù)的值域③根據(jù)對數(shù)函數(shù)的值域求參數(shù)值或范圍高頻考點六：對數(shù)函數(shù)的圖象①判斷對數(shù)（型）函數(shù)的圖象②根據(jù)對數(shù)（型）函數(shù)的圖象判斷參數(shù)③對數(shù)（型）函數(shù)圖象過定點問題高頻考點七：對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性①對數(shù)函數(shù)（型）函數(shù)的單調(diào)性②由對數(shù)函數(shù)（型）函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)③由對數(shù)函數(shù)（型）函數(shù)的單調(diào)性解不等式④對數(shù)（指數(shù)）綜合比較大小高頻考點八：對數(shù)函數(shù)的最值①求對數(shù)（型）函數(shù)的最值②根據(jù)對數(shù)（型）函數(shù)的最值求參數(shù)第四部分：高考真題感悟第一部分：知第一部分：知識點精準記憶1、對數(shù)的概念（1）對數(shù)：一般地，如果，那么數(shù)叫做以為底的對數(shù)，記作，其中叫做對數(shù)的底數(shù)，叫做真數(shù).（2）牢記兩個重要對數(shù)：常用對數(shù)，以10為底的對數(shù)；自然對數(shù)，以無理數(shù)e=2.71828…為底數(shù)的對數(shù).（3）對數(shù)式與指數(shù)式的互化：.2、對數(shù)的性質(zhì)、運算性質(zhì)與換底公式（1）對數(shù)的性質(zhì)根據(jù)對數(shù)的概念，知對數(shù)具有以下性質(zhì)：①負數(shù)和零沒有對數(shù)，即；②1的對數(shù)等于0，即；③底數(shù)的對數(shù)等于1，即；④對數(shù)恒等式.（2）對數(shù)的運算性質(zhì)如果，那么：①；②；③.（3）對數(shù)的換底公式對數(shù)的換底公式：.換底公式將底數(shù)不同的對數(shù)轉(zhuǎn)化為底數(shù)相同的對數(shù)，進而進行化簡、計算或證明.換底公式應用時究竟換成什么為底，由已知條件來確定，一般換成以10為底的常用對數(shù)或以為底的自然對數(shù).換底公式的變形及推廣：①；②；③(其中，，均大于0且不等于1，).3、對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)（1）對數(shù)函數(shù)的定義形如(，且)的函數(shù)叫做對數(shù)函數(shù)，其中是自變量，函數(shù)的定義域是．（2）對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)圖象性質(zhì)定義域：值域：過點，即當時，在上是單調(diào)增函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù)第二部分：課第二部分：課前自我評估測試1．（2022·浙江·諸暨市教育研究中心高二學業(yè)考試）函數(shù)的定義域是（

）A．或 B．C．或 D．【答案】D由題意得，，解得，即函數(shù)的定義域是.故選：D2．（2022·貴州·高二學業(yè)考試）（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D解：.故選：D3．（2022·重慶巴蜀中學高三階段練習）化簡___________.【答案】原式.故答案為：.4．（2022·云南紅河·高一期末）方程的解是_________．【答案】由對數(shù)的運算性質(zhì)，可得，可得，解得．故答案為：.5．（2022·四川甘孜·高二期末（文））設(shè)函數(shù)?，則?_________.【答案】由已知可得，則.故答案為：.第三部分：典第三部分：典型例題剖析高頻考點一：對數(shù)的運算；典型例題例題1．（2022·天津·高考真題）化簡____________【答案】2原式，故答案為：2.例題2．（2022·全國·高一專題練習）___．【答案】＝9．故答案為：102.題型歸類練1．（2022·陜西·西安市雁塔區(qū)第二中學高二期末（理））計算：(1)(2)【答案】(1)(2)（1）解：=====；（2）解：==.2．（2022·全國·高一專題練習）求值【答案】0原式.高頻考點二：換底公式典型例題例題1．（2022·天津市西青區(qū)楊柳青第一中學高二期末）若，，則（

）A． B． C． D．【答案】B.故選：B例題2．（2022·河南·高二期末（文））已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B，因為，所以，因為，所以，所以.故選:B.例題3．（2022·福建·福州三中高一期末）若，則___________.【答案】##解：因為，所以，即，即，所以；故答案為：題型歸類練1．（2022·山東青島·高二期末）______．（用數(shù)字作答）【答案】1.故答案為：12．（2022·天津南開·高二期末）計算：_____【答案】##2.5；故答案為：.高頻考點三：對數(shù)函數(shù)的概念；典型例題例題1．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)①；②；③；④；⑤；⑥.其中是對數(shù)函數(shù)的是（

