第五單元導(dǎo)數(shù)5.1導(dǎo)數(shù)的概念及其運(yùn)算、定積分1．（2021·新疆烏魯木齊模擬）計(jì)算定積分（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，故選B.2．（2022·山東師范大學(xué)附屬中學(xué)模擬）已知為的導(dǎo)函數(shù)，則的圖象是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】，，函數(shù)為奇函數(shù)，排除B、D.又，排除C.故選A.3．（2021·重慶南開模擬）若曲線（）在處的切線與直線平行，則（）A． B． C． D．2【答案】A【解析】由可得，又曲線在處的切線與直線平行，且直線的斜率為2，則，解得.故選A.4．（2021·浙江寧波模擬）我國魏晉時(shí)期的科學(xué)家劉徽創(chuàng)立了“割圓術(shù)”，實(shí)施“以直代曲”的近似計(jì)算，用正邊形進(jìn)行“內(nèi)外夾逼”的辦法求出了圓周率的精度較高的近似值，這是我國最優(yōu)秀的傳統(tǒng)科學(xué)文化之一．借用“以直代曲”的近似計(jì)算方法，在切點(diǎn)附近，可以用函數(shù)圖象的切線近似代替在切點(diǎn)附近的曲線來近似計(jì)算．設(shè)，則________，其在點(diǎn)處的切線方程為________．【答案】【解析】，故，則.故曲線在點(diǎn)處的切線方程為.5．（2021·黑龍江省哈爾濱模擬）在點(diǎn)處的切線與該曲線及軸圍成的封閉圖形的面積為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】的導(dǎo)數(shù)為，可得在點(diǎn)處的切線的斜率為，切線的方程為，即，可得切線與該曲線及軸圍成的封閉圖形的面積為.故選D.6.（2021年新高考1卷）若過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則A． B． C． D．【答案】：D【解析】：函數(shù)是增函數(shù)，恒成立，函數(shù)的圖象如圖，，即取得坐標(biāo)在軸上方，如果在軸下方，連線的斜率小于0，不成立．點(diǎn)在軸或下方時(shí)，只有一條切線．如果在曲線上，只有一條切線；在曲線上側(cè)，沒有切線；由圖象可知在圖象的下方，并且在軸上方時(shí)，有兩條切線，可知．故選D.7．（2022·內(nèi)蒙古烏海模擬）已知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)，若存在使得，則稱是的一個(gè)“巧值點(diǎn)”，給出下列四個(gè)函數(shù)：①；②；③；④，其中有“巧值點(diǎn)”的函數(shù)是（）A．①② B．①③ C．①③④ D．②④【答案】B【解析】①，，，，，有“巧值點(diǎn)”；②，，無解，無“巧值點(diǎn)”；③，，，令，，．由零點(diǎn)在性定理，所以在上必有零點(diǎn)，有“巧值點(diǎn)”；④，，，，即，無解，所以無“巧值點(diǎn)”．所以有“巧值點(diǎn)”的是①③，故選B．8.（2021·云南昆明模擬）曲線在處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】對函數(shù)求導(dǎo)得，所以，曲線在處的切線斜率為，且，所以，在處的切線方程為，即，直線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，因此，所求三角形的面積為.故選C.9．（2021·河南模擬）函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為（）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意得，所以在點(diǎn))處的切線斜率為，所以函數(shù)在此點(diǎn)處的切線方程為.故選A.10.（2021·內(nèi)蒙古包頭模擬）設(shè)函數(shù)，若，則______．【答案】2【解析】由可得，，所以，解得.11．（2021·山西太原模擬）若曲線與曲線在公共點(diǎn)處有相同的切線，則該切線的方程為___________.【答案】【解析】設(shè)公共點(diǎn)為，由，（），則，，則，所以，解得，所以，，所以切線的方程為，即.12.（2021·河北高三月考）已知函數(shù)，則（）A． B． C． D．答案A解析因?yàn)椋瑒t，令，則，所以.故選A.13.曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A． B． C． D．答案D解析：∵，∴，∴，又，∴曲線在點(diǎn)處的切線方程為.故選D.14.（2021·沙坪壩·重慶八中高三開學(xué)考試）直線是曲線的一條切線，則實(shí)數(shù)（）．A．或3 B．1或5 C． D．5答案B解析因?yàn)椋裕睿獾茫是悬c(diǎn)為或，而，所以或．故選B.15.（2021·安徽長豐縣第一中學(xué)高三月考）若，則a的值是______答案2解析，，，..16.（2021·商丘高三月考）不等式對任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________.答案解析由題意，設(shè)，，則，即，又，分別在曲線及直線：上，且，令，解得，且，所以在點(diǎn)處的切線與直線平行，又點(diǎn)到直線的距離為，所以最小值為，所以，解得.故答案為：.17.（2021·湖北黃岡中學(xué)）已知展開式的中間項(xiàng)系數(shù)為20，則由曲線和圍成的封閉圖形的面積為（）A． B． C．1 D．答案A解析展開式的中間項(xiàng)為第4項(xiàng)且第4項(xiàng)為，因?yàn)橄禂?shù)為20，所以，解得，由的或，所以封閉圖形的面積為，故選A.19.（2021·遼寧高三月考）已知函數(shù)，且，則的值是（）A． B． C． D．答案A解析函數(shù),則.故選A.20.（2021·廣東高三月考）過定點(diǎn)作曲線的切線，恰有2條，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．答案解析由，若切點(diǎn)為，則，∴切線方程為，又在切線上，∴，即在上有兩個(gè)不同解，令，即原問題轉(zhuǎn)化為與有兩個(gè)交點(diǎn)，而，①當(dāng)時(shí)，，遞增，且，②當(dāng)時(shí)，，遞增；當(dāng)時(shí)，，遞減；∴，又，時(shí)且，∴要使在上有兩個(gè)不同解，即.故答案為：21．已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，且（1）求的解析式（2）設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，求的最小值.解析（1）因?yàn)椋裕越獾盟?（2）因?yàn)椋栽邳c(diǎn)處的切線方程為：，令，得，令，得，所以，不妨設(shè)（時(shí)，結(jié)果一樣）時(shí)，則，所以，由，得，由，得，所以在上遞減，在上遞增，所以時(shí)，取得極小值，也是最小值為.故選C.22.（2021·江蘇南京·高三月考）函數(shù)在點(diǎn)處的切線記為，直線，及軸圍成的三角形的面積記為，則__________.答案解析因?yàn)椋栽邳c(diǎn)處的切線的斜率為，所以切線方程為，即的方程為，令，得，所以：，令，得，由得，直線，的交點(diǎn)坐標(biāo)為，所以直線，及軸圍成的三角形的面積為，所以，則.故答案為：.23.（2021·陜西榆林十二中高二月考（理））已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，且滿足關(guān)系式則的值等于（）A．2 B．—2 C． D．答案D解析因?yàn)椋裕睿瑒t，即，解得，故選D.24.（2021·安徽高三月考）定積分（）A． B． C． D．答案B解析由定積分的運(yùn)算法則，可得，又由，又由，可得，表示以原點(diǎn)為圓心，半徑為的半圓，此半圓的面積為，根據(jù)定積分的幾何意義，可得，所以.故選B.25.（2021·河南高三月考）已知函數(shù)（）．（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，求曲線過點(diǎn)的切線與曲線的公共點(diǎn)的坐標(biāo)．解析（1），當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由可得；由可得；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）當(dāng)時(shí)，（），則（）．設(shè)切點(diǎn)為，則切線方程為，即．將代入，得，即，解得：或．當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)的切線方程為，即由，可得，公共點(diǎn)的坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)的切線方程為即由，可得，公共點(diǎn)的坐標(biāo)為，綜上所述：曲線過點(diǎn)的切線與曲線的公共點(diǎn)的坐標(biāo)為和．5.2利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性1．（2021·重慶期末）已知函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù)，A(0，－1)，B(3，1)是其圖象上的兩點(diǎn)，則－1<f(x)<1的解集是()A．(－3，0) B．(0，3)C．(－∞，－1]∪[3，＋∞) D．(－∞，0]∪[1，＋∞)【答案】B【解析】由已知，得f(0)＝－1，f(3)＝1，∴－1<f(x)<1等價(jià)于f(0)<f(x)<f(3)．∵f(x)在R上單調(diào)遞增，∴0<x<3.故選B.2.（2021·云南昆明摸底診斷測試）已知函數(shù)f(x)＝ex＋e－x，則()A．f(－)<f(e)<f()B．f(e)<f(－eq\r(2))<f()C．f()<f(e)<f(－)D．f(－)<f()<f(e)【答案】D【解析】因?yàn)閒(－x)＝e－x＋ex＝f(x)，所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù)．又當(dāng)x>0時(shí)，f′(x)＝ex－eq\f(1,ex)>0，所以函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．因?yàn)?lt;<e，所以f()<f()<f(e)，又f(－)＝f()，所以f(－)<f()<f(e).故選D.3.（2021·陜西西安月考）若函數(shù)在區(qū)間(0，4)上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】可知，若函數(shù)在區(qū)間(0，4)上單調(diào)，則或在恒成立，或，解得或，函數(shù)在區(qū)間(0，4)上不單調(diào)，.故選C.4.（2021·陜西寶雞質(zhì)檢）定義域?yàn)镽的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，滿足，若，則不等式的解集為（）A. B. C.D.【答案】D【解析】令，求導(dǎo)得，∵，∴，則是上的減函數(shù)，又等價(jià)于，而，∴，∴.故選D.5.（2021·河南洛陽模擬）已知函數(shù)，其中e是自然對數(shù)的底數(shù).若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______.【答案】【解析】，則，故函數(shù)為奇函數(shù).，函數(shù)單調(diào)遞增，，故，故，解得.6.(2021·邗江中學(xué)月考)已知函數(shù)f(x)＝x|x|，則滿足4f(x)＋f(3x－2)≥0的x的取值范圍是_________．(用區(qū)間表示)【答案】【解析】∵f(x)＝x|x|＝則f(x)在R上單調(diào)遞增，又4f(x)＝4x|x|＝2x|2x|＝f(2x)∴由4f(2x)＋f(3x－2)≥0得，f(2x)≥f(2－3x)，∴2x≥2－3x，解得x≥eq\f(2,5)，∴x的取值范圍是.7.（2021·山東日照聯(lián)合考試）已知函數(shù)，其中實(shí)數(shù).（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若f(x)在處取得極值，試討論f(x)的單調(diào)性.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，而，因此曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.（2），由（1）知，即，解得.此時(shí)，其定義域?yàn)椋遥傻茫?當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)且時(shí)，，綜上，在區(qū)間，上是增函數(shù)，在區(qū)間，上是減函數(shù).8．（2021陜西西安八校聯(lián)考）已知函數(shù)，，其中是的導(dǎo)函數(shù).（1）求函數(shù)（m為常數(shù)）的單調(diào)區(qū)間；（2）若時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】（1）∵，.∴（），∴.當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，由，得，時(shí)，.時(shí)，.在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上所述，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.（2）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，即恒成立，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，僅當(dāng)，時(shí)，等號成立；在上遞增；∴；恒成立；當(dāng)時(shí)，由，得，當(dāng)時(shí)，，在上遞減，有，即使，綜上所述，的取值范圍是.9.（2021·山東濟(jì)南模擬）設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，.當(dāng)時(shí)，，則使得成立的的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，可得，令，則，故在上單調(diào)遞增.因?yàn)椋裕忠驗(yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以為奇函數(shù)，所以，且在區(qū)間上，單調(diào)遞增.所以使得，即成立的的取值范圍是.故選B.10．（2021·福建三明模擬）函數(shù)，的單調(diào)遞增區(qū)間為__________．【答案】；（區(qū)間兩端開閉都可以）【解析】令，設(shè)，則，，，，，，在區(qū)間單調(diào)遞增.11．（2021·遼寧大連模擬）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________________【答案】【解析】，由題意知在上恒成立且不恒為0，顯然時(shí)，恒成立，所以只需在上恒成立且不恒為0，即在上恒成立且不恒為0，所以只需當(dāng)時(shí)，又當(dāng)時(shí)，有，所以，即有最大值，所以，即.12．