學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精1。4.1正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解利用單位圓中的正弦線畫正弦曲線的方法.2.掌握“五點(diǎn)法”畫正弦曲線和余弦曲線的步驟和方法，能用“五點(diǎn)法”作出簡(jiǎn)單的正弦、余弦曲線.3。理解正弦曲線與余弦曲線之間的聯(lián)系。知識(shí)點(diǎn)一正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的概念思考從對(duì)應(yīng)的角度如何理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的概念？答案實(shí)數(shù)集與角的集合之間可以建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,而一個(gè)確定的角又對(duì)應(yīng)著唯一確定的正弦(或余弦）值.這樣，任意給定一個(gè)實(shí)數(shù)x,有唯一確定的值sinx(或cosx)與之對(duì)應(yīng).由這個(gè)對(duì)應(yīng)法則所確定的函數(shù)y＝sinx（或y＝cosx）叫做正弦函數(shù)(或余弦函數(shù)），其定義域是R。知識(shí)點(diǎn)二幾何法作正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象思考1課本上是利用什么來比較精確的畫出正弦函數(shù)的圖象的?其基本步驟是什么？答案利用正弦線，這種作圖方法稱為“幾何法”,其基本步驟如下：①作出單位圓：作直角坐標(biāo)系，并在直角坐標(biāo)系中y軸左側(cè)的x軸上取一點(diǎn)O1，作出以O(shè)1為圓心的單位圓；②等分單位圓，作正弦線：從⊙O1與x軸的交點(diǎn)A起，把⊙O1分成12等份。過⊙O1上各分點(diǎn)作x軸的垂線，得到對(duì)應(yīng)于0，eq\f（π,6)，eq\f(π，3），eq\f（π，2），…，2π等角的正弦線；③找橫坐標(biāo)：把x軸上從0到2π這一段分成12等份；④找縱坐標(biāo)：把角x的正弦線向右平移，使它的起點(diǎn)與x軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)x重合，從而得到12條正弦線的12個(gè)終點(diǎn)；⑤連線：用光滑的曲線將12個(gè)終點(diǎn)依次從左至右連接起來，即得到函數(shù)y＝sinx，x∈[0,2π］的圖象，如圖.因?yàn)榻K邊相同的角有相同的三角函數(shù)值，所以函數(shù)y＝sinx，x∈［2kπ,2(k＋1)π),k∈Z且k≠0的圖象與函數(shù)y＝sinx，x∈[0，2π）的圖象的形狀完全一致。于是只要將函數(shù)y＝sinx，x∈[0，2π)的圖象向左、向右平行移動(dòng)(每次2π個(gè)單位長(zhǎng)度），就可以得到正弦函數(shù)y＝sinx,x∈R的圖象，如圖。思考2如何由正弦函數(shù)的圖象通過圖形變換得到余弦函數(shù)的圖象?答案把y＝sinx，x∈R的圖象向左平移eq\f（π，2)個(gè)單位長(zhǎng)度，即可得到y(tǒng)＝cosx，x∈R的圖象.梳理正弦函數(shù)的圖象和余弦函數(shù)的圖象分別叫做正弦曲線和余弦曲線.知識(shí)點(diǎn)三“五點(diǎn)法”作正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象思考1描點(diǎn)法作函數(shù)圖象有哪幾個(gè)步驟？答案列表、描點(diǎn)、連線.思考2“五點(diǎn)法”作正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在x∈［0，2π]上的圖象時(shí)是哪五個(gè)點(diǎn)？答案畫正弦函數(shù)圖象的五點(diǎn)(0，0)eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（π，2)，1)）(π，0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(3π,2)，－1)）（2π，0）畫余弦函數(shù)圖象的五點(diǎn)（0，1）eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(π，2),0))（π，－1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（3π,2），0))(2π,1)梳理“五點(diǎn)法”作正弦函數(shù)y＝sinx、余弦函數(shù)y＝cosx，x∈[0，2π］圖象的步驟：(1)列表x0eq\f（π，2)πeq\f（3π,2)2πsinx010－10cosx10－101(2）描點(diǎn)畫正弦函數(shù)y＝sinx，x∈[0，2π]的圖象,五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是（0，0),eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(π,2)，1）），（π，0），eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（3π，2），－1）），（2π，0）；畫余弦函數(shù)y＝cosx，x∈［0，2π]的圖象，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是（0,1),eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（π,2)，0））,（π，－1)，eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(3π,2)，0))，（2π,1)。