整式1．一個三位正整數N，各個數位上的數字互不相同且都不為0，若從它的百位、十位、個位上的數字任意選擇兩個數字組成兩位數，所有這些兩位數的和等于這個三位數本身，則稱這樣的三位數N為“公主數”．例如：132，選擇百位數字1和十位數字3所組成的兩位數為：13和31，選擇百位數字1和個位數字2組成的兩位數為：12和21，選擇十位數字3和個位數字2所組成的兩位數為：32和23，因為13+31+12+21+32+23＝132，所以132是“公主數”．一個三位正整數，若它的十位數字等于百位數字與個位數字的和，則稱這樣的三位數為“伯伯數”．（1）判斷123是不是“公主數”？請說明理由．（2）若一個“伯伯數”與132的和能被13整除，求滿足條件的所有“伯伯數”．2．一個四位數m＝1000a+100b+10c+d（其中a，b，c，d均為不小于1，且不大于9的整數），若a+b＝k（c﹣d），且k為整數，稱m為“k型數”．例如，對于4675，∵4+6＝5×（7﹣5），則4675為“5型數”；對于3526，∵3+5＝﹣2×（2﹣6），則稱3526為“﹣2型數”．（1）判斷：1731與3213是否為“k型數”？若是，求出k．（2）若四位數m是“3型數”，m﹣3是“﹣3型數”，將m的百位數字與十位數字交換位置，得到一個新的四位數數n，n也是“3型數”，求滿足條件的所有四位數數m．3．【探究】若x滿足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．設9﹣x＝a，x﹣4＝b，則（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17；【應用】請仿照上面的方法求解下面問題：（1）若x滿足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值；【拓展】（2）已知正方形ABCD的邊長為x，E，F分別是AD、DC上的點，且AE＝1，CF＝3，長方形EMFD的面積是8，分別以MF、DF為邊作正方形．①MF＝，DF＝；（用含x的式子表示）②求陰影部分的面積．4．先化簡，再求值：5（3x2y﹣xy2）﹣4（﹣x2y+3xy3），其中x＝﹣2，y＝3．5．定義：若a+b＝2，則稱a與b是關于1的平衡數．（1）3與是關于1的平衡數，5﹣x與是關于1的平衡數．（用含x的代數式表示）（2）若a＝2x2﹣3（x2+x）+4，b＝2x﹣[3x﹣（4x+x2）﹣2]，判斷a與b是否是關于1的平衡數，并說明理由．6．甲、乙兩人共同計算一道整式乘法題：（2x+a）（3x+b）．甲由于把第一個多項式中的“+a”看成了“﹣a”，得到的結果為6x2+11x﹣10；乙由于漏抄了第二個多項式中x的系數，得到的結果為2x2﹣9x+10．（1）求正確的a、b的值．（2）計算這道乘法題的正確結果．7．數軸上點A對應的數為a，點B對應的數為b，且多項式x3y﹣2xy+5的二次項系數為a，常數項為b．（1）直接寫出：a＝，b＝．（2）數軸上點A、B之間有一動點P，若點P對應的數為x，試化簡|2x+4|+2|x﹣5|﹣|6﹣x|；（3）若點M從點A出發，以每秒1個單位長度的速度沿數軸向右移動；同時點N從點B出發，沿數軸以每秒2個單位長度的速度向左移動，到達A點后立即返回并向右繼續移動，請直接寫出經過秒后，M、N兩點相距1個單位長度，并選擇一種情況計算說明．8．在計算代數式（2x2+ax﹣5y+b）﹣（2bx2﹣3x+5y﹣1）的值時，某同學把“x=?23，y＝1”誤寫成“x=23，y＝1”，但其計算結果也是正確的，請你分析原因，并在此條件下計算﹣[﹣7a2﹣5a+（2a2﹣3a）+2a9．如圖，某市有一塊長為（3a+b）米，寬為（2a+b）米的長方形地塊，中間是邊長為（a+b）米的正方形，規劃部門計劃將在中間的正方形修建一座雕像，四周的陰影部分進行綠化，（1）綠化的面積是多少平方米？