）A．①②③ B．③④⑤C．③④ D．②④⑥【答案】C根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義，只有符合（且）形式的函數(shù)才是對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，a是常數(shù).易知，①是指數(shù)函數(shù)；②中的自變量在對數(shù)的底數(shù)的位置，不是對數(shù)函數(shù)；③中，是對數(shù)函數(shù)；④中，是對數(shù)函數(shù)；⑤⑥中函數(shù)顯然不是對數(shù)函數(shù)，由此可知只有③④是對數(shù)函數(shù).故選：C.例題2．（2022·全國·高一課時練習）若某對數(shù)函數(shù)的圖象過點，則該對數(shù)函數(shù)的解析式為（

）A． B．C．或 D．不確定【答案】A設(shè)函數(shù)為，依題可知，，解得，所以該對數(shù)函數(shù)的解析式為．故選：A．題型歸類練1．（2021·全國·高一專題練習）下列函數(shù)表達式中，是對數(shù)函數(shù)的有（

）①y＝logx2；②y＝logax(a∈R)；③y＝log8x；④y＝lnx；⑤y＝logx(x＋2)；⑥y＝log2(x＋1)．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B形如（且）的函數(shù)為對數(shù)函數(shù)，故③④為對數(shù)函數(shù)，所以共有個.故選：B高頻考點四：對數(shù)函數(shù)的定義域典型例題例題1．（2022·浙江·諸暨市教育研究中心高二學業(yè)考試）函數(shù)的定義域為（

）A． B． C． D．【答案】C由題意知，，解得，則函數(shù)的定義域為.故選：C.例題2．（2022·福建福州·高二期末）函數(shù)的定義域是（

）A． B． C． D．【答案】D由題意，，．故選：D．題型歸類練1．（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)的定義域是________．【答案】函數(shù)的解析式有意義，由，即，所以或，故該函數(shù)的定義域為．故答案為：2．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)的定義域為R，則實數(shù)a的取值范圍是___________.【答案】根據(jù)條件可知在R上恒成立，則，且，解得，故a的取值范圍是.故答案為：.高頻考點五：對數(shù)函數(shù)的值域①求對數(shù)函數(shù)在區(qū)間上的值域；典型例題例題1．（2022·福建省連城縣第一中學高一階段練習）函數(shù)，其中，則函數(shù)的值域為（

）A． B． C． D．【答案】C，在上遞增，所以.故選：C例題2．（2022·浙江·高一單元測試）已知，則函數(shù)的值域是（

）A． B． C． D．【答案】B函數(shù)在上單調(diào)遞增所以，即所以函數(shù)的值域為故選：B②求對數(shù)型復合函數(shù)的值域典型例題例題1．（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)的值域為（

）A． B． C． D．【答案】A，，，∴函數(shù)的值域為.故選：A例題2．（2022·全國·高一專題練習）求下列函數(shù)的值域：(1)；(2)．【答案】(1)(2)(1)，．函數(shù)的值域為．(2)設(shè)，則，．又在上為減函數(shù)，．函數(shù)的值域為．③根據(jù)對數(shù)函數(shù)的值域求參數(shù)值或范圍典型例題例題1．（2022·河南信陽·高一期末）已知函數(shù)的值域為，則實數(shù)的值為（

）A．2 B．3 C．9 D．27【答案】C解：因為函數(shù)的值域為，所以的最小值為，所以；故選：C例題2．（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A因為函數(shù)的值域為，可得真數(shù)部分取到所有的正數(shù)，即函數(shù)取到所有的正數(shù)，所以是函數(shù)的值域的子集，所以解得：或，所以實數(shù)的取值范圍是：.故選：A.題型歸類練1．（2021·全國·高一專題練習）已知函數(shù)，則f（x）的值域是（）A． B．[﹣，2] C．[0，2] D．[0，]【答案】A函數(shù)是減函數(shù)，所以函數(shù)的最小值為：，函數(shù)的最大值為：．函數(shù)的值域為：．故選：A2．（2022·廣西欽州·高一期末）若函數(shù)的定義域是，則函數(shù)值域為（

