常微分方程的消元法和首次積分法1目前一頁\總數二十一頁\編于二十二點一、微分方程組的消元法

將一階微分方程組：中的未知函數只保留一個，消去其他未知函數，得到一個未知函數的高階方程，其他未知函數.這種方法常用于二個或三個先求出這個未知函數，然后再由其他方程求出方程構成的常系數微分方程組的求解.目前二頁\總數二十一頁\編于二十二點例1求解方程組解保留,消去.由第二個方程解出，得對上式兩邊關于求導,得代入原方程組的第一個方程得:目前三頁\總數二十一頁\編于二十二點二階常系數線性齊次方程,通解為故原方程組的通解為其中是任意常數.目前四頁\總數二十一頁\編于二十二點一階線性非齊次方程的通解為出現了三個任意常數因此為避免出現增解，在求出一個未知函數后，是一個多余的任意常數.不要再用求積分的方法來求其他的未知函數.如果?目前五頁\總數二十一頁\編于二十二點例2求解方程組解將第一個方程求導得代入第二個方程得不顯含自變量t再由第一個方程得目前六頁\總數二十一頁\編于二十二點二微分算子與線性微分方程組

這里介紹微分算子D

及其用消元法解線性微分方程組的應用.設是定義在某區間I上的具有n階連續導數的函數，微分算子D

被定義為相應地定義算子多項式：目前七頁\總數二十一頁\編于二十二點L是線性算子!例如設則目前八頁\總數二十一頁\編于二十二點微分算子法求解常系數線性微分方程組.僅依賴于變量的一個高階微分方程……目前九頁\總數二十一頁\編于二十二點解:設例3求解方程組二階線性常系數非齊次微分方程通解為目前十頁\總數二十一頁\編于二十二點代入原方程組的第一個方程中得一階線性非齊次微分方程通解為代入原系統的第二個方程中得目前十一頁\總數二十一頁\編于二十二點積分可以得到未知函數組合形式的解，三微分方程組的首次積分法經適當組合化為一個可積分的微分方程.首次積分法是將方程組這個方程的未知函數可能是方程組中幾個未知函數組合形式.該方程為一個原方程組的首次積分.目前十二頁\總數二十一頁\編于二十二點解將兩個方程相加得以作為一個未知函數，對上式積分得原方程組的一個首次積分.再將兩個方程相減得例4求解方程組這里是任意常數.解出未知函數,原方程組通解為原方程組的另一個首次積分.目前十三頁\總數二十一頁\編于二十二點解把方程組中的第一個方程乘以第二個方程乘以然后兩式相加得把看作未知函數,積分得例5求解方程組目前十四頁\總數二十一頁\編于二十二點再利用原方程可得另一個首次積分采用極坐標原微分方程的通解為目前十五頁\總數二十一頁\編于二十二點考慮一般的階微分方程組其中對是連續可微的.設連續可微，且不是常數，使成為與t無關的常數,此常數與所取解有關,則稱為方程組的一個首次積分.把方程組任一解代入目前十六頁\總數二十一頁\編于二十二點設微分方程組有個首次積分如果在某區域內它們的Jacobi行列式則稱它們在區域G內為互相獨立.目前十七頁\總數二十一頁\編于二十二點定理1

設函數在區域內是方程組的首次積分的充要條件為連續可微，且它不是常數，則檢驗一個函數是否為方程組的首次積分?目前十八頁\總數二十一頁\編于二十二點定理2

若已知方程組的一個首次積分，則可把方程組求解問題轉化為含n-1個方程的方程組的求解問題.定理3

若方程組有n個互相獨立的首次積分則可由它們得到微分方程組的通解.為了求解方程組,只需求出它的n個互相獨立的首次積分就可以了.事實上,前面例題給出的首次積分是互相獨立的.因此由它們確定出的解都是通解.目前十九頁\總數二十一頁\編于二十二點例6利用首次積分求解方程組解兩個方程相除得