（3)用光滑曲線順次連接這五個(gè)點(diǎn),得到正弦曲線、余弦曲線的簡(jiǎn)圖。類型一“五點(diǎn)法”作圖的應(yīng)用例1利用“五點(diǎn)法”作出函數(shù)y＝1－sinx（0≤x≤2π）的簡(jiǎn)圖。解(1)取值列表：x0eq\f(π,2）πeq\f(3π,2）2πsinx010－101－sinx10121描點(diǎn)連線，如圖所示.反思與感悟作正弦曲線要理解幾何法作圖，掌握五點(diǎn)法作圖。“五點(diǎn)”即y＝sinx或y＝cosx的圖象在[0，2π］內(nèi)的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)和與x軸的交點(diǎn)。“五點(diǎn)法”是作簡(jiǎn)圖的常用方法.跟蹤訓(xùn)練1用“五點(diǎn)法”作出函數(shù)y＝1－cosx（0≤x≤2π)的簡(jiǎn)圖.解列表如下:x0eq\f(π，2）πeq\f(3π,2)2πcosx10－1011－cosx01210描點(diǎn)并用光滑的曲線連接起來，如圖。類型二利用正弦、余弦函數(shù)的圖象求定義域例2求函數(shù)f（x）＝lgsinx＋eq\r(16－x2)的定義域。解由題意，得x滿足不等式組eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(sinx〉0,，16－x2≥0，））即eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（sinx>0，,－4≤x≤4，))作出y＝sinx的圖象,如圖所示。結(jié)合圖象可得x∈[－4，－π）∪(0，π）。反思與感悟一些三角函數(shù)的定義域可以借助函數(shù)圖象直觀地觀察得到，同時(shí)要注意區(qū)間端點(diǎn)的取舍。跟蹤訓(xùn)練2求函數(shù)y＝eq\r(log2\f(1，sinx）－1）的定義域.解為使函數(shù)有意義，需滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（log2\f(1，sinx）－1≥0，，sinx>0，)）即0〈sinx≤eq\f（1,2）.由正弦函數(shù)的圖象或單位圓（如圖所示），可得函數(shù)的定義域?yàn)閧x|2kπ<x≤2kπ＋eq\f（π，6）或2kπ＋eq\f（5π,6)≤x<2kπ＋π，k∈Z｝.類型三與正弦、余弦函數(shù)有關(guān)的函數(shù)零點(diǎn)問題命題角度1零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題例3在同一坐標(biāo)系中，作函數(shù)y＝sinx和y＝lgx的圖象，根據(jù)圖象判斷出方程sinx＝lgx的解的個(gè)數(shù)。解建立平面直角坐標(biāo)系xOy，先用五點(diǎn)法畫出函數(shù)y＝sinx,x∈［0,2π]的圖象,再向右連續(xù)平移2π個(gè)單位，得到y(tǒng)＝sinx的圖象。描出點(diǎn)（1，0），（10,1),并用光滑曲線連接得到y(tǒng)＝lgx的圖象，如圖所示。由圖象可知方程sinx＝lgx的解有3個(gè).反思與感悟三角函數(shù)的圖象是研究函數(shù)的重要工具，通過圖象可較簡(jiǎn)便的解決問題，這正是數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用。跟蹤訓(xùn)練3方程x2－cosx＝0的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)是.答案2解析作函數(shù)y＝cosx與y＝x2的圖象，如圖所示，由圖象可知,原方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解。命題角度2參數(shù)范圍問題例4方程sin（x＋eq\f（π,3）)＝eq\f（m，2)在[0，π]上有兩實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍及兩實(shí)根之和。解作出y1＝sin(x＋eq\f（π,3）），y2＝eq\f(m，2)的圖象如圖，由圖象可知，要使y1＝sin（x＋eq\f（π，3))，y2＝eq\f（m，2)在區(qū)間［0，π]上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，應(yīng)滿足eq\f（\r（3),2)≤eq\f（m，2）〈1，即eq\r(3)≤m<2.設(shè)方程的兩實(shí)根分別為x1，x2，則由圖象可知x1與x2關(guān)于x＝eq\f(π,6）對(duì)稱，于是x1＋x2＝2×eq\f（π,6)，所以x1＋x2＝eq\f（π，3).反思與感悟準(zhǔn)確作出函數(shù)圖象是解決此類問題的關(guān)鍵，同時(shí)應(yīng)抓住“臨界”情況進(jìn)行分析.跟蹤訓(xùn)練4若函數(shù)f（x）＝sinx－2m－1,x∈［0，2π]有兩個(gè)零點(diǎn)，求m的取值范圍.解由題意可知，sinx－2m－1＝0在［0,2π］上有2個(gè)根，即sinx＝2m＋1有兩個(gè)根,可轉(zhuǎn)化為y＝sinx與y＝2m＋1兩函數(shù)的圖象有2個(gè)交點(diǎn).由y＝sinx圖象可知，－1＜2m＋1＜1,且2m＋1≠0，解得－1＜m＜0，且m≠－eq\f(1，2）。