（2021·四川成都模擬）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處切線的方程；（2）證明：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.【解】（1），則，又，則函數(shù)圖像在點(diǎn)處切線的方程為.，當(dāng)時(shí)，，，則，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.13．（2021·陜西榆林模擬）已知函數(shù)，．（1）試討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解】函數(shù)的定義域?yàn)?（1），設(shè)當(dāng)時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)圖象的對稱軸為，．所以當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令．得，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，．所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，即有兩個(gè)解，．設(shè)，，設(shè)，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，且，所以當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，．以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且時(shí)，，，所以．即實(shí)數(shù)的取值范圍為.14.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑢?dǎo)函數(shù)為，且滿足，則不等式的解集為（）A． B．C． D．【答案】C【解析】根據(jù)，得．設(shè)（），則，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則不等式，可化為，則，解得.故選C.15．（2021·甘肅嘉谷關(guān)模擬）設(shè)函數(shù)，其中．（1）討論的單調(diào)性；（2）求使得在區(qū)間內(nèi)恒成立（為自然對數(shù)的底數(shù)）的的取值范圍．【解】（1）當(dāng)時(shí)，，在內(nèi)單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，由，有.此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.綜上：當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2）方法一：令，.則.而當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增.又由，有，從而當(dāng)時(shí)，.當(dāng)，時(shí)，.故當(dāng)在區(qū)間內(nèi)恒成立時(shí)，必有.當(dāng)時(shí)，.由（1）有，從而，所以此時(shí)在區(qū)間內(nèi)不恒成立.當(dāng)時(shí)，令，當(dāng)時(shí)，，因此，在區(qū)間單調(diào)遞增.又因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，即恒成立.綜上，.方法二：原不等式等價(jià)于在上恒成立.一方面，令只需在上恒大于0即可又∵，故在處必大于等于0.令，，可得.另一方面，當(dāng)時(shí)，∵故，又，故在時(shí)恒大于0∴當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增.∴，故也在單調(diào)遞增.∴，即在上恒大于0，綜上，.16．（2021·湖南長沙模擬）已知函數(shù)，，．（1）試判斷的單調(diào)性；（2）求證：為遞減數(shù)列，且恒成立．【解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋遥睿瑒t．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，．所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在和上單調(diào)遞增．（2）先證：由于當(dāng)時(shí)，，于是，．因此，由，可得．再證為遞減數(shù)列：由（1）可知，，即．所以，，即，即．故為遞減數(shù)列．綜上可知，為遞減數(shù)列，且恒成立．17.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，證明：函數(shù)在R上單調(diào)遞增；（2）若為函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，且恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解】（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)椋瑒t，令，，所以是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，，所以在單調(diào)遞增，則，所以在單調(diào)遞增，所以，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在R上單調(diào)遞增；（2），（i）當(dāng)時(shí)，，不符合題意；（ii）當(dāng)時(shí)，，為偶函數(shù)，且，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，，即，故在單調(diào)遞增，所以，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，且，所以當(dāng)時(shí)，恒成立；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，存在，使得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，故，即時(shí)，，故在單調(diào)遞減，此時(shí)，不符合題意.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.18.（2021·貴州凱里模擬）已知，，且滿足，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題得，，且，，令，則，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，，，又，，即，，故選A.19.已知函數(shù)，則不等式的解集為___________.【答案】【解析】因?yàn)椋裕允桥己瘮?shù).因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增.又因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以在上單調(diào)遞減.所以，即，所以，即，解得或.故答案為：.20.（2021·北京高三模擬）已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是__________．【答案】，【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號與原函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系可知，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為和.21．已知函數(shù).（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求證：對任意的，只有一個(gè)零點(diǎn).解：（1）時(shí)，，則，令，解得：或，令，解得：，故在和，遞增，在，遞減；（2）證明：令，則有，令，則，故在上遞增，又，所以僅有1個(gè)根，即只有1個(gè)零點(diǎn).5.3利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值1.(2021·廣東惠州模擬)設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且函數(shù)f(x)在x＝－2處取得極小值，則函數(shù)y＝x·f′(x)的圖象可能是()【答案】C【解析】∵函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且函數(shù)f(x)在x＝－2處取得極小值，當(dāng)x>－2時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)x＝－2時(shí)，f′(x)＝0；當(dāng)x<－2時(shí)，f′(x)<0.∴當(dāng)x>0時(shí)，xf′(x)>0；當(dāng)－2<x<0時(shí)，xf′(x)<0；當(dāng)x＝－2或0時(shí)，xf′(x)＝0；當(dāng)x<－2時(shí)，xf′(x)>0.故選C.2.（2021·山東菏澤模擬）若函數(shù)在區(qū)間上存在最大值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因?yàn)椋液瘮?shù)在區(qū)間上存在最大值，故只需滿足，所以，，解得．故選C.3.（2021·安徽模擬）對于函數(shù)，下列說法正確的個(gè)數(shù)為（）①的單調(diào)遞減區(qū)間為；②的解集為；③是極小值，是極大值；④有最大值，沒有最小值.A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】，則，故函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，畫出函數(shù)圖像，如圖所示：根據(jù)圖像知②③④正確，①錯(cuò)誤，應(yīng)該是的單調(diào)遞減區(qū)間為和.故選C.4.（2021·黑龍江哈爾濱第三中學(xué)檢測）函數(shù)在處取極小值，則（）A.6或2 B.6或－2 C.6 D.2【答案】D【解析】或當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處取極大值，不符題意，舍去；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處取極小值.故選D.5.（2021·遼寧丹東模擬）已知函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，滿足，且，則的最小值為（）A.1B. C.D.【答案】D【解析】作出函數(shù)的圖象，如圖所示：因?yàn)椋Y(jié)合圖象可知，可得，，，令，解得，可以判斷函數(shù)在上單調(diào)減，在上單調(diào)增，所以在處取得最小值，且.故選D.6.（2021·湖南懷化三模）已知函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù).①f(x)在區(qū)間是增函數(shù)；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)f(x)的最大值為－1；③有2個(gè)零點(diǎn)；④.則上述判斷正確的序號是（）A.①③ B.①④ C.③④ D.①②【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，，，所以在區(qū)間是增函數(shù)，即①正確；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到最小值，所以②不正確；當(dāng)時(shí)，，令，則，由于，所以在上先減后增，且，所以在內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，令，則，由于，所以在上先增后減，且，所以在內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)；綜上可知，有2個(gè)零點(diǎn)，所以③正確；當(dāng)時(shí)，，，所以④不正確；故選A.7.（2021·湖北宜昌調(diào)研）設(shè)函數(shù)，若在上的最大值為，則________.【答案】【解析】定義域?yàn)椋谏蠁握{(diào)遞增，故在上的最大值為.8.（2021·河南開封高三模擬）設(shè)點(diǎn)P為函數(shù)f(x)＝lnx－x3的圖象上任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q為直線2x＋y－2＝0上任意一點(diǎn)，則P，Q兩點(diǎn)距離的最小值為________．【答案】【解析】由題意知，當(dāng)函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線l1與直線l2：2x＋y－2＝0平行，且PQ⊥l2時(shí)，P，Q兩點(diǎn)之間的距離最小．因?yàn)閒(x)＝lnx－x3，所以f′(x)＝－3x2，所以－3xeq\o\al(2,0)＝－2，解得x0＝1，所以y0＝－1，故切線l1的方程為2x＋y－1＝0.由兩平行直線之間的距離公式可得切線l1與直線l2之間的距離d＝，故P，Q兩點(diǎn)距離的最小值為.9.（2021·山東師大附中測評）已知變量，且，若恒成立，則m的最大值為（為自然對數(shù)的底數(shù)）（）A.e B. C. D.1【答案】A【解析】，，恒成立，設(shè)函數(shù)，，，在上為增函數(shù)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，，即函數(shù)的增區(qū)間是，則的最大值為.故選A.10.（2021全國乙卷）設(shè)，若為函數(shù)的極大值點(diǎn)，則A． B． C． D．【答案】D【解析】令，解得或，即及是的兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，由三次函數(shù)的性質(zhì)可知，要使是的極大值點(diǎn)，則函數(shù)的大致圖象如下圖所示，則；當(dāng)時(shí)，由三次函數(shù)的性質(zhì)可知，要使是的極大值點(diǎn)，則函數(shù)的大致圖象如下圖所示，則；綜上，．故選D.11.（2021·遼寧三模）已知恰有一個(gè)極值點(diǎn)為1，則的取值范圍是（）A. B.C.D.【答案】D【解析】由題意，函數(shù)的定義域?yàn)椋瑢瘮?shù)求導(dǎo)得，恰有一個(gè)極值點(diǎn)為1，在上無解，即在上無解，令，則，函數(shù)在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，.故選D.12.(2021·河北唐山一模)已知函數(shù)f(x)=a+lnx,f(x)有極大值f(x1)和極小值f(x2),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是,f(x1)+f(x2)=.