）A． B． C． D．【答案】A根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性同增異減可知在上遞增，，即.故選：A3．（2022·全國·高三專題練習）若函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C由題意，函數(shù)的值域為，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得轉(zhuǎn)化為的值域能取到內(nèi)的任意實數(shù)，當，則，函數(shù)的值域為，滿足題意；當，要使得的值域能取到內(nèi)的任意實數(shù)，則滿足，解得，綜上可得，實數(shù)的范圍為.故選：C.4．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)的定義域為R，則實數(shù)a的取值范圍是___________.【答案】根據(jù)條件可知在R上恒成立，則，且，解得，故a的取值范圍是.故答案為：.5．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)在上的值域為，則的取值范圍是______.【答案】解：因為，，而函數(shù)在上的值域為，所以結(jié)合函數(shù)的圖像，可得的取值范圍是.6．（2022·全國·高一課時練習）求函數(shù)的值域.【答案】為增函數(shù)，，，所以函數(shù)的值域為.7．（2022·全國·高一課時練習）求函數(shù)的值域.【答案】令，又為增函數(shù)，，所以函數(shù)的值域為.高頻考點六：對數(shù)函數(shù)的圖象①判斷對數(shù)（型）函數(shù)的圖象典型例題例題1．（2022·四川省綿陽南山中學高一開學考試）函數(shù)與函數(shù)且的圖象大致是（

）A． B．C． D．【答案】B函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，且過定點(0，1＋a)，當0＜a＜1時，1＜1＋a＜2，即f(x)與y軸交點縱坐標介于1和2之間，此時過定點(1，0)且在(0，＋∞)單調(diào)遞減，沒有符合的選項；當a＞1時，1＋a＞2，即f(x)與y軸交點縱坐標大于2，此時g(x)過定點(1，0)且在(0，＋∞)單調(diào)遞增，符合的選項為B.故選：B.例題2．（2022·江西·模擬預測（理））函數(shù)的圖像為（

）A． B．C． D．【答案】A函數(shù)的定義域為，可以排除選項B、C；由，可知函數(shù)為偶函數(shù)，其圖像應關(guān)于y軸軸對稱，可以排除選項D.故選：A②根據(jù)對數(shù)（型）函數(shù)的圖象判斷參數(shù)范圍典型例題例題．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)（，是常數(shù)，其中且）的大致圖象如圖所示，下列關(guān)于，的表述正確的是A．， B．，C．， D．，【答案】D從題設(shè)中提供的圖像可以看出，故得，故選：D．例題2．（多選）（2022·黑龍江·嫩江市第一中學校高一期末）已知函數(shù)(為常數(shù)，其中)的圖象如圖，則下列結(jié)論成立的是（

）A． B．C． D．【答案】BD由圖象知，可以看作是向左移動個單位得到的，因此，故選：BD．③對數(shù)（型）函數(shù)圖象過定點問題典型例題例題1．（2022·山西·長治市第四中學校高一期末）函數(shù)(且)的圖象恒過定點_________【答案】解：因為函數(shù)(且)，令，解得，所以，即函數(shù)恒過點；故答案為：例題2．（2022·黑龍江·鶴崗一中高二期末）函數(shù)（且）恒過定點，則＝______．【答案】2由題意知：恒成立，解得.故答案為：2.題型歸類練1．（2022·黑龍江·哈爾濱市第三十二中學校高一期末）函數(shù)的圖象大致（

）A． B．C． D．【答案】A因為，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖象可得A正確.故選：A.2．（2022·新疆喀什·高一期末）我國著名數(shù)學家華羅庚先生曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休．”在數(shù)學學習和研究中，我們要學會以形助數(shù)．則在同一直角坐標系中，與的圖像可能是（

）A．B．C． D．【答案】B是定義域為R的增函數(shù)，：-x>0，則x<0.結(jié)合選項只有B符合.故選：B3．（2022·廣西·容縣高級中學高二開學考試（文））在同一平面直角坐標系中，一次函數(shù)與對數(shù)函數(shù)（且）的圖象關(guān)系可能是（

）A． B．C． D．【答案】C．由對數(shù)圖象知，此時直線的縱截距，矛盾，．由對數(shù)圖象知，此時直線的縱截距，矛盾，．由對數(shù)圖象知，此時直線的縱截距，保持一致，．由對數(shù)圖象知，此時直線的縱截距，矛盾，故選：．4．（2022·湖北恩施·高一階段練習）函數(shù)（且）恒過定點，則______．【答案】由題意，函數(shù)恒過定點，可得，解得，所以.故答案為：.5．（2022·甘肅·天水市第一中學高二期中）已知函數(shù)（且）的圖象過定點，則點的坐標為______．【答案】令，得，又．因此，定點的坐標為．故答案為：高頻考點七：對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性①對數(shù)函數(shù)（型）函數(shù)的單調(diào)性典型例題例題1．（2022·浙江·諸暨市教育研究中心高二學業(yè)考試）關(guān)于函數(shù)的單調(diào)性的說法正確的是（