（用含字母a、b的式子表示）（2）求出當a＝20，b＝12時的綠化面積．10．如圖a是一個長為2m、寬為2n的長方形，沿圖中虛線用剪刀均勻分成四塊小長方形，然后按圖b形狀拼成一個正方形．（1）你認為圖b中的陰影部分的正方形的邊長等于多少？（2）觀察圖b你能寫出下列三個代數式之間的等量關系嗎？代數式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn（3）已知m+n＝7，mn＝6，求（m﹣n）2的值．11．先閱讀理解下列例題，再按要求完成作業．例題：解一元二次不等式（3x﹣6）（2x+4）＞0．由有理數的乘法法則“兩數相乘，同號得正”有①3x?6＞02x+4＞0或②3x?6＜0解不等式組①得x＞2，解不等式組②得x＜﹣2．所以一元二次不等式（3x﹣6）（2x+4）＞0的解集是x＞2或x＜﹣2．（1）求不等式（2x+6）（2﹣x）＜0的解集；（2）求不等式5x+154?2x12．閱讀下面的材料：材料一：比較322和411的大小解：因為411＝（22）11＝222，且3＞2，所以322＞222，即322＞411」小結：指數相同的情況下，通過比較底數的大小，來確定兩個冪的大小，材料二：比較28和82的大小．解：因為82＝（23）2＝26，且8＞6，所以28＞26，即28＞82，小結：底數相同的情況下，通過比較指數的大小，來確定兩個冪的大小解決下列問題：（1）比較344、433、522的大小：（2）比較8131、2741、961的大小：（3）比較312×510與310×512的大小．13．對任意一個四位正整數m，如果m的百位數字等于個位數字與十位數字之和，m的千位數字等于十位數字的2倍與個位數字之和，那么稱這個數m為“筋斗數”．例如：m＝5321，滿足1+2＝3，2×2+1＝5所以5321是“筋斗數”．例如：m＝8523，滿足2+3＝5，但2×2+3＝7≠8所以8523不是“筋斗數”．（1）判斷5413和9532是不是“筋斗數”，并說明理由；（2）若m是“筋斗數”，且m與25的和能被11整除，直接寫出滿足條件的所有“筋斗數”m．14．我國宋朝數學家楊輝在他的著作《詳解九章算法》中提出“楊輝三角”（如圖），此圖揭示了（a+b）n（n為非負整數）展開式的項數及各項系數的相關規律．例如：（a+b）0＝1，它只有一項，系數為1；（a+b）1＝a+b，它有兩項，系數分別為1，1，系數和為2；（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三項，系數分別為1，2，1，系數和為4；根據以上規律，解答下列問題：（1）（a+b）5展開式共有項，系數和為．（2）求（2a﹣1）5的展開式；（3）利用表中規律計算：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1（不用表中規律計算不給分）；（4）設（x+1）17＝a17x17+a16x16+…+a1x+a0，則a1+a2+a3+…+a16+a17的值為．15．定義：已知M，N為關于x的多項式，若M﹣N＝k，其中k為大于0的常數，則稱M是N的“友好式”，k叫做M關于N的“友好值”．例如：M＝x2+2x+3，N＝x2+2x﹣2，M﹣N＝（x2+2x+3）﹣（x2+2x﹣2）＝5，則稱M是N的“友好式”，M關于N的“友好值”為5．（1）已知M＝（x+3）（x﹣1），N＝（x+1）2，則M是N的“友好式”嗎？若是，請證明并求出M關于N的“友好值”；若不是，請說明理由；（2）已知M＝（2x﹣m）2，N＝4x2﹣6x+n，若M是N的“友好式”，且“友好值”為14求m，n

