第八單元數列§8.1數列的概念1.在數列1，1，2，3，5，8，13，x，34，55，…中，x應取()A．19 B．20C．21【答案】C. D．22【解析】設題中數列{an}，則a1＝1，a2＝1，a3＝2，∴an＋2＝an＋1＋an，∴x＝8＋13＝21.故選C.2.（2021·全國高三其他模擬）已知數列an的前n項和為Sn，且bn=anA．第5項 B．第6項 C．第7項 D．第8項【答案】D【解析】當n=1時，a1=S1=10；由2Sn=3n2+17n當n≥2時2Sn?1=3(n?1)2+17(n?1)，兩式相減，可得2an=6n+14解得an=3n+7，當n=1時，也符合該式，故an=3n+73.已知，則數列的圖象是（）A．一條直線 B．一條拋物線C．一個圓 D．一群孤立的點【答案】D【解析】數列的通項公式為，可以看作為關于n的一次函數，變量，數列若用圖象表示，從圖象上看是一群孤立的點.故選D.4.已知數列的前4項為2，0，2，0，則依此歸納該數列的通項不可能是()A.an=(?1)n?1C.an=2sin【答案】C【解析】對n＝1，2，3，4進行驗證，C不合題意.故選C5.(2021·湖南三模)若數列{an}滿足a1＝2，an＋1an＝an－1，則a2021的值為()A．－1 B.eq\f(1,2)C．2 D．3【答案】B【解析】因為數列{an}滿足a1＝2，an＋1an＝an－1，所以an＋1＝1－1an，所以a2＝12，a3＝1－2＝－1，a4＝1＋1＝2，可知數列有周期性，周期為3.而2021＝3×673＋2，所以a2021＝a2＝eq\f(1,2).故選B.6.將數列{3n-1}與{2n+1}的公共項從小到大排列得到數列{an}，則{an}的第10項為（）A．210-1 B．210+1 C．220-1 D．220+1【答案】D【解析】設bn=3n?1，cn=2則3m?1=2n+1，解得m=2n即a1=c2，a27.（2021·鄭州河南高三模擬）已知數列an滿足a1=28，aA．293 B．47?1 C．485【答案】C【解析】由an+1?an=2n知：a2?相加得：an?a1=n2?n，∴ann=n+28n8.在數列an中，a1=2，aA．lnn B．2+n?1lnn C．【答案】D【解析】由題意得，an+1n+1=ann+由累加法得，ann=a11+ln9.（2021·安徽安慶高三模擬）將三角形數列中的各項排列如下所示：，，，，，，，，，，，，，，，，…以此類推，則數列的第2021項為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意得，前行項的個數和為，當時，；當時，，∴是第45行第85個數，．故選：C．10.已知數列{an}的通項公式為an＝n2－λn＋1，若{an}是遞增數列，則實數λ的取值范圍是________．【答案】(－∞，3)【解析】由題意得an＋1>an，即(n＋1)2－λ(n＋1)＋1>n210.（2021·福建高三模擬）已知數列an的前n項和為Sn,a【答案】a【解析】由Sn=n2an，可得當n≥2時，Sn?1=n?12an?1，則an=Sn?Sn?111．數列滿足，，實數為常數.①數列有可能是常數列；②時，數列為等差數列；③若，則的取值范圍是；④時，數列單調遞減.則以上判斷正確的序號是___________.（寫出符合條件的所有序號）【答案】①②④．【解析】數列滿足，，實數為常數．對于①，當時，數列是常數列，故①正確；對于②，時，整理得（常數），所以數列為等差數列，故②正確；對于③，若，故，解得，故的取值范圍是，故③錯誤；對于④，當時，且，所以，整理得，所以數列單調遞減，故④正確．故答案為：①②④．12.（2021·上海高三模擬）已知正整數數列an滿足an+1=3a【答案】4【解析】由題意a2=4，a3=2，a4=1，a5數列{an}故答案為：4．13.（2021·江蘇常州高三模擬）已知數列an滿足1?2a11?2a【答案】n×【解析】因為數列an滿足1?2a當n=1時，1?2a1當n≥2時，1?2除②得1?2an所以an是以4為首項，2為公差的等差數列，a所以2設數列2nan前n∴∴2兩式相減得?T∴?∴故答案為：n×214.（2021·河南高三模擬）在數列an中，a1=1,an+1=3a【答案】?