Chapter3運(yùn)輸規(guī)劃

(TransportationProblem)運(yùn)輸規(guī)劃問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型表上作業(yè)法運(yùn)輸問(wèn)題的應(yīng)用本章主要內(nèi)容：運(yùn)輸規(guī)劃問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型例3.1某公司從兩個(gè)產(chǎn)地A1、A2將物品運(yùn)往三個(gè)銷地B1,B2,B3，各產(chǎn)地的產(chǎn)量、各銷地的銷量和各產(chǎn)地運(yùn)往各銷地每件物品的運(yùn)費(fèi)如下表所示，問(wèn)：應(yīng)如何調(diào)運(yùn)可使總運(yùn)輸費(fèi)用最小？B1B2B3產(chǎn)量A1646200A2655300銷量150150200運(yùn)輸規(guī)劃問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型解：產(chǎn)銷平衡問(wèn)題：總產(chǎn)量=總銷量＝500

設(shè)xij

為從產(chǎn)地Ai運(yùn)往銷地Bj的運(yùn)輸量，得到下列運(yùn)輸量表：B1B2B3產(chǎn)量A1x11x12x13200A2x21x22x23300銷量150150200MinC=6x11+4x12+6x13+6x21+5x22+5x23s.t.x11+x12+x13=200

x21+x22+x23=300

x11+x21=150

x12+x22=150

x13+x23=200xij≥0(i=1、2；j=1、2、3）運(yùn)輸規(guī)劃問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型運(yùn)輸問(wèn)題的一般形式：產(chǎn)銷平衡A1、A2、…、Am

表示某物資的m個(gè)產(chǎn)地；B1、B2、…、Bn

表示某物質(zhì)的n個(gè)銷地；ai

表示產(chǎn)地Ai的產(chǎn)量；bj

表示銷地Bj

的銷量；cij表示把物資從產(chǎn)地Ai運(yùn)往銷地Bj的單位運(yùn)價(jià)。設(shè)xij為從產(chǎn)地Ai運(yùn)往銷地Bj的運(yùn)輸量，得到下列一般運(yùn)輸量問(wèn)題的模型：運(yùn)輸規(guī)劃問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型變化：

1）有時(shí)目標(biāo)函數(shù)求最大。如求利潤(rùn)最大或營(yíng)業(yè)額最大等；

2）當(dāng)某些運(yùn)輸線路上的能力有限制時(shí)，在模型中直接加入約束條件（等式或不等式約束)；

3）產(chǎn)銷不平衡時(shí)，可加入假想的產(chǎn)地（銷大于產(chǎn)時(shí)）或銷地（產(chǎn)大于銷時(shí)）。定理:

設(shè)有m個(gè)產(chǎn)地n個(gè)銷地且產(chǎn)銷平衡的運(yùn)輸問(wèn)題，則基變量數(shù)為m+n-1。表上作業(yè)法表上作業(yè)法是一種求解運(yùn)輸問(wèn)題的特殊方法，其實(shí)質(zhì)是單純形法。步驟描述方法第一步求初始基行可行解（初始調(diào)運(yùn)方案）最小元素法、元素差額法、第二步求檢驗(yàn)數(shù)并判斷是否得到最優(yōu)解當(dāng)非基變量的檢驗(yàn)數(shù)σij全都非負(fù)時(shí)得到最優(yōu)解，若存在檢驗(yàn)數(shù)σij<0，說(shuō)明還沒(méi)有達(dá)到最優(yōu)，轉(zhuǎn)第三步。閉回路法和位勢(shì)法第三步調(diào)整運(yùn)量，即換基，選一個(gè)變量出基，對(duì)原運(yùn)量進(jìn)行調(diào)整得到新的基可行解，轉(zhuǎn)入第二步表上作業(yè)法例3.2某運(yùn)輸資料如下表所示：?jiǎn)挝讳N地運(yùn)價(jià)產(chǎn)地產(chǎn)量311310719284741059銷量3656問(wèn)：應(yīng)如何調(diào)運(yùn)可使總運(yùn)輸費(fèi)用最小？表上作業(yè)法解：第1步求初始方案方法1：最小元素法基本思想是就近供應(yīng)，即從運(yùn)價(jià)最小的地方開(kāi)始供應(yīng)（調(diào)運(yùn)），然后次小，直到最后供完為止。B1B2B3B4產(chǎn)量A17A2