【答案】-ln2【解析】由題意知f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),f'(x)=a，令g(x)=-2ax2+x-a,因?yàn)閒(x)有極大值和極小值,故g(x)=-2ax2+x-a在區(qū)間(0,+∞)上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.故即解得a∈.可知x1+x2=,x1x2=，故f(x1)+f(x2)=a+lnx1+a+lnx2=a)+lnx1x2=a.13.（2021·遼寧大連二模）已知函數(shù).（Ⅰ）討論的單調(diào)性；（Ⅱ）若，不等式恒成立，求整數(shù)a的最大值.【解析】（Ⅰ）因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋睿獾茫涣睿獾?所以，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，由可得，即，設(shè)，.設(shè)，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在單調(diào)遞增.又，，則函數(shù)在存在唯一零點(diǎn)滿足，則當(dāng)時(shí)，，即，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，即，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，所以，.又因?yàn)椋瑒t，因?yàn)椋瑒t，則整數(shù)的最大值為.14.（2021·山東濟(jì)南模擬）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若函數(shù)f(x)在處有極小值，求函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最大值．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，可得，可得，又由，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程，即.（2）由，可得，因?yàn)楹瘮?shù)在處有極小值，可得，解得，此時(shí)，且，令，即，解得或，當(dāng)或時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，因?yàn)椋院瘮?shù)的最大值為.15.（2021·河北滄州七校聯(lián)考）已知函數(shù)．（1）若，求的極值；（2）若對任意，恒成立，求整數(shù)m的最小值．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，．當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減．所以在時(shí)取得極大值且極大值為，無極小值．因?yàn)閷θ我猓愠闪ⅲ栽谏虾愠闪ⅲ丛谏虾愠闪ⅲO(shè)，則．設(shè)，顯然在上單調(diào)遞減，因?yàn)椋裕沟茫矗?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以．因?yàn)椋裕收麛?shù)m的最小值為1．16.（2021重慶市第十八中學(xué)模擬）下列函數(shù)中，是極值點(diǎn)的函數(shù)是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】對于A中，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以是函數(shù)的極值點(diǎn)，所以A正確；對于B中，函數(shù)，可得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，可得函數(shù)為極值點(diǎn)，所以B不正確；對于C中，函數(shù)，可得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，可得函數(shù)為極值點(diǎn)，所以C不正確；對于D中，函數(shù)在處無定義，所以不是極值點(diǎn)，所以D不正確.故選：A.17．（2021·云南玉溪模擬）已知在內(nèi)連續(xù)可導(dǎo)，且是的導(dǎo)數(shù)，，在處取到極值，則是的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】依題意在內(nèi)連續(xù)可導(dǎo)，且是的導(dǎo)數(shù)，，則不一定是極值點(diǎn)，在處取到極值，則，所以是的必要不充分條件.故選B.18．（2021陜西省渭南市尚德中學(xué)模擬）設(shè)f′（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，y＝f′（x）的圖像如圖所示，則y＝f（x）的圖像最有可能是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知，0是極大值點(diǎn)2是極小值點(diǎn),故選D.19．（2021江蘇省揚(yáng)州市模擬）設(shè)函數(shù)滿足則時(shí)滿足（）A．既無最極大值也無最小值 B．有最大值，無最小值C．無最大值，有最小值 D．既有最大值也有最小值【答案】A【解析】依題意函數(shù)滿足，所以，構(gòu)造函數(shù)，則，，由得，令，則，所以在區(qū)間上導(dǎo)數(shù)小于，遞減；在區(qū)間上導(dǎo)數(shù)大于，遞增.所以的最小值為，所以，故在上恒成立，所以在上遞增，既無最極大值也無最小值.故選A.20．（2021·河北石家莊模擬）已知函數(shù)．（1）求在處的切線方程；（2）求的單調(diào)區(qū)間和極值．【解】1