【解析】∵an+1=3an∵a121?12又對任意的n∈N?,即3n?1當n為奇數時，λ<?32n?1恒成立，此時當n為偶數時，λ>?32n?1恒成立，此時?3綜上，?32<λ<115.（2021·河南一模）設數列an滿足a1=2，2an+1【答案】a【解析】解：（1）由已知，an+1所以a2?a1=an+1各項累加可得an+1又a1=2，所以所以an=22(n?1)+1所以an§8.2等差數列1．設等差數列{an}的前n項和為Sn，若S5＝5S2＋a4，a1＝1，則a6＝（）A．16 B．13C．－9 D．37【答案】A【解析】設等差數列{an}的公差為d.由S5＝5S2＋a4，得5a1＋d＝5(2a1＋d)＋(a1＋3d)．將a1＝1代入上式，得d＝3.故a6＝a1＋5d＝1＋15＝16.故選A.2.（2021·安徽高三開學考試）我國的《洛書》中記載著世界上最古老的一個幻方：將、、、填入的方格內，使三行、三列、對角線的三個數之和都等于，如圖所示．一般地，將連續的正整數、、、、填入個方格中，使得每行、每列、每條對角線上的數的和相等，這個正方形叫做階幻方．記階幻方的對角線上的數的和為，如圖三階幻方記為，那么的值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由幻方的定義可知，每行、每列、每條對角線上的數的和相等，，所以，.故選B.3.記Sn為等差數列{an}的前n項和.已知S4＝0，a5＝5，則()A.an＝2n－5 B.an＝3n－10C.Sn＝2n2－8n D.Sn＝eq\f(1,2)n2－2n答案A解析設首項為a1，公差為d.由S4＝0，a5＝5可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋4d＝5，,4a1＋6d＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝－3，,d＝2.))所以an＝－3＋2(n－1)＝2n－5，Sn＝n×(－3)＋eq\f(n（n－1）,2)×2＝n2－4n.故選A.4.(2021·武漢調研)已知等差數列{an}的前n項和為Sn，若S8＝a8＝8，則公差d＝()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2) C.1 D.2答案D解析∵S8＝a8＝8，∴a1＋a2＋…＋a8＝a8，∴S7＝7a4＝0，則a4＝0.∴d＝eq\f(a8－a4,8－4)＝2.故選D.5.已知數列中，，，若其前項和為，則的最大值為（）A．167 B．168 C．169 D．170【答案】C【解析】∵，，∴數列為首項為25，公差為的等差數列，∴，∴數列的前n項和，∴時，取最大值，最大值為169.故選C.6.（2021·山西高三模擬）設等差數列的前項和為，若，則（）A．28 B．34 C．40 D．44【答案】D【解析】因為，所以由，可得所以，所以，故選D.7．習近平總書記提出：鄉村振興，人才是關鍵．要積極培養本土人才，鼓勵外出能人返鄉創業．為鼓勵返鄉創業，黑龍江對青山鎮鎮政府決定投入創業資金和開展“創業技術培訓”幫扶返鄉創業人員．預計該鎮政府每年投入的創業資金構成一個等差數列（單位萬元，），每年開展“創業技術培訓”投入的資金為第一年創業資金的倍，已知．則預計該鎮政府幫扶五年累計總投入資金的最大值為（）A．72萬元 B．96萬元 C．120萬元 D．144萬元【答案】C【解析】設等差數列的公差為，由題意可知，五年累計總投入資金為：，因為，所以，當且僅當時取等號，故預計該鎮政府幫扶五年累計總投入資金的最大值為120萬元.故選C.8．（2021·四川綿陽高三模擬）已知等差數列的前項和為，，，若，則（）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】B【解析】∴∴，故選B.9.記為等差數列的前n項和．已知，則()A． B． C． D．【答案】A【解析】由題知，，解得，∴，故選A．10．（2021·云南曲靖高三二模）在等差數列中，若，則數列的前13項和=（）A．5200 B．2600 C．1500 D．1300【答案】D【解析】根據等差數列性質可得，所以，所以前13項和.