4A39銷量3656311310192741058341633表上作業(yè)法總的運(yùn)輸費(fèi)＝(3×1)+(6×4)+(4×3)+(1×2)+(3×10)+(3×5)=86元

元素差額法對(duì)最小元素法進(jìn)行了改進(jìn)，考慮到產(chǎn)地到銷地的最小運(yùn)價(jià)和次小運(yùn)價(jià)之間的差額，如果差額很大，就選最小運(yùn)價(jià)先調(diào)運(yùn)，否則會(huì)增加總運(yùn)費(fèi)。例如下面兩種運(yùn)輸方案。85102120151515510總運(yùn)費(fèi)是z=10×8+5×2+15×1=105最小元素法：表上作業(yè)法85102120151551510總運(yùn)費(fèi)z=10×5+15×2+5×1=85后一種方案考慮到C11與C21之間的差額是8－2=6，如果不先調(diào)運(yùn)x21，到后來(lái)就有可能x11≠0，這樣會(huì)使總運(yùn)費(fèi)增加較大，從而先調(diào)運(yùn)x21，再是x22，其次是x12用元素差額法求得的基本可行解更接近最優(yōu)解，所以也稱為近似方案。表上作業(yè)法方法2：Vogel法1）從運(yùn)價(jià)表中分別計(jì)算出各行和各列的最小運(yùn)費(fèi)和次最小運(yùn)費(fèi)的差額，并填入該表的最右列和最下行。B1B2B3B4產(chǎn)量行差額A170A2

41A391銷量3656列差額2513311310192741058表上作業(yè)法2）再?gòu)牟钪底畲蟮男谢蛄兄姓页鲎钚∵\(yùn)價(jià)確定供需關(guān)系和供需數(shù)量。當(dāng)產(chǎn)地或銷地中有一方數(shù)量供應(yīng)完畢或得到滿足時(shí)，劃去運(yùn)價(jià)表中對(duì)應(yīng)的行或列。重復(fù)1)和2)，直到找出初始解為至。B1B2B3B4產(chǎn)量行差額A170A2

41A3

91銷量3656列差額25133113101927410586表上作業(yè)法單位銷地運(yùn)價(jià)產(chǎn)地產(chǎn)量行差額311310719284741059銷量3656列差額01135216××表上作業(yè)法單位銷地運(yùn)價(jià)產(chǎn)地產(chǎn)量行差額311310719284741059銷量3656列差額0231216×××3×表上作業(yè)法單位銷地運(yùn)價(jià)產(chǎn)地產(chǎn)量行差額311310719284741059銷量3656列差額021216×××3×3×表上作業(yè)法單位銷地運(yùn)價(jià)產(chǎn)地產(chǎn)量行差額311310719284741059銷量3656列差額6×××3×3×125該方案的總運(yùn)費(fèi):(2×3)＋(3×5)+(1×1)＋(3×8)＋(4×6)+(3×5)＝85元表上作業(yè)法第2步最優(yōu)解的判別（檢驗(yàn)數(shù)的求法）

求出一組基可行解后，判斷是否為最優(yōu)解，仍然是用檢驗(yàn)數(shù)來(lái)判斷，記xij的檢驗(yàn)數(shù)為λij由第一章知，求最小值的運(yùn)輸問(wèn)題的最優(yōu)判別準(zhǔn)則是：所有非基變量的檢驗(yàn)數(shù)都非負(fù)，則運(yùn)輸方案最優(yōu)求檢驗(yàn)數(shù)的方法有兩種：閉回路法位勢(shì)法（▲）表上作業(yè)法閉回路的概念為一個(gè)閉回路，集合中的變量稱為回路的頂點(diǎn)，相鄰兩個(gè)變量的連線為閉回路的邊。如下表表上作業(yè)法例下表中閉回路的變量集合是{x11,x12,x42,x43,x23,x25,x35,x31}共有8個(gè)頂點(diǎn)，這8個(gè)頂點(diǎn)間用水平或垂直線段連接起來(lái)，組成一條封閉的回路。B1B2B3B4B5A1X11X12A2X23X25A3X31X35A4X42X43