，，所以切線的斜率為，因?yàn)椋郧芯€方程為，即．2，令，x10極小所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，取極小值，極小值為，無極大值．21.（2021·浙江溫州模擬）已知函數(shù)在處取得極值A(chǔ)，函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)．（1）求m的值，并判斷A是的最大值還是最小值；（2）求的單調(diào)區(qū)間.【解】∵，∴，又是的極值點(diǎn)，則，∴，得.此時(shí)，則，．易得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴在上遞減；在上遞增，∴在處的極值A(chǔ)是最小值．由知，，故，且．∴，設(shè)，則，顯然，當(dāng)時(shí)，恒成立，∴在上單調(diào)遞增，且∴當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即．∴的單調(diào)遞減區(qū)間為；單調(diào)遞增區(qū)間為22．（2021·山東濰坊模擬）若函數(shù)，在處取得極小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】由題意，函數(shù)的定義域與，且，，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，令，可得；令，可得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，此時(shí)函數(shù)在取得極大值，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，可得恒成立，可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)不存在極值，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，令，可得，令，可得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，此時(shí)函數(shù)在處取得極小值，滿足題意，綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍是．23．（2021·河北模擬）已知函數(shù)，.（1）若在處取得極值，求的值；（2）設(shè)，試討論函數(shù)的單調(diào)性.【解】（1）因?yàn)椋裕驗(yàn)樵谔幦〉脴O值，所以，解得.驗(yàn)證：當(dāng)時(shí)，，易得在處取得極大值.（2）因?yàn)椋?①若，則當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減.②若，，當(dāng)時(shí)，易得函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，恒成立，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，易得函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.24．（2022·江蘇南京模擬）設(shè)函數(shù)，，是自然對數(shù)的底數(shù).（1）若，求函數(shù)的極值；（2）當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍.【解】（1），，令，得或，令，得，所以在，單增，單減，所以極大值，極小值，（2），，，，，，①當(dāng)，即時(shí)，，所以單增，，所以單增，，符合題意.②當(dāng)，即時(shí)，，使得當(dāng)時(shí)，所以在單減，，矛盾，所以舍去.綜上.25．（2022·河南省聯(lián)考）已知函數(shù)（，）存在極大值和極小值，且極大值與極小值互為相反數(shù)，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】