∴m∈(－1，－eq\f（1，2)）∪(－eq\f（1，2），0）。1.用“五點(diǎn)法”作y＝2sin2x的圖象時(shí),首先描出的五個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)是(）A.0，eq\f（π，2），π,eq\f(3π,2），2π B。0，eq\f(π，4)，eq\f(π，2），eq\f（3π,4),πC.0,π,2π，3π，4π D。0，eq\f(π,6),eq\f(π,3)，eq\f(π,2)，eq\f(2π，3)答案B解析“五點(diǎn)法”作圖是當(dāng)2x＝0，eq\f（π，2),π,eq\f（3π,2），2π時(shí)的x的值，此時(shí)x＝0，eq\f(π,4）,eq\f（π,2）,eq\f(3π,4),π，故選B。2.下列圖象中，y＝－sinx在［0，2π］上的圖象是()答案D解析由y＝sinx在［0,2π]上的圖象作關(guān)于x軸的對(duì)稱圖形，應(yīng)為D項(xiàng).3.函數(shù)y＝cosx，x∈［0，2π］的圖象與直線y＝－eq\f（1,2)的交點(diǎn)有個(gè)。答案2解析作y＝cosx,x∈［0,2π］的圖象及直線y＝－eq\f(1，2)(圖略)，可知兩函數(shù)圖象有2個(gè)交點(diǎn).4。函數(shù)y＝eq\r（2sinx－1）的定義域?yàn)?答案[eq\f（π，6）＋2kπ，eq\f(5π,6）＋2kπ]，k∈Z解析由題意知，自變量x應(yīng)滿足2sinx－1≥0，即sinx≥eq\f（1，2)。由y＝sinx在［0，2π]的圖象,可知eq\f(π，6）≤x≤eq\f(5π，6），所以y＝eq\r（2sinx－1）的定義域?yàn)閑q\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1(\f(π,6）＋2kπ，\f(5π,6）＋2kπ)），k∈Z。5。請(qǐng)用“五點(diǎn)法"畫出函數(shù)y＝eq\f（1,2）sineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f（π，6))）的圖象.解令X＝2x－eq\f（π，6）,則x變化時(shí),y的值如下表：X0eq\f(π，2）πeq\f(3π，2)2πxeq\f（π，12)eq\f（π，3)eq\f(7π，12)eq\f（5π,6）eq\f（13π,12）y0eq\f（1,2)0－eq\f（1,2)0描點(diǎn)畫圖:將函數(shù)在eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1(\f(π,12），\f(13π,12））)上的圖象向左、向右平移即得y＝eq\f（1，2)sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（2x－\f（π，6)））的圖象。1。對(duì)“五點(diǎn)法”畫正弦函數(shù)圖象的理解(1）與前面學(xué)習(xí)函數(shù)圖象的畫法類似，在用描點(diǎn)法探究函數(shù)圖象特征的前提下，若要求精度不高，只要描出函數(shù)圖象的“關(guān)鍵點(diǎn)”,就可以根據(jù)函數(shù)圖象的變化趨勢(shì)畫出函數(shù)圖象的草圖.（2）正弦型函數(shù)圖象的關(guān)鍵點(diǎn)是函數(shù)圖象中最高點(diǎn)、最低點(diǎn)以及與x軸的交點(diǎn)。2.作函數(shù)y＝asinx＋b的圖象的步驟：3.用“五點(diǎn)法”畫的正弦型函數(shù)在一個(gè)周期[0，2π]內(nèi)的圖象，如果要畫出在其他區(qū)間上的圖象，可依據(jù)圖象的變化趨勢(shì)和周期性畫出。課時(shí)作業(yè)一、選擇題1。對(duì)于正弦函數(shù)y＝sinx的圖象，下列說法錯(cuò)誤的是(）A.向左右無限伸展B。與y＝cosx的圖象形狀相同，只是位置不同C.與x軸有無數(shù)個(gè)交點(diǎn)D.關(guān)于y軸對(duì)稱答案D解析由正弦曲線知，A，B，C均正確，D不正確.2.用五點(diǎn)法畫y＝sinx，x∈［0，2π］的圖象時(shí),下列哪個(gè)點(diǎn)不是關(guān)鍵點(diǎn)（)A.eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（π，6）,\f（1,2)）） B。eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(π，2)，1））C。（π，0） D。(2π，0）答案A解析易知eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（π，6)，\f（1，2)))不是關(guān)鍵點(diǎn).3.已知f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2))），g(x)＝coseq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（x－\f(π,2）)），則將f（x）的圖象(）A.與g(x)的圖象相同B.與g(x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱C.向左平移eq\f(π，2）個(gè)單位，得g(x)的圖象D.