故選D.11.（2021·黑龍江高三模擬）設等差數列的前項和為，其中，，則=（）A．9 B．18 C．27 D．36【答案】D【解析】根據等差數列的性質，成等差數列，所以，成等差數列，進而得到，所以，.故選D.12．在等差數列中，，且，則使的前n項和成立的自然數n不可能為（）A．17 B．18 C．19 D．20【答案】D【解析】∵為等差數列，，∴，又∵，∴，即，由，故使的前n項和成立的最大的自然數為19.故選D.13．設數列，都是正項等比數列，，分別為數列與的前n項和，且，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】設正項等比數列的公比為q，正項等比數列的公比為p，數列為等差數列，公差為，為等差數列，公差為，，，，，故選A.14．數列是遞增的整數數列，且，，則的最大值為（）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】C【解析】若要使n盡可能的大，則，遞增幅度要盡可能小，不妨設數列是首項為3，公差為1的等差數列，其前n項和為，則，，，所以n的最大值為11.故選C.15．(2021·全國大聯考)在等差數列{an}中，若eq\f(a10,a9)<－1，且它的前n項和Sn有最大值，則使Sn>0成立的正整數n的最大值是()A.15 B.16 C.17 D.14答案C解析∵等差數列{an}的前n項和有最大值，∴等差數列{an}為遞減數列，又eq\f(a10,a9)<－1，∴a9>0，a10<0，∴a9＋a10<0，又S18＝eq\f(18（a1＋a18）,2)＝9(a9＋a10)<0，且S17＝eq\f(17（a1＋a17）,2)＝17a9>0.故使得Sn>0成立的正整數n的最大值為17.故選C.16.已知等差數列，則是該數列的第項.答案20解析設該等差數列為，由已知可得,則通項公式為，令，則17.已知等差數列的第1項，第4項，第7項分別為，則此數列的公差為.答案解析由等差數列的性質可，即，則這3項分別為..已知等差數列的通項公項公式為，則數列的前項和答案解析設等差數列前項和為，則，即.記為等差數列的前n項和．若，則__________．【答案】【解析】是等差數列，且，，設等差數列的公差，根據等差數列通項公式：，可得即：整理可得：解得：.根據等差數列前項和公式：可得：.20.作為重要的文化傳播媒介，電影不僅可以拓寬青少年的視野，還能提高其藝術鑒賞能力．進電影院看電影是當下許多年輕人喜愛的休閑娛樂方式．某電影院IMAX巨幕放映廳第一排有8個座位，從第二排起，每一排都比它的前一排多1個座位，共有10排．試問該放映廳一共有多少個座位？答案125解析用表示第n排的座位數，易知｛｝為等差數列，其中，，該放映廳的座位數即為數列｛｝的前10項和，.所以該放映廳一共有125個座位.21.設{an}是等差數列，a1＝－10，且a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比數列.(1)求{an}的通項公式；(2)記{an}的前n項和為Sn，求Sn的最小值.解析(1)設{an}的公差為d.因為a1＝－10，所以a2＝－10＋d，a3＝－10＋2d，a4＝－10＋3d.因為a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比數列，所以(a3＋8)2＝(a2＋10)(a4＋6).所以(－2＋2d)2＝d(－4＋3d).解得d＝2.所以{an}的通項公式為an＝a1＋(n－1)d＝2n－12.(2)由(1)知，an＝2n－12.則當n≥7時，an>0；當n＝6時，an＝0，當n<6時，an<0；所以Sn的最小值為S5＝S6＝－30.22．已知等差數列的前三項依次為a，4，3a，前n項和為Sn，且Sk＝110.(1)求a及k的值；(2)設數列{bn}的通項公式bn＝eq\f(Sn,n)，證明：數列{bn}是等差數列，并求其前n項和Tn.(1)解設該等差數列為{an}，則a1＝a，a2＝4，a3＝3a，由已知有a＋3a＝8，得a1＝a＝2，公差d＝4－2＝2，所以Sk＝ka1＋eq\f(k（k－1）,2)·d＝2k＋eq\f(k（k－1）,2)×2＝k2＋k，由Sk＝110，得k2＋k－110＝0，解得k＝10或k＝－11(舍去)，故a＝2，k＝10.