設(shè)是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，根據(jù)題意可知，不妨設(shè)則，且，即化簡得：將代入化簡計(jì)算得，，選項(xiàng)B正確，選項(xiàng)ACD錯(cuò)誤.故選B.

26．如圖是函數(shù)的大致圖象，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】觀察函數(shù)的圖象知，-1，0，2是函數(shù)的零點(diǎn)，且，是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，于是得，求導(dǎo)得，因，是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，則，是方程的兩根，從而有，，所以.故選C.27．（2021·浙江寧波模擬）已知當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為8，則實(shí)數(shù)的取值為______．【答案】2或【解析】∵，∴，∴，令，即，且在上等號能取到，在同一坐標(biāo)系下，分別作出函數(shù)的圖象，經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，可得令，設(shè)的切點(diǎn)為，則，解得：，，∴實(shí)數(shù)的取值為2或，故答案為：2或28．已知直線與曲線相切，當(dāng)取得最大值時(shí)，的值為_______________________．【答案】【解析】設(shè)切點(diǎn)為，因?yàn)椋裕矗忠驗(yàn)椋裕?令所以當(dāng)時(shí)，，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則在區(qū)間上單調(diào)遞減﹐所以所以的最大值為1，此時(shí).故答案為：129．（2021·貴州銅仁模擬）已知函數(shù)，．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）設(shè)在區(qū)間上的最大值為，求的最小值．【解】（1）由題意的定義域?yàn)椋偃簦瑒t，所以在上為單調(diào)遞增函數(shù)；②若，由解得，，的解為或，的解為，即的增區(qū)間為，，減區(qū)間為．（2）①若，則，，又由（1）知在上為增函數(shù)，故；②若，易知，，，，，，（ⅰ）若，則，且，故，所以則，（ⅱ）若，則，且，故在上為減函數(shù)，則．綜上，所以.應(yīng)用建模2利用導(dǎo)數(shù)研究生活中的應(yīng)用問題1.（2021·廣西南寧模擬）某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，固定成本為元，每生產(chǎn)一單位的產(chǎn)品，成本增加元，若總收入與年產(chǎn)量的關(guān)系是，，則當(dāng)總利潤最大時(shí)，每年生產(chǎn)的產(chǎn)品單位數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)總利潤為（），（），令，可得，當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，取得最大值.故選D.2.（2021·四川成都高三模擬）已知球體的半徑為3，當(dāng)球內(nèi)接正四棱錐的體積最大時(shí)，正四棱錐的高和底面邊長的比值是（）A．1 B． C． D．2【答案】A【解析】如圖，是正四棱錐的對角面，其外接圓是四棱錐外接球的大圓，是圓心（球心），設(shè)正四棱錐底面邊長為，則，，設(shè)，則由得，，，，，，當(dāng)時(shí)，，遞增，時(shí)，，遞減，∴時(shí)，取得極大值也是最大值．此時(shí)高，，.故選A.3．（2021·重慶模擬）已知某圓柱軸截面的周長為12，當(dāng)該圓柱體積最大時(shí)其側(cè)面積為________.【答案】【解析】設(shè)圓柱底面半徑為，高為，則，，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為減函數(shù)所以當(dāng)時(shí)，有極大值，也為最大值，此時(shí)側(cè)面積.4.（2021·陜西西安模擬）某蓮藕種植塘每年的固定成本是1萬元，每年最大規(guī)模的種植量是8萬斤，每種植一萬斤藕，成本增加萬元．如果銷售額函數(shù)是是蓮藕種植量，單位：萬斤；銷售額的單位：萬元，是常數(shù)若種植2萬斤，利潤是萬元，則要使利潤最大，每年需種植蓮藕_______萬斤

．【答案】6.【解析】設(shè)銷售利潤為，得，

當(dāng)時(shí)，，解得.

