定積分計算公式和性質定積分計算公式和性質/NUMPAGES10定積分計算公式和性質定積分計算公式和性質第二節(jié)定積分計算公式和性質一、變上限函數(shù)設函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，并且設x為上的任一點，于是，在區(qū)間上的定積分為這里x既是積分上限，又是積分變量，由于定積分與積分變量無關，故可將此改為如果上限x在區(qū)間上任意變動，則對于每一個取定的x值，定積分有一個確定值與之對應，所以定積分在上定義了一個以x為自變量的函數(shù)，我們把稱為函數(shù)在區(qū)間上變上限函數(shù)記為圖5-10從幾何上看，也很顯然。因為X是上一個動點，從而以線段為底的曲邊梯形的面積，必然隨著底數(shù)端點的變化而變化，所以陰影部分的面積是端點x的函數(shù)（見圖5-10）定積分計算公式利用定義計算定積分的值是十分麻煩的，有時甚至無法計算。因此，必須尋求計算定積分的簡便方法。我們知道：如果物體以速度作直線運動，那么在時間區(qū)間上所經過的路程s為圖5-11

另一方面，如果物體經過的路程s是時間t的函數(shù)，那么物體從t=a到t=b所經過的路程應該是（見圖5-11）即由導數(shù)的物理意義可知：即是一個原函數(shù)，因此，為了求出定積分，應先求出被積函數(shù)的原函數(shù)，再求在區(qū)間上的增量即可。如果拋開上面物理意義，便可得出計算定積分的一般方法：設函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，是的一個原函數(shù)，即，則這個公式叫做牛頓-萊布尼茲公式。為了使用方便，將公式寫成牛頓-萊布尼茲公式通常也叫做微積分基本公式。它表示一個函數(shù)定積分等于這個函數(shù)的原函數(shù)在積分上、下限處函數(shù)值之差。它揭示了定積分和不定積分的內在聯(lián)系，提供了計算定積分有效而簡便的方法，從而使定積分得到了廣泛的應用。例1計算因為是的一個原函數(shù)所以例2求曲線和直線x=0、x=及y=0所圍成圖形面積A(5-12)解這個圖形的面積為圖5-12二、定積分的性質設、在相應區(qū)間上連續(xù)，利用前面學過的知識，可以得到定積分以下幾個簡單性質：性質1被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到定積分符號前面，即(A為常數(shù))性質2函數(shù)的代數(shù)和的定積分等于它們的定積分的代數(shù)和，即這個性質對有限個函數(shù)代數(shù)和也成立。性質3積分的上、下限對換則定積分變號，即以上性質用定積分的定義及牛頓-萊布尼茲公式均可證明，此處證明從略。性質4如果將區(qū)間分成兩個子區(qū)間及那么有這個于區(qū)間分成有限個的情形也成立。下面用定積分的幾何意義，對性質4加以說明。當a<c<b時，從圖5-13a可知，由y=f與和x=ax=b及x軸圍成的曲邊梯形面積:圖5-13a圖5-13b

因為所以即性質4成立。當a<b<c時，即點c在外，由圖5-13b可知，顯然，性質4也成立。總之，不論c點在內還是外，性質4總是成立的。例3求例4求解=例5求解所以例6求解于是，例7設求解因為所以===例8火車以v=72km/h的速度在平直的軌道上行駛，到某處需要減速停車。設火車以加速度a=-5m/剎車。問從開始剎車到停車，火車走了多少距離？解首先要算出從開始剎車到停車經過時間。當時火車速度剎車后火車減速行駛。其速度為當火車停住時，速度，故從解得于是在這段時間內，火車走過的距離為=即在剎車后，火車需走過40m才能停住。習題5-21求下列定積分：（1）(2)(3)(4)(5)