(2)證明由(1)得Sn＝eq\f(n（2＋2n）,2)＝n(n＋1)，則bn＝eq\f(Sn,n)＝n＋1，故bn＋1－bn＝(n＋2)－(n＋1)＝1，即數列{bn}是首項為2，公差為1的等差數列，所以Tn＝eq\f(n（2＋n＋1）,2)＝eq\f(n（n＋3）,2).23.已知數列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ為常數.(1)證明：an＋2－an＝λ；(2)是否存在λ，使得{an}為等差數列？并說明理由.(1)證明由題設知，anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1.兩式相減得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1.由于an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ.(2)解存在實數λ，理由如下：由題設知，a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1.由(1)知，a3＝λ＋1.令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4.故an＋2－an＝4，由此可得{a2n－1}是首項為1，公差為4的等差數列，a2n－1＝4n－3；{a2n}是首項為3，公差為4的等差數列，a2n＝4n－1.所以an＝2n－1，an＋1－an＝2.因此存在λ＝4，使得數列{an}為等差數列.24．在等差數列中，已知，．（1）求通項及前項和；（2）求的最大值以及取得最大值時的序號的值；（3）求數列的前n項和．解析（1）等差數列中，設公差為，，所以，；，根據等差數列的通項公式，得；（2）由（1）得，，對于二次函數的對稱軸為，，或時，有最大值，此時，（3）數列的前n項和，當時，，所以，，當時，；綜上，25.（2021·廣東高三開學考試）已知數列中，，且滿足，．（1）證明：數列是等差數列，并求數列的通項公式；（2）設為數列的前n項和，求滿足的n的最小值．【答案】（1）證明見解析，；（2）10．【解析】（1）證明：因為，．所以數列是首項為2，公差為1的等差數列，所以；（2）因為，所以，解得，所以滿足的n的最小值為10．26．已知數列滿足，（1）記，寫出，，并求數列的通項公式；（2）求的前20項和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由題設可得又，，故，即，即所以是首項為2，公差為3的等差數列，故.（2）設的前項和為，則，因為，所以.§8.3等比數列1.已知等比數列{an}的各項均為正數，公比為q，且a1>1，a6＋a7>a6a7＋1>2，記{an}的前n項積為Tn，則下列選項錯誤的是()A.0<q<1 B.a6>1C.T12>1 D.T13>1答案D解析因為等比數列{an}的各項均為正數，公比為q，且a1>1，a6＋a7>a6a7＋1>2，所以(a6－1)(a7－1)<0，得a6<1，a7>1或a6>1，a7<1，當a6<1，a7>1時，q>1，但由a1>1得an>1，與a6<1矛盾，因此舍去.當a6>1，a7<1時，0<q<1，滿足題意.所以0<q<1.因為a6a7＋1>2，所以a6a7>1，所以T12＝a1·a2·…·a11·a12＝(a6a7)6>1，T13＝aeq\o\al(13,7)<1.故選D.2.記Sn為等比數列{an}的前n項和．若a5－a3＝12，a6－a4＝24，則eq\f(Sn,an)等于()A．2n－1 B．2－21－nC．2－2n－1 D．21－n－1答案B解析方法一設等比數列{an}的公比為q，則q＝eq\f(a6－a4,a5－a3)＝eq\f(24,12)＝2.由a5－a3＝a1q4－a1q2＝12a1＝12，得a1＝1.所以an＝a1qn－1＝2n－1，Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝2n－1，所以eq\f(Sn,an)＝eq\f(2n－1,2n－1)＝2－21－n.