參考答案與試題解析1．（1）123不是“公主數”，理由如下：∵13+31+12+21+32+23＝132≠123，∴123不是“公主數”；（2）設“伯伯數”的百位數字為x，十位數字為y，個位數字為z，則y＝x+z，100x+10y+z+132＝110x+11z+11×12＝11（10x+z+12），∵一個“伯伯數”與132的和能被13整除，∴10x+z+12＝13×2或13×3或13×5或13×4，∴x1=1z1=4或x∴這個“伯伯數”為154或297或583或440．2．（1）∵1+7＝4×（3﹣1），3+2=?5∴1731是“4型數”，3213不是“k型數”；（2）設m=abcd∵m是“3型數”，將m的百位數字與十位數字交換位置，得到一個新的四位數n，n也是“3型數”，∴a+b＝3（c﹣d）且a+c＝3（b﹣d），將兩式相減整理得：b＝c，∴m的十位與百位數字相同，設m=axxd由m﹣3是“﹣3型數”，分兩種情況：（Ⅰ）d≥3時，m﹣3=axx(d?3)∵四位數m=axxd∴a+x＝3（x﹣d），∵m﹣3是“﹣3型數”，∴a+x＝﹣3[x﹣（d﹣3）]，∴3（x﹣d）＝﹣3[x﹣（d﹣3）]，整理化簡得：2d﹣2x＝3，∵x、d是整數，2x、2d是偶數，而3是奇數，∴2d﹣2x＝3無整數解，此種情況不存在；（Ⅱ）d＜3時，m﹣3=ax(x?1)(d+7)∵m﹣3是“﹣3型數”，∴a+x＝﹣3[（x﹣1）﹣（d+7）]，即a+4x﹣3d＝24①，∵m是“3型數”，∴a+x＝3（x﹣d），即a﹣2x+3d＝0②，①+②化簡得a+x＝12，①+②×2化簡得a+d＝8，∴當d＝1時，a＝7，x＝5，此時m＝7551，當d＝2時，a＝6，x＝6，此時m＝6662．綜上所述，滿足條件的四位數m是7551或6662．3．（1）設5﹣x＝a，x﹣2＝b，則（5﹣x）（x﹣2）＝ab＝2，a+b＝（5﹣x）+（x﹣2）＝3，∴（5﹣x）2+（x﹣2）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝9﹣4＝5；（2）①∵四邊形EMFD是長方形，AE＝1，四邊形ABCD是正方形，∴AD＝CD＝BC＝x，DE＝MF，∴MF＝DE＝AD﹣AE＝x﹣1，DF＝CD﹣CF＝x﹣3，故答案為：x﹣1，x﹣3；②∵長方形EMFD的面積是8，∴MF?DF＝（x﹣1）（x﹣3）＝8，陰影部分的面積＝MF2﹣DF2＝（x﹣1）2﹣（x﹣3）2．設x﹣1＝a，x﹣3＝b，則（x﹣1）（x﹣3）＝ab＝8，a﹣b＝（x﹣1）﹣（x﹣3）＝2，∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝22+4×8＝36，∴a+b＝±6，又∵a+b＞0，∴a+b＝6，∴（x﹣1）2﹣（x﹣3）2＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝6×2＝12．即陰影部分的面積12．4．原式＝15x2y﹣5xy2+4x2y﹣12xy3＝19x2y﹣5xy2﹣12xy3，當x＝﹣2、y＝3時，原式＝19×（﹣2）2×3﹣5×（﹣2）×32﹣12×（﹣2）×33＝228+90+648＝966．5．（1）設3的關于1的平衡數為a，則3+a＝2，解得a＝﹣1，∴3與﹣1是關于1的平衡數，設5﹣x的關于1的平衡數為b，則5﹣x+b＝2，解得b＝2﹣（5﹣x）＝x﹣3，∴5﹣x與x﹣3是關于1的平衡數，故答案為：﹣1；x﹣3；（2）a與b不是關于1的平衡數，理由如下：∵a＝2x2﹣3（x2+x）+4，b＝2x﹣[3x﹣（4x+x2）﹣2]，∴a+b＝2x2﹣3（x2+x）+4+2x﹣[3x﹣（4x+x2）﹣2]＝2x2﹣3x2﹣3x+4+2x﹣3x+4x+x2+2＝6≠2，∴a與b不是關于1的平衡數．6．（1）（2x﹣a）（3x+b）＝6x2+2bx﹣3ax﹣ab＝6x2+（2b﹣3a）x﹣ab＝6x2+11x﹣10．（2x+a）（x+b）＝2x2+2bx+ax+ab＝2x2+（2b+a）x+ab＝2x2﹣9x+10．