∴，，

∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

時(shí)，函數(shù)取得極大值即最大值.5．（2021·山東曲阜模擬）如圖所示，某幾何體由底面半徑和高均為1的圓柱與半徑為1的半球?qū)佣桑谠摲忾]幾何體內(nèi)部放入一個(gè)小圓柱體，且小圓柱體的上下底面均與外層圓柱的底面平行，則小圓柱體積的最大值為__________.【答案】【解析】由題意，設(shè)小圓柱體底面半徑為，則高為，小圓柱體體積，設(shè)，則則當(dāng)時(shí)，.6．（2021·安徽黃山模擬）某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品件的總成本（單位：萬元），又知產(chǎn)品單價(jià)的平方與產(chǎn)品件數(shù)成反比，生產(chǎn)件這樣的產(chǎn)品單價(jià)為萬元，則產(chǎn)量定為______件時(shí)總利潤最大．【答案】【解析】設(shè)產(chǎn)品單價(jià)為，因?yàn)楫a(chǎn)品單價(jià)的平方與產(chǎn)品件數(shù)成反比，所以,（其中為非零常數(shù)），又生產(chǎn)件這樣的產(chǎn)品單價(jià)為萬元，所以，故，記生產(chǎn)件產(chǎn)品時(shí)，總利潤為,所以,則，由得：，由得：，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此當(dāng)時(shí)，取最大值.即產(chǎn)量定為件時(shí)，總利潤最大．7．（2021·河北曲陽模擬）某公司為了獲得更大的收益，每年要投入一定的資金用于廣告促銷，經(jīng)調(diào)查，每年投入廣告費(fèi)t百萬元，可增加銷售額約為百萬元.（Ⅰ）若該公司將一年的廣告費(fèi)控制在4百萬元之內(nèi)，則應(yīng)投入多少廣告費(fèi)，才能使該公司由此增加的收益最大？（Ⅱ）現(xiàn)該公司準(zhǔn)備共投入5百萬元，分別用于廣告促銷和技術(shù)改造，經(jīng)預(yù)測，每投入技術(shù)改造費(fèi)百萬元，可增加的銷售額約為百萬元，請?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)資金分配方案，使該公司由此增加的收益最大.（注：收益=銷售額-投入，這里除了廣告費(fèi)和技術(shù)改造費(fèi)，不考慮其他的投入）【解析】（Ⅰ）設(shè)投入t百萬元的廣告費(fèi)后增加的收益為f(t)百萬元，則由，∴當(dāng)t=3時(shí)，f(t)取得最大值9，即投入3百萬元的廣告費(fèi)時(shí)，該公司由此增加的收益最大.（Ⅱ）用于技術(shù)改造的資金為x百萬元，則用于廣告促銷的資金為(5-x)百萬元，設(shè)由此增加的收益是g(x)百萬元.則..則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.∴當(dāng)x=4時(shí)，g(x)取得最大值.即4百萬元用于技術(shù)改造，1百萬元用于廣告促銷，該公司由此增加的收益最大.8.某車間有50名工人，要完成150件產(chǎn)品的生產(chǎn)任務(wù)，每件產(chǎn)品由3個(gè)型零件和1個(gè)型零件配套組成，每個(gè)工人每小時(shí)能加工5個(gè)型零件或者3個(gè)型零件，現(xiàn)在把這些工人分成兩組同時(shí)工作（分組后人數(shù)不再進(jìn)行調(diào)整），每組加工同一種型號的零件.設(shè)加工型零件的工人數(shù)為名.（1）設(shè)完成、型零件加工所需的時(shí)間分別為、小時(shí)，寫出與的解析式；（2）當(dāng)取何值時(shí)，完成全部生產(chǎn)任務(wù)的時(shí)間最短？【解析】（1）生產(chǎn)150件產(chǎn)品，需加工型零件450個(gè)，則完成型零件加工所需時(shí)間（，且）.生產(chǎn)150件產(chǎn)品，需加工型零件150個(gè)，則完成型零件加工所需時(shí)間（，且）.（2）設(shè)完成全部生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間為小時(shí)，則為與的較大者.令，即，解得.所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故.當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，則在上的最小值為（小時(shí)）；當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，則在上的最小值為（小時(shí)）；∵，∴在上的最小值為.∴.為了在最短時(shí)間內(nèi)完成生產(chǎn)任務(wù)，應(yīng)取32.9．（2021·江蘇蘇州模擬）如圖，是南北方向的一條公路，是北偏東方向的一條公路，某風(fēng)景區(qū)的一段邊界為曲線．為方便游客光，擬過曲線上的某點(diǎn)分別修建與公路，垂直的兩條道路，，且，的造價(jià)分別為5萬元百米，40萬元百米，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則曲線符合函數(shù)模型，設(shè)，修建兩條道路，的總造價(jià)為萬元，題中所涉及的長度單位均為百米．（1）求解析式；（2）當(dāng)為多少時(shí)，總造價(jià)最低？并求出最低造價(jià)．【解析】（1）在如圖所示的直角坐標(biāo)系中，因?yàn)榍€的方程為，所以點(diǎn)坐標(biāo)為，直線的方程為，則點(diǎn)到直線的距離為，又的造價(jià)為5萬元百米，的造價(jià)為40萬元百米．則兩條道路總造價(jià)為．（2）因?yàn)椋裕睿茫斜砣缦拢?0單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，最小值為．答：（1）兩條道路，總造價(jià)為；（2）當(dāng)時(shí)，總造價(jià)最低，最低造價(jià)為30萬元．10．（2021·天津高三模擬）用邊長為的正方形鐵皮做一個(gè)無蓋的鐵盒，在鐵皮的四角各截去一個(gè)面積相等的小正方形，然后把四邊折起，就能焊成鐵盒，當(dāng)鐵盒的容積最大時(shí)，截去的小正方形的邊長為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)截去的小正方形的邊長為x,則鐵盒的長和寬為18-2x,高為x,所以，所以，所以函數(shù)在（0,3）單調(diào)遞增，在（3,9）單調(diào)遞減，所以當(dāng)x=3時(shí)，函數(shù)取最大值.故選C.11．（2021·廣東廣州模擬）周長為的矩形，繞一條邊旋轉(zhuǎn)成一個(gè)圓柱，則圓柱體積的最大值為_______.【答案】【解析】矩形的周長為,設(shè)矩形的長為,則寬為設(shè)繞其寬旋轉(zhuǎn)成一個(gè)圓柱,則圓柱的底面半徑為,高為則圓柱的體積則當(dāng),則當(dāng)，則即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減故當(dāng)圓柱體積取最大值，此時(shí).12．（2021·江西省江西師大附中高三一模）現(xiàn)有一塊邊長為a的正方形鐵片，鐵片的四角截去四個(gè)邊長均為x的小正方形，然后做成一個(gè)無蓋方盒，該方盒容積的最大值是________．【答案】【解析】由題意：容積，，則，由得或（舍去），令則為V在定義域內(nèi)唯一的極大值點(diǎn)也是最大值點(diǎn)，此時(shí).13.（2021·重慶長壽模擬）某政府打算在如圖所示的某“葫蘆”形花壇中建一噴泉，該花壇的邊界是兩個(gè)半徑為12米的圓弧圍成，兩圓心、之間的距離為米．在花壇中建矩形噴泉，四個(gè)頂點(diǎn)，，，均在圓弧上，于點(diǎn)．設(shè).當(dāng)時(shí),求噴泉的面積;(2)求為何值時(shí)，可使噴泉的面積最大?.【解析】（1）在直角中，，，則,所以(平方米)答：矩形的面積為平方米.（2）在直角中，，，則，所以矩形的面積，令，，則，令，得.設(shè)，且列表如下：+0-↗極大值↘所以當(dāng)時(shí)，最大，即最大.此時(shí).所以當(dāng)為時(shí)，噴泉的面積最大14.（2021·江蘇淮陰模擬）2019年11月2日，中國藥品監(jiān)督管理局批準(zhǔn)了治療阿爾茨海默病（老年癡呆癥）新藥GV-971的上市申請，這款新藥由我國科研人員研發(fā)，我國擁有完全知識產(chǎn)權(quán).據(jù)悉，該款藥品為膠囊，從外觀上看是兩個(gè)半球和一個(gè)圓柱組成，其中上半球是膠囊的蓋子，粉狀藥物儲存在圓柱及下半球中.膠囊軸截面如圖所示，兩頭是半圓形，中間區(qū)域是矩形，其周長為50毫米，藥物所占的體積為圓柱體積和一個(gè)半球體積之和.假設(shè)的長為毫米.（注：，，其中為球半徑，為圓柱底面積，為圓柱的高）（1）求膠囊中藥物的體積關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）如何設(shè)計(jì)與的長度，使得最大？【解析】（1）由得，，所以，所以藥物體積，.（2）求導(dǎo)得，令，得或（舍），當(dāng)，，在區(qū)間上單調(diào)增，當(dāng)，，在區(qū)間上單調(diào)減，所以當(dāng)時(shí)，有最大值，此時(shí)，，答：當(dāng)為毫米，為毫米時(shí)，藥物的體積有最大值.15.某工廠要圍建一個(gè)面積為512平方米的矩形堆料場，一邊可以利用原有的墻壁，其他三邊需要砌新的墻壁，當(dāng)砌新的墻壁所用的材料最省時(shí)，堆料場的長和寬分別為()A．32米，16米 B．30米，15米C．40米，20米 D．36米，18米【答案】A【解析】要求材料最省，則要求新砌的墻壁總長最短，設(shè)堆料廠的寬為x米，則長為米，因此新墻總長為L＝2x＋(x>0)，則L′＝2－，令L′＝0，得x＝±16.又x>0，∴x＝16.則當(dāng)x＝16時(shí)，L取得極小值，也是最小值，即用料最省，此時(shí)長為＝32(米)．故選A.16.（2021·安徽六安三校聯(lián)考）某產(chǎn)品的銷售收入（萬元）關(guān)于產(chǎn)量x（千臺）的函數(shù)為；生產(chǎn)成本（萬元）關(guān)于產(chǎn)量x（千臺）的函數(shù)為，為使利潤最大，應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品()A.9千臺 B.8千臺 C.7千臺 D.6千臺【答案】B【解析】設(shè)利潤為y萬元，則，，令，得，令，得，∴當(dāng)時(shí)，y取最大值，故為使利潤最大，應(yīng)生產(chǎn)8千臺．故選B.17.（2021·安徽皖東縣中聯(lián)盟）某蓮藕種植塘每年的固定成本是1萬元，每年最大規(guī)模的種植量是8萬斤，每種植一斤藕，成本增加0.5元.如果銷售額函數(shù)是（x是蓮藕種植量，單位：萬斤；銷售額的單位：萬元，a是常數(shù)），若種植2萬斤，利潤是2.5萬元，則要使利潤最大，每年需種植蓮藕（）A.6萬斤 B.8萬斤 C.3萬斤 D.5萬斤【答案】A【解析】由題意，設(shè)銷售的利潤為，得，即，當(dāng)時(shí)，，解得，故，則，可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以時(shí)，利潤最大.故選A.18．某商場從生產(chǎn)廠家以每件20元購進(jìn)一批商品，若該商品零售價(jià)為p元，銷量Q(單位：件)與零售價(jià)p(單位：元)有如下關(guān)系：Q＝8300－170p－p2，則該商品零售價(jià)定為________元時(shí)利潤最大，利潤的最大值為________元．【答案】3023000【解析】設(shè)該商品的利潤為y元，由題意知，y＝Q(p－20)＝－p3－150p2＋11700p－166000，則y′＝－3p2－300p＋11700，令y′＝0得p＝30或p＝－130(舍)，當(dāng)p∈(0,30)時(shí)，y′＞0，當(dāng)p∈(30，＋∞)時(shí)，y′＜0，因此當(dāng)p＝30時(shí)，y有最大值，ymax＝23000.19．（2021·江西上饒模擬）橫梁的強(qiáng)度和它的矩形橫斷面的高的平方與寬的乘積成正比，要將直徑為d的圓木鋸成強(qiáng)度最大的橫梁，則矩形橫斷面的高和寬分別為()A.d，d B.d，dC.d，d D.d，d【答案】C【解析】如圖所示，設(shè)矩形橫斷面的寬為x，高為y，由題意知，當(dāng)xy2取最大值時(shí)，橫梁的強(qiáng)度最大．∵y2＝d2－x2，∴xy2＝x(d2－x2)(0<x<d)．令f(x)＝x(d2－x2)(0<x<d)，則f′(x)＝d2－3x2.令f′(x)＝0，解得x＝d或x＝－d(舍去)．當(dāng)0<x<d時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)d<x<d時(shí)，f′(x)<0.∴當(dāng)x＝eq\f(\r(3),3)d時(shí)，f(x)取得極大值，也是最大值．∴當(dāng)矩形橫斷面的高為d，寬為d時(shí)，橫梁的強(qiáng)度最大.故選C.20.（2021·黑龍江大慶模擬）如圖，已知圓柱和半徑為的半球O，圓柱的下底面在半球O底面所在平面上，圓柱的上底面內(nèi)接于球O，則該圓柱體積的最大值為_______．【答案】2π【解析】設(shè)圓柱的底面圓半徑為r，高為h；則h2+r2＝R2＝3；所以圓柱的體積為V＝πr2h＝π（3﹣h2）h＝π（3h﹣h3）；則V′（h）＝π（3﹣3h2），令V′（h）＝0，解得h＝1；所以h∈（0，1）時(shí)，V′（h）＞0，V（h）單調(diào)遞增；h∈（1，）時(shí)，V′（h）＜0，V（h）單調(diào)遞減；所以h＝1時(shí)，V（h）取得最大值為V（1）＝2π．21．(2021·北京東城模擬)某商場從生產(chǎn)廠家以每件20元的價(jià)格購進(jìn)一批商品，若該商品零售價(jià)為p元，銷量Q(單位：件)與零售價(jià)p(單位：元)有如下關(guān)系：Q＝8300－170p－p2，則該商品零售價(jià)定為________元時(shí)利潤最大，利潤的最大值為________元．【答案】3023000【解析】設(shè)商場銷售該商品所獲利潤為y元，則y＝(p－20)(8300－170p－p2)＝－p3－150p2＋11700p－166000(p≥20)，則y′＝－3p2－300p＋11700.令y′＝0得p2＋100p－3900＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去)．則p，y，y′變化關(guān)系如下表：p(20,30)30(30，＋∞)y′＋0－y單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減故當(dāng)p＝30時(shí)，y取極大值23000.又y＝－p3－150p2＋11700p－166000在[20，＋∞)上只有一個(gè)極值，故也是最值．所以該商品零售價(jià)定為每件30元時(shí)，所獲利潤最大為23000元．22.（2021·遼寧遼陽模擬）用邊長為48cm的正方形鐵皮做一個(gè)無蓋的鐵盒時(shí)，在鐵皮的四角各截去一個(gè)面積相等的小正方形，然后把四邊折起，就能焊接成鐵盒，所做的鐵盒容積最大________cm3，在四角截去的正方形的邊長為________cm.【答案】8192；8【解析】設(shè)小正方形邊長為，鐵盒體積為．