）A．在上是增函數(shù) B．在上是減函數(shù)C．在區(qū)間上是增函數(shù) D．在區(qū)間上是減函數(shù)【答案】C由函數(shù)的解析式知定義域為，設(shè)，顯然在上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)，由復合函數(shù)的單調(diào)性可知在上是增函數(shù)，故選：C例題2．（2022·黑龍江·牡丹江市第三高級中學高一開學考試）已知函數(shù)，則函數(shù)的減區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】C由解得或，所以的定義域為.函數(shù)的開口向上，對稱軸為，函數(shù)在上遞減，根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性同增異減可知函數(shù)的減區(qū)間是.故選：C②由對數(shù)函數(shù)（型）函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)典型例題例題1．（2022·全國·高三專題練習）已知的值域為R，且在上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．或C．或 D．【答案】B因為函數(shù)的值域為R，所以取得一切正數(shù)，即方程有實數(shù)解，得，解得或；又函數(shù)在上是增函數(shù)，所以函數(shù)在上是減函數(shù)，且在上恒成立，則，解得，綜上，實數(shù)a的取值范圍為或.故選：B例題2．（2022·全國·高三專題練習）若函數(shù)在上是減函數(shù)，則的取值范圍是___________.【答案】由題意可得且，因為函數(shù)在上是減函數(shù)，所以，所以，即，是減函數(shù)，由于在上是減函數(shù)，所以，所以的取值范圍是.故答案為：③由對數(shù)函數(shù)（型）函數(shù)的單調(diào)性解不等式典型例題例題1．（2022·河南濮陽·高三開學考試（文））不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】C原不等式等價于，解得，或．故選：C④對數(shù)（指數(shù)）綜合比較大小典型例題例題1．（2022·吉林·東北師大附中模擬預測（文））已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D因為，，，因此，.故選：D.例題2．（2022·甘肅慶陽·高一期末）已知，，，則的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】A，，，即，所以．故選：A.題型歸類練1．（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為A． B． C． D．【答案】D由題可得，即，所以函數(shù)的定義域為，又函數(shù)在上單調(diào)遞減，根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，故選D．2．（2022·河南·信陽高中高二期末（文））滿足函數(shù)在上單調(diào)遞減的一個充分不必要條件是（

）A． B． C． D．【答案】D解：若在上單調(diào)遞減，則滿足且，即且，則，即在上單調(diào)遞減的一個充分不必要條件是，故選：D．3．（2022·甘肅酒泉·高二期末（理））若，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】B在上是減函數(shù)，；在上是增函數(shù)，；在上是減函數(shù)，，故，故選：B4．（2022·黑龍江·雞西市第四中學高一期末）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為_____【答案】函數(shù)的定義域為又是由與復合而成，因為外層函數(shù)單調(diào)遞減，所以求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間即是求內(nèi)層函數(shù)的增區(qū)間，而內(nèi)層函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的減區(qū)間為故答案為：5．（2022·湖北·沙市中學高一期中）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是______.【答案】由得.設(shè)，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.又在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.故答案為：6．（2022·陜西·西安市臨潼區(qū)雨金中學高二階段練習（文））函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是_________.【答案】試題分析：根據(jù)解得定義域為，函數(shù)對稱軸為且開口向下，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，根據(jù)復合函數(shù)同增異減，可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.7．（2022·吉林·長春外國語學校高一開學考試）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍為_________.【答案】的開口向上，對稱軸為，在上遞減，由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以的取值范圍是.故答案為：8．（2022·浙江麗水·高一開學考試）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為______.【答案】開口向上，對稱軸為，由于函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，所以的取值范圍是.故答案為：9．（2022·福建師大附中高一期末）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍為____.【答案】解：函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，，解得，即，故答案為：．10．（2022·陜西渭南·高二期末（文））若，，，則，，的大小關(guān)系為________．【答案】##解：因為，，又，即，所以；故答案為：11．（2022·天津·高考真題）已知，，，則、、的大小關(guān)系為_____________.【答案】##因為，故.故答案為：.19．（2022·全國·高一專題練習）解下列不等式．【答案】解：由已知，得，解得．所以原不等式的解集是．高頻考點八：對數(shù)函數(shù)的最值①求對數(shù)（型）函數(shù)的最值典型例題例題1．（2022·上海金山·高一期末）函數(shù)，的最大值為______.【答案】-2因為，則，由于是減函數(shù)，所以，故答案為：-2例題2．（2022·全國·高三專題練習（理））函數(shù)，，則函數(shù)的最大值與最小值的和為__________.【答案】，，令，設(shè)，其中，二次函數(shù)圖象開口向上，對稱軸為直線，當時，函數(shù)取得