∴2b?3a=112b+a=?9.∴a=?5b=?2.（2）（2x﹣5）（3x﹣2）＝6x2﹣4x﹣15x+10＝6x2﹣19x+10．7．（1）∵多項式x3y﹣2xy+5的二次項系數為a，常數項為b，∴a＝﹣2，b＝5．故答案為﹣2，5；（2）依題意，得﹣2＜x＜5，則|2x+4|+2|x﹣5|﹣|6﹣x|＝2x+4+2（5﹣x）﹣（6﹣x）＝2x+4+10﹣2x﹣6+x＝x+8；（3）設經過t秒M，N兩點相距一個單位長度．①M，N第一次相距一個單位長度時，t+1+2t＝7，解得t＝2；②M，N第二次相距一個單位長度時，t+2t＝7+1，解得t=8③當M，N第三次相距一個單位長度時，t﹣2（t﹣3.5）＝1，解得t＝6；④當M，N第四次相距一個單位長度時，2（t﹣3.5）﹣t＝1，解得t＝8．故答案為2或838．∵（2x2+ax﹣5y+b）﹣（2bx2﹣3x+5y﹣1）＝2x2+ax﹣5y+b﹣2bx2+3x﹣5y+1＝（2﹣2b）x2+（a+3）x﹣10y+b+1∵把“x=?23，y＝1”誤寫成“x=2∴a+3＝0，即a＝﹣3．﹣[﹣7a2﹣5a+（2a2﹣3a）+2a]﹣4a2＝7a2+5a﹣2a2+3a﹣2a﹣4a2＝a2+6a將a＝﹣3代入，可得原式＝9﹣18＝﹣9．9．（1）（3a+b）（2a+b）﹣（a+b）2＝6a2+3ab+2ab+b2﹣（a2+2ab+b2）＝6a2+3ab+2ab+b2﹣a2﹣2ab﹣b2＝5a2+3ab，答：綠化的面積是（5a2+3ab）平方米；（2）當a＝20，b＝12時5a2+3ab＝5×202+3×20×12＝2000+720＝2720，答：當a＝20，b＝12時的綠化面積是2720平方米．10．（1）m﹣n．（2分）（2）（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn．（6分）（3）（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn＝49﹣4×6＝25．（10分）11．（1）由有理數的乘法法則“兩數相乘，異號得負”有①2x+6＞02?x＜0或解不等式組①得：x＞2，解不等式組②得：x＜﹣3，所以一元二次不等式（2x+6）（2﹣x）＜0的解集是：x＞2或x＜﹣3；（2）由題意有：①5x+15≥04?2x＞0或②5x+15≤0解不等式組①得：﹣3≤x＜2，解不等式組②得：無解．∴解集為：﹣3≤x＜2．12．（1）∵344＝（34）11＝8111，433＝（43）11＝6411，522＝（52）11＝2511，∵81＞64＞25，∴8111＞6411＞2511，即344＞433＞522；（2）∵8131＝（34）31＝3124，2741＝（33）41＝3123，961＝（32）61＝3122，∵124＞123＞122，∴3124＞3123＞3122，即8131＞2741＞961；（3）∵312×510＝（3×5）10×32，310×512＝（3×5）10×52，又∵32＜52，∴312×510＜310×512．13．（1）5413是“筋斗數”，9532不是“筋斗數“，理由如下：∵4＝1+3，5＝2×1+3，∴5413是“筋斗數“；∵5＝3+2，9≠3×2+2∴9532不是“筋斗數“；（2）設m的個位數為a，0≤a≤9，十位數為b，0≤b≤9，且a、b為整數，∵m是“筋斗數”，∴m的百位數為a+b，千位數為2b+a；∴m＝1000（2b+a）+100（a+b）+10b+a＝1100a+110b+2000b+a，∵m與25的和能被11整除，∴1100a+110b+1991b+9b+a+25能被11整除，∴2b+a≤9且a、b為整數，∵1100a+110b+1991b能被l1整除，∴9b+a+25能被11整除，∴b＝0時，a＝8或b＝1時