．

．

∵，∴．令，則(舍去)，，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，

所以當(dāng)時(shí)鐵盒的容積最大，，23.（2021·江蘇揚(yáng)州模擬）如圖是一“T”型水渠的平面視圖（俯視圖），水渠的南北方向和東西方向軸截面均為矩形，南北向渠寬為4m，東西向渠寬m（從拐角處，即圖中A、B處開始）．假定渠內(nèi)的水面始終保持水平位置（即無高度差）．（1）在水平面內(nèi)，過點(diǎn)A的一條直線與水渠的內(nèi)壁交于P，Q兩點(diǎn)，且與水渠的一邊的夾角為，將線段PQ的長度表示為的函數(shù)；（2）若從南面漂來一根長為7m的筆直的竹竿（粗細(xì)不計(jì)），竹竿始終浮于水平面內(nèi)，且不發(fā)生形變，問：這根竹竿能否從拐角處一直漂向東西向的水渠（不會卡住）？請說明理由．【解析】（1），，所以，即．（2）設(shè)，，由，令，得，且當(dāng)，；當(dāng)，，所以在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得極小值，即為最小值．當(dāng)時(shí)，，，所以，即這根竹竿能通過拐角處的長度的最大值為m．因?yàn)椋赃@根竹竿能從拐角處一直漂向東西向的水渠．24.（2021·江蘇連云港模擬）如圖，某城市小區(qū)有一個(gè)矩形休閑廣場，米，廣場的一角是半徑為16米的扇形綠化區(qū)域，為了使小區(qū)居民能夠更好的在廣場休閑放松，現(xiàn)決定在廣場上安置兩排休閑椅，其中一排是穿越廣場的雙人靠背直排椅（寬度不計(jì)），點(diǎn)M在線段上，并且與曲線相切；另一排為單人弧形椅沿曲線（寬度不計(jì)）擺放．已知雙人靠背直排椅的造價(jià)每米為元，單人弧形椅的造價(jià)每米為元，記銳角，總造價(jià)為W元．（1）試將W表示為的函數(shù)，并寫出的取值范圍；（2）如何選取點(diǎn)M的位置，能使總造價(jià)W最小．【解析】（1）過作的垂線，垂足為；過作的垂線，垂足為．在中，，則在中，，由題意易得因此，（2）令，，因?yàn)椋裕O(shè)銳角滿足，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．所以當(dāng)，總造價(jià)最小，最小值為，此時(shí)，，，因此當(dāng)米時(shí)，能使總造價(jià)最小．25.為了緩解城市交通壓力，某市市政府在市區(qū)一主要交通干道修建高架橋，兩端的橋墩現(xiàn)已建好，已知這兩橋墩相距m米，“余下的工程”只需建兩端橋墩之間的橋面和橋墩．經(jīng)測算，一個(gè)橋墩的工程費(fèi)用為256萬元；距離為x米的相鄰兩墩之間的橋面工程費(fèi)用為(2＋)x萬元．假設(shè)橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點(diǎn)，且不考慮其他因素．記“余下工程”的費(fèi)用為y萬元．(1)試寫出工程費(fèi)用y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)m＝640米時(shí)，需新建多少個(gè)橋墩才能使工程費(fèi)用y最小？并求出其最小值．【解析】（1）相鄰橋墩間距米，需建橋墩個(gè)，則，()

（2）當(dāng)米時(shí)，，，∵且時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減，∴，∴需新建橋墩個(gè).單元測試五1.（2022·山東臨沂月考）已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則（）A. B. C.2 D.-2【答案】D【解析】因?yàn)椋裕裕裕?故選D.2.（2021·河南高三質(zhì)檢）已知函數(shù)，若函數(shù)在處的切線方程為，則的值為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】∵，∴，解得，∴，∴.故選B.3.（2021·山東日照聯(lián)合考試）如圖，一個(gè)正五角星薄片（其對稱軸與水面垂直）勻速地升出水面，記t時(shí)刻五角星露出水面部分的圖形面積為，則導(dǎo)函數(shù)的圖像大致（）A. B.C. D.【答案】A【解析】最初零時(shí)刻和最后終點(diǎn)時(shí)刻沒有變化，導(dǎo)數(shù)取零，排除C；總面積一直保持增加，沒有負(fù)的改變量，排除B；考察A.