方法二設等比數列{an}的公比為q，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3q2－a3＝12，①,a4q2－a4＝24，②))eq\f(②,①)得eq\f(a4,a3)＝q＝2.將q＝2代入①，解得a3＝4.所以a1＝eq\f(a3,q2)＝1，下同方法一．故選B.3．已知等比數列{an}的前n項和為Sn，若a2＝eq\f(2,3)，eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋eq\f(1,a3)＝eq\f(13,2)，則S3等于()A.eq\f(26,9)B.eq\f(13,3)C.eq\f(13,9)D．6答案A解析設等比數列{an}的首項為a1，公比為q，因為a2＝eq\f(2,3)，且eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋eq\f(1,a3)＝eq\f(13,2)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q＝\f(2,3)，,\f(1,a1)＋\f(1,a1q)＋\f(1,a1q2)＝\f(13,2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(2,9)，,q＝3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝2，,q＝\f(1,3)，))當a1＝eq\f(2,9)，q＝3時，S3＝eq\f(\f(2,9)1－33,1－3)＝eq\f(26,9)；當a1＝2，q＝eq\f(1,3)時，S3＝eq\f(2\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))3)),1－\f(1,3))＝eq\f(26,9)，所以S3＝eq\f(26,9).故選A.4.設是等比數列，且，，則（）A．12 B．24 C．30 D．32【答案】D【解析】設等比數列的公比為，則，，因此，.故選D.5.設單調遞增等比數列{an}的前n項和為Sn，若a2＋a4＝10，a2a3a4＝64，則正確的是()A．Sn＝2n－1－1 B．an＝2nC．Sn＋1－Sn＝2n＋1 D．Sn＝2n－1答案D解析設等比數列{an}的公比為q，∵a2a3a4＝64，∴aeq\o\al(3,3)＝64，解得a3＝4.又a2＋a4＝10，∴eq\f(4,q)＋4q＝10，即2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或eq\f(1,2).又等比數列{an}單調遞增，∴q＝2，a1＝1，∴an＝2n－1，∴Sn＝eq\f(1－2n,1－2)＝2n－1，Sn＋1－Sn＝2n＋1－1－(2n－1)＝2n.故選D.6.公比不為1的等比數列滿足，若，則的值為（）A．8 B．9C．10 D．11【答案】C【解析】在等比數列中，由可得，又，.故選C.7．已知等比數列的公比為2，且，，成等差數列，則下列命題正確的是（）A．B．，，成等差數列C．不是等比數列D．，，，，，成等差數列【答案】B【解析】由，，成等差數列，可得，，，所以不正確；，，，，成等差數列，所以正確；，所以，所以是等比數列，所以錯誤；若，，即，，成等差數列，不妨設，則，，即，顯然左邊奇數，右邊偶數，不相等，錯誤；故選B．8．（2020·江蘇無錫高二開學考試）如圖所示，正方形一邊上連接著等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再連接正方形……，如此繼續下去，得到一個樹形圖形，稱其為“勾股樹”.若某勾股樹共有1023個正方形，且最小的正方形的邊長為，則最大的正方形的邊長為（）A． B．1 C． D．2【答案】C【解析】將相同的正方形看作同一“層”，自下而上每一“層”正方形的個數成等比數列，且公比為，設一共有“層”，所以，所以，又因為自上而下每一“層”正方形的邊長也成等比數列，且公比為，所以最大正方形的邊長為，故選C.9.