向右平移eq\f（π,2)個(gè)單位，得g(x）的圖象答案D解析f(x）＝sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(x＋\f（π,2)）)，g（x）＝coseq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f（π，2))）＝coseq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（π,2)－x））＝sinx，f(x)的圖象向右平移eq\f(π，2)個(gè)單位得到g（x)的圖象。4.函數(shù)y＝－sinx，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f（π，2），\f（3π，2)））的簡(jiǎn)圖是(）答案D5.方程sinx＝eq\f(x，10）的根的個(gè)數(shù)是()A。7B。8C。9D。10答案A解析在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出y＝eq\f(x，10）和y＝sinx的圖象如圖所示。根據(jù)圖象可知方程有7個(gè)根。6。函數(shù)y＝cosx＋｜c(diǎn)osx｜,x∈[0，2π]的大致圖象為（）答案D解析由題意得y＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（2cosx,0≤x≤\f（π，2)或\f（3π,2）≤x≤2π，,0，\f（π,2）<x<\f(3π，2）.））顯然只有D合適。7.若函數(shù)y＝2cosx（0≤x≤2π）的圖象和直線y＝2圍成一個(gè)封閉的平面圖形，則這個(gè)封閉圖形的面積是（）A。4B.8C。2πD。4π答案D解析作出函數(shù)y＝2cosx，x∈[0，2π]的圖象，函數(shù)y＝2cosx，x∈［0,2π］的圖象與直線y＝2圍成的平面圖形為如圖所示的陰影部分.利用圖象的對(duì)稱性可知，該陰影部分的面積等于矩形OABC的面積,又∵OA＝2，OC＝2π,∴S陰影部分＝S矩形OABC＝2×2π＝4π.二、填空題8。函數(shù)f（x)＝lgcosx＋eq\r（25－x2)的定義域?yàn)椤４鸢竐q\b\lc\[\rc\）(\a\vs4\al\co1（－5，－\f（3π,2)）)∪eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f（π,2）,\f(π,2))）∪eq\b\lc\(\rc\］（\a\vs4\al\co1（\f(3π,2)，5)）解析由題意，得x滿足不等式組eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（cosx〉0，,25－x2≥0,）)即eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（cosx>0，,－5≤x≤5，)）作出y＝cosx的圖象，如圖所示。結(jié)合圖象可得x∈eq\b\lc\［\rc\)(\a\vs4\al\co1(－5，－\f（3π,2)））∪eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f(π,2)，\f(π，2))）∪eq\b\lc\（\rc\］(\a\vs4\al\co1（\f(3π，2）,5))。9.函數(shù)y＝sinx，x∈［0，2π]的圖象與直線y＝－eq\f（1,2）的交點(diǎn)為A(x1,y1)，B（x2，y2），則x1＋x2＝。答案3π解析如圖所示,x1＋x2＝2×eq\f（3π，2)＝3π.10.函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（sinx，x≥0，,x＋2，x＜0，））則不等式f(x)＞eq\f（1，2)的解集是。答案｛x｜－eq\f（3，2）＜x＜0或eq\f（π，6)＋2kπ＜x＜eq\f（5π,6)＋2kπ,k∈N}解析在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f(x)和y＝eq\f(1，2）的圖象(圖略），由圖易得－eq\f(3,2）＜x＜0或eq\f（π，6）＋2kπ＜x＜eq\f(5π，6）＋2kπ，k∈N。11。設(shè)0≤x≤2π，且|cosx－sinx|＝sinx－cosx，則x的取值范圍為.答案eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1（\f（π,4），\f(5π，4）)）解析由題意知sinx－cosx≥0，即cosx≤sinx,在同一坐標(biāo)系畫出y＝sinx，x∈［0，2π］與y＝cosx，x∈[0,2π]的圖象，如圖所示。觀察圖象知x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π，4)，\f（5π，4）））。三、解答題12.用“五點(diǎn)法”畫出函數(shù)y＝eq\f（1，2)＋sinx，x∈［0，2π]的簡(jiǎn)圖.解(1)取值列表如下:x0eq\f（π，2)πeq\f（3π,2）2πsinx010－10eq\f(1，2)＋sinxeq\f(1，2）eq\f（3，2）eq\f（1，2)－eq\f（1，2)eq\f(1，2)（2）描點(diǎn)、連線，如圖所示.13.利用正弦曲線,求滿足eq\f(1，2)〈sinx≤eq\f(\r（3），2)的x的集合.解首先作出y＝sinx在［0,2π]上的圖象,如圖所示，作直線y＝eq\f(1，2)，根據(jù)特殊角的正弦值，可知該直線與y＝sinx，x∈［0,2π］的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為eq\f(π，6）和eq\f(5π，6）;作直線y＝eq\f（\r（3），2），該直線與y＝sinx，x∈[0，2π］的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為e