D的差異在于兩肩位置的改變是否平滑，考慮到導(dǎo)數(shù)的意義，判斷此時(shí)面積改變?yōu)橥蛔儯a(chǎn)生中斷，故選A.4.（2021·重慶聯(lián)合考試）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若，則（）A.4 B.2 C.1 D.【答案】B【解析】由題意知：.因?yàn)椋裕獾?故選B.5.（2021·山東煙臺月考）函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋鋵?dǎo)函數(shù)在的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)在內(nèi)的極小值點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】D【解析】從的圖象可知在內(nèi)從左到右的單調(diào)性依次為增減增減，根據(jù)極值點(diǎn)的定義可知在內(nèi)只有一個(gè)極小值點(diǎn)，極小值點(diǎn)為．故選D.6.（2021·湖南衡陽模擬）若在(－2,+∞)上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)b的范圍是（）A.(－∞,－1] B.(－∞,0] C.(－1,0] D.[－1,+∞)【答案】A【解析】因?yàn)椋士傻茫驗(yàn)樵趨^(qū)間是減函數(shù)，故在區(qū)間上恒成立.因?yàn)椋噬鲜娇烧砘啚樵趨^(qū)間上恒成立，因?yàn)樵趨^(qū)間上的最小值為，故只需-1.故選A.7.（2021·山西臨汾模擬）設(shè)，則等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依題意得，故選C.8.（2021·山東高三質(zhì)檢）若函數(shù)在區(qū)間上存在最大值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因?yàn)椋液瘮?shù)在區(qū)間上存在最大值，故只需滿足，所以，，解得．故選C.9.(2021·云南昆明診斷）已知函數(shù)，若對任意，使，則a的最大值為（）A.0 B. C.1 D.【答案】A【解析】，令，則，由，得，得，由，得，得，所以在上遞減，在上遞增，所以當(dāng)時(shí)，，即，所以，當(dāng)時(shí)取“”，所以的最小值為，所以，所以的最大值為.故選A.10.（2021·安徽安慶模擬）在數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)課中，某同學(xué)在如圖1所示的邊長為4的正方形模板中，利用尺規(guī)作出其中的實(shí)線圖案，其步驟如下：（1)取正方形中心O及四邊中點(diǎn)M，N，S,T；(2)取線段MN靠近中心O的兩個(gè)八等分點(diǎn)A，B；(3)過點(diǎn)B作MN的垂線l；(4)在直線l(位于正方形區(qū)域內(nèi)）上任取點(diǎn)C，過C作l的垂線l1(5)作線段AC的垂直平分線l2；(6)標(biāo)記l1與l2的交點(diǎn)P，如圖2所示；……不斷重復(fù)步驟(4)至(6)直到形成圖1中的弧線（Ⅰ）.類似方法作出圖1中的其它弧線，則圖1中實(shí)線圍成區(qū)域面積為 .【答案】【解析】由作法可知，弧（Ⅰ）為拋物線SKIPIF1<0弧，則實(shí)線圍成的區(qū)域面積為SKIPIF1<0SKIPIF1<0.11.設(shè)函數(shù)f(x)＝ex(e為自然對數(shù)的底數(shù))，若不等式f(x)≤0有正實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的最小值為________．【答案】e【解析】原問題等價(jià)于存在x∈(0，＋∞)，使得a≥ex(x2－3x＋3)，令g(x)＝ex(x2－3x＋3)，x∈(0，＋∞)，則a≥g(x)min.而g′(x)＝ex(x2－x)，由g′(x)＞0可得x∈(1，＋∞)，由g′(x)＜0可得x∈(0,1)，∴函數(shù)g(x)在區(qū)間(0，＋∞)上的最小值為g(1)＝e.綜上可得，實(shí)數(shù)a的最小值為e.12.（2021·湖南衡陽月考）已知函數(shù)，若，使得成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______________.【答案】【解析】，即為，整理得到，即，使得成立，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號），，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.13.（2021·河北張家口模擬）已知函數(shù)，．（1）求f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）若，方程無實(shí)數(shù)根，求的最大值．【解析】因?yàn)樗粤畹茫海茫海缘脝握{(diào)遞減區(qū)間為，，得單調(diào)遞增區(qū)間為，.（2），即．∵，所以要使方程無實(shí)數(shù)根，即要在內(nèi)無解，亦即要在內(nèi)無實(shí)根令函數(shù)，只需在上無零點(diǎn)①當(dāng)時(shí)，在內(nèi)恒成立，所以在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)也單調(diào)遞減．又，所以在內(nèi)無零點(diǎn)，在內(nèi)也無零點(diǎn)，滿足條件②當(dāng)時(shí)，，則在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)也單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，又所以在內(nèi)無零點(diǎn)，又因?yàn)椋遥试趦?nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，不滿足條件.綜上所述，要使方程無實(shí)根，的最大值為0.14．（2021江蘇省蘇州市模擬）若，可以作為一個(gè)三角形的三條邊長，則稱函數(shù)是區(qū)間上的“穩(wěn)定函數(shù)”.已知函數(shù)是區(qū)間上的“穩(wěn)定函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】D【解析】，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，又，，， 由“穩(wěn)定函數(shù)”定義可知：，即，解得：，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選D.15．（2021·浙江模擬）對函數(shù)(，且)的極值和最值情況進(jìn)行判斷，一定有（）A．既有極大值，也有最大值 B．無極大值，但有最大值C．既有極小值，也有最小值 D．無極小值，但有最小值【答案】C【解析】，下面討論方程根的情況.令，，（1）當(dāng)時(shí)(即)，僅有一個(gè)唯一的正零點(diǎn)，不妨設(shè)為，此時(shí)有三個(gè)不同零點(diǎn)，分別為，0，；滿足既有極小值，也有最小值；（2）當(dāng)時(shí)(即)；滿足既有極小值，也有最小值；（3）當(dāng)時(shí)(即且)，若(即且)，則僅有一個(gè)唯一的極小值點(diǎn)為0，若，結(jié)合分析可知：當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不同的正零點(diǎn)(令為，且).此時(shí)在，，上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，則僅有一個(gè)唯一的極小值點(diǎn)為0.滿足既有極小值，也有最小值；綜上分析，故選C.16．（2022·山東青島模擬）函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為___________.【答案】【解析】因?yàn)椋裕郧芯€方程為：，即為.17．（2021·江蘇南通模擬）函數(shù)取最大值時(shí)的值為___________.【答案】【解析】，，令，即，解得：或或，時(shí)時(shí)，，故在[上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故時(shí)，取最大值.18．（2021·天津武清