（2021·全國高三模擬）九連環是一個古老的智力游戲，在多部中國古典數學典籍里都有對其解法的探究，在《九章算術》中古人對其解法的研究記載如下：記解n連環需要的步驟為，，研究發現{an+1}是等比數列，已知，則（）A．127 B．128 C．255 D．256【答案】C【解析】由題知，，，又{an+1}是等比數列，則，，{an+1}是以4為首項，2為公比的等比數列，即，，.故選C.10.（2021年全國新高考Ⅰ卷）某校學生在研究民間剪紙藝術時，發現剪紙時經常會沿紙的某條對稱軸把紙對折，規格為的長方形紙，對折1次共可以得到，兩種規格的圖形，它們的面積之和，對折2次共可以得到，，三種規格的圖形，它們的面積之和，以此類推，則對折4次共可以得到不同規格圖形的種數為______；如果對折次，那么______.【答案】5【解析】（1）由對折2次共可以得到，，三種規格的圖形，所以對著三次的結果有：，共4種不同規格（單位；故對折4次可得到如下規格：，，，，，共5種不同規格；（2）由于每次對著后的圖形的面積都減小為原來的一半，故各次對著后的圖形，不論規格如何，其面積成公比為的等比數列，首項為120,第n次對折后的圖形面積為，對于第n此對折后的圖形的規格形狀種數，根據（1）的過程和結論，猜想為種（證明從略），故得猜想，設，則，兩式作差得：，因此，.故答案為：；.11．（2021·湖北高三月考）已知各項均為正數的等比數列的前3項和為7，且，則__．【答案】32【解析】根據題意，設等比數列的公比為q，若，即，則有，變形可得，又由，解得，又由，則，則，故，故答案為：32．12.(2021·湖北聯考)已知數列{an}是等比數列，a2＝1，a5＝－eq\f(1,8)，若Sk＝－eq\f(11,8)，則k＝.解析設等比數列{an}的公比為q，因為a2＝1，a5＝－eq\f(1,8)，所以q3＝－eq\f(1,8)，解得q＝－eq\f(1,2)，所以a1＝－2，由Sk＝eq\f(－2\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))k)),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))))＝－eq\f(11,8)，解得k＝5.13.在等比數列中，若，則的值是____【答案】【解析】在等比數列中，因為，所以，所以，可得，所以，故答案為：.14.(2021·新高考8省聯考)已知各項都為正數的數列{an}滿足an＋2＝2an＋1＋3an.(1)證明：數列{an＋an＋1}為等比數列；(2)若a1＝eq\f(1,2)，a2＝eq\f(3,2)，求{an}的通項公式.(1)證明an＋2＝2an＋1＋3an，所以an＋2＋an＋1＝3(an＋1＋an)，因為{an}中各項均為正數，所以an＋1＋an>0，所以eq\f(an＋2＋an＋1,an＋1＋an)＝3，所以數列{an＋an＋1}是公比為3的等比數列.(2)解由題意知an＋an＋1＝(a1＋a2)3n－1＝2×3n－1，因為an＋2＝2an＋1＋3an，所以an＋2－3an＋1＝－(an＋1－3an)，a2＝3a1，所以a2－3a1＝0，所以an＋1－3an＝0，故an＋1＝3an，所以4an＝2×3n－1，an＝eq\f(1,2)×3n－1.15.(2020·石家莊質量評估)已知數列{an}中，a1＝1，an·an＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n).(1)證明：數列{a2n－1}和數列{a2n}都是等比數列；(2)若數列{an}的前2n項和為T2n，bn＝(3－T2n)n(n＋1)，求數列{bn}的最大項.解析：(1)證明由anan＋1＝eq\f(1,2n)，得an＋1an＋2＝eq\f(1,2n＋1).兩式相除，得eq\f(an＋2,an)＝eq\f(1,2)因為a1＝1，a1·a2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(1)，所以a2＝eq\f(1,2)，所以{a2n－1}是以a1＝1為首項，eq\f(1,2)為公比的等比數列，{a2n}是以a2＝eq\f(1,2)為首項，eq\f(1,2)為公比的等比數列.(2)因為T2n＝eq\f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(n),1－\f(1,2))＋eq\f(\f(1,2)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(n))),1－\f(1,2))＝3－eq\f(3,2n)，所以bn＝(3－T2n)n(n＋1)＝eq\f(3n（n＋1）,2n).則eq\f(bn＋1,bn)＝eq\f(3（n＋1）（n＋2）,2n＋1)·eq\f(2n,3n（n＋1）)＝eq\f(n＋2,2n).當n<2時，eq\f(n＋2,2n)>1，即b2>b1＝3；當n＝2時，eq\f(n＋2,2n)＝1，即b2＝b3＝eq\f(9,2)；當n>2時，eq\f(n＋2,2n)<1，即bn＋1<bn.故數列{bn}的最大項是b2或b3，為eq\f(9,2).16.（2019·北京高三期中）已知數列為各項均為正數的等比數列，為其前項和，，.求數列的通項公式；若，求的最大值.【解析】在等比數列中，設公比為.因為所以所以.即.則或.因為，所以，所以.因為，所以.所以數列的通項公式在等比數列中，因為所以因為，所以.所以.所以.因為.所以.即的最大值為.17．已知等比數列的前項和是，緊接著后面的項的和是，再緊接著后面的項的和是，求的值.【解析】設數列的公比為，前項和為.由題意得，，.若，則，，，①.②由②①得：，解得，或.當時，，則，；當時，，則，此時，.綜上所述：或.18.設等比數列{an}滿足，．（1）求{an}的通項公式；（2）記為數列{log3an}的前n項和．若，求m．【解析】（1）設等比數列的公比為，根據題意，有，解得，所以；（2）令，所以，根據，可得，整理得，因為，所以.19．已知數列的前n項和為，，且.（1）求數列的通項；（2）設數列滿足，記的前n項和為，若對任意恒成立，求實數的取值范圍.【解析】（1）當時，，，當時，由①，得②，①②得，，又是首項為，公比為的等比數列，；（2）由，得，所以，，兩式相減得，所以，由得恒成立，即恒成立，時不等式恒成立；時，，得；時，，得；所以.§8.4數列求和1.（2021·江西銅鼓高三月考）已知正項數列的前n項和為，且，則不超過的最大整數是_____________．【答案】88【解析】，時，，，解得．時，，代入可得：，化為：，可得數列為等差數列，首項為1，公差為1，，解得．，時，右邊成立）即，所以，∴所以，所以不超過的最大整數是88.2．記Sn為數列{an}的前n項和，Sn＝1－an，記Tn＝a1a3＋a3a5＋…＋a2n－1a2n＋1，則an＝________，Tn＝________.【答案】;【解析】由題意，有a1＝1－a1，故a1＝.當n≥2時，由，得an＝－an＋an－1，則＝，∴{an}是首項、公比均為的等比數列，故數列{an}的通項公式為an＝.由等比數列的性質得a1a3＝，a3a5＝，…，a2n－1a2n＋1＝，∴數列{a2n－1a2n＋1}是首項、公比均為的等比數列，則Tn＝＋＋…＋＝＝.故答案為：;.3.設Sn為等差數列{an}的前n項和．已知a3＝5，S7＝49．（1）求數列{an}的通項公式；（2）設，求數列{bn}的前n項和Tn．【解析】（1）設等差數列{an}的公差為d，首項為a1由題意可得，解得，所以{an}的通項公式為an＝2n﹣1．（2）由（1）得，從而．4.（2021·安徽高三開學考試（理））已知數列的前項和為，首項為，且．（1）證明：為等差數列；（2）若的首項和公差均為1，求數列的前項和．【解析】（1）由題意得（）兩式相減得，從而再兩式相減得又∴，于是為等差數列．（2）由（1）可得為等差數列，又，∴．于是則．5.（2021·山東濟南高三月考）數列的前項和為，.（1）求，；（2）設，數列的前項和為.證明：.【解析】（1）兩式相減得：令時，滿足上式數列是為首項，為公比的等比數列.（2）證明：由（1）得：，又為遞增數列6．（2021·合肥高三模擬）在數列中，，.（1）求的通項公式；（2）若，求數列的前項和.【解析】（1），，是以2為公差，為首項的等差數列，，.（2）由（1）知：，兩邊乘以3得：，兩式相減得：7.已知數列的前項和為，且滿足，（）．（1）求的值，并求數列的通項公式；（2）設數列的前項和為，求（）．【解析】（1）由，，令得，令得，即.由………①則當時，……②①②可得，得，得，故是首項為，公比為的等比數列，則，整理得，當時，，也符合公式，故（）,即數列的通項公式.(2),故，即.8．已知點是函數圖象上一點，等比數列的前項和為.數列的首項為，前項和滿足.（1）求數列的通項公式；（2）若數列的前項和為，問使的最小正整數是多少？【解析】（1）.，，則等比數列的前項和為，，由為等比數列，得公比，則，；（2）由，得，當時，，則是首項為1，公差為1的等差數列，，，則，作差可得.當時，滿足上式由，得，則最小正整數為.9.（2021·廣州高三月考）已知數列，，，，，為數列的前n項和，為數列的前n項和．（1）求數列的通項公式；（2）求數列的前n項和；（3）求證：．【解析】（1）由題設，當時，，又滿足上式，所以（2）由（1），，∴.（3）由，則，又，則，綜上，得證.10.（2021·重慶高三開學考試）在數列中，已知，()．（1）證明：數列為等比數列；（2）記，數列的前n項和為，求使得的整數n的最小值．【解析】（1）證明：由，得，從而，∴，又，故數列為等比數列；（2）由（1）得，故，∴，，令，則，解得，∵，∴．故使得的整數n的最小值為10.11.（2021·安徽蚌埠高三開學考試）已知數列的前n項和為，滿足．（1）求數列的通項公式；（2）記，數列的前n項和為，求證：為定值．【解析】（1）當時，，解得．當時，，從而，化簡得，所以數列是首項為2，公比為2的等比數列，則，即（2），所以，從而，兩式相減，得，即，所以，而，所以為定值．12.（2021·河北高三月考）已知數列，滿足，且是公差為1的等差數列，是公比為2的等比數列.（1）求，的通項公式；（2）求的前n項和.【解析】（1）因為是公差為1的等差數列，，所以.又是公比為2的等比數列，，所以，故.（2）因為，所以為遞增數列，又，，，故當時，恒有，故記的前n項和為，則.當時，；當時，.綜上，.單元檢測八1.已知一個有限項的等差數列{an}，前4項的和是40，最后4項的和是80，所有項的和是210，則此數列的項數為（）A．12 B．14C．16 D．18【答案】B【解析】由題意知a1＋a2＋a3＋a4＝40，an＋an－1＋an－2＋an－3＝80，兩式相加得a1＋an＝30.又因為，所以n＝14.故選：B2.（2021·廣東深圳高三月考）已知數列的通項公式，則數列前項和取最小值時，的值是（）A．6 B．7 C．8 D．5【答案】A【解析】令，則n=6時取最小值.故選A.3．已知等差數列滿足，，若，則m=（）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】D【解析】設的公差為d，由及，得，解得，所以，因為，所以，解得．4.（2021·浙江）已知數列的前項和為，若不等式．對任意的恒成立，則稱數列為“和保值數列”．若是公差為的等差數列，且為“和保值數列”，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】：由為“和保值數列”可得對任意的恒成立，即對任意的恒成立，即對任意的恒成立，當時，可得；當時，不等式恒成立，所以，即，故．則．即，故，故的取值范圍為．故選C.4．高斯函數，也稱為取整函數，即表示不超過x的最大整數.如:已知正項數列的前項和為，且滿足，則（）A．3 B．14 C．15 D．16【答案】B【解析】，得，整理為，當時，，且，解得：，所以數列是以1為首項，1為公差的等差數列，則，所以，，當時，，所以，所以，那么.故選B.5．（2021·貴州高三期末）對于數列，定義為數列的“美值”，現在已知某數列的“美值”，記數列的前項和為，若對任意的恒成立，則實數的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由可得，當時，當時，又因為，兩式相減可得：，所以，顯然滿足時，，所以，所以，可得數列是等差數列，由對任意的恒成立，可得：，，即可求解，即且，解得：，所以實數的取值范圍是.故選C.6.某病毒研究所為了更好地研究“新冠”病毒，計劃改建十個實驗室，每個實驗室的改建費用分為裝修費和設備費，每個實驗室的裝修費都一樣，設備費從第一到第十實驗室依次構成等比數列，已知第五實驗室比第二實驗室的改建費用高42萬元，第七實驗室比第四實驗室的改建費用高