一條回路中的頂點(diǎn)數(shù)一定是偶數(shù)，回路遇到頂點(diǎn)必須轉(zhuǎn)90度與另一頂點(diǎn)連接，表3－3中的變量x32及x33不是閉回路的頂點(diǎn)，只是連線的交點(diǎn)。表上作業(yè)法閉回路B1B2B3A1X11X12A2A3X32X33A4X41X43例如變量組不能構(gòu)成一條閉回路，但A中包含有閉回路

變量組變量數(shù)是奇數(shù)，顯然不是閉回路，也不含有閉回路；表上作業(yè)法用位勢(shì)法對(duì)初始方案進(jìn)行最優(yōu)性檢驗(yàn)：1）由ij=Cij-（Ui+Vj）計(jì)算位勢(shì)Ui

，Vj

，因?qū)兞慷杂衖j=0，即Cij-（Ui+Vj）=0，令U1=02）再由ij=Cij-（Ui+Vj）計(jì)算非基變量的檢驗(yàn)數(shù)ijB1B2B3B4UiA1A2A3Vj3113101927410584363130-1-531029（1）（2）（1）（-1）（10）（12）當(dāng)存在非基變量的檢驗(yàn)數(shù)kl≥0，說(shuō)明現(xiàn)行方案為最優(yōu)方案，否則目標(biāo)成本還可以進(jìn)一步減小。表上作業(yè)法當(dāng)存在非基變量的檢驗(yàn)數(shù)kl<0且kl=min{ij}時(shí)，令Xkl進(jìn)基。從表中知可選X24進(jìn)基。第3步確定換入基的變量第4步確定換出基的變量以進(jìn)基變量xik為起點(diǎn)的閉回路中，標(biāo)有負(fù)號(hào)的最小運(yùn)量作為調(diào)整量θ，θ對(duì)應(yīng)的基變量為出基變量，并打上“×”以示換出作為非基變量。表上作業(yè)法B1B2B3B4UiA1A2A3Vj311310192741058436313(＋)(－)(＋)(－)調(diào)整步驟為：在進(jìn)基變量的閉回路中標(biāo)有正號(hào)的變量加上調(diào)整量θ，標(biāo)有負(fù)號(hào)的變量減去調(diào)整量θ，其余變量不變，得到一組新的基可行解。然后求所有非基變量的檢驗(yàn)數(shù)重新檢驗(yàn)。125表上作業(yè)法當(dāng)所有非基變量的檢驗(yàn)數(shù)均非負(fù)時(shí)，則當(dāng)前調(diào)運(yùn)方案即為最優(yōu)方案，如表此時(shí)最小總運(yùn)費(fèi)：Z=(1×3)＋(4×6)＋(3×5)＋(2×10)＋(1×8)＋(3×5)＝85元B1B2B3B4UiA1A2A3Vj3113101927410585363120-2-531039（0）（2）（2）（1）（12）（9）表上作業(yè)法表上作業(yè)法的計(jì)算步驟：分析實(shí)際問(wèn)題列出產(chǎn)銷平衡表及單位運(yùn)價(jià)表確定初始調(diào)運(yùn)方案（最小元素法或Vogel法）求檢驗(yàn)數(shù)（位勢(shì)法）所有檢驗(yàn)數(shù)≥0找出絕對(duì)值最大的負(fù)檢驗(yàn)數(shù)，用閉合回路調(diào)整，得到新的調(diào)運(yùn)方案得到最優(yōu)方案，算出總運(yùn)價(jià)表上作業(yè)法表上作業(yè)法計(jì)算中的問(wèn)題：（1）若運(yùn)輸問(wèn)題的某一基可行解有多個(gè)非基變量的檢驗(yàn)數(shù)為負(fù)，在繼續(xù)迭代時(shí)，取它們中任一變量為換入變量均可使目標(biāo)函數(shù)值得到改善，但通常取σij<0中最小者對(duì)應(yīng)的變量為換入變量。（2）無(wú)窮多最優(yōu)解 產(chǎn)銷平衡的運(yùn)輸問(wèn)題必定存最優(yōu)解。如果非基變量的σij＝0，則該問(wèn)題有無(wú)窮多最優(yōu)解。表上作業(yè)法⑵退化解：

※表格中一般要有(m+n-1)個(gè)數(shù)字格。但有時(shí)在分配運(yùn)量時(shí)則需要同時(shí)劃去一行和一列，這時(shí)需要補(bǔ)一個(gè)0，以保證有(m+n-1)個(gè)數(shù)字格作為基變量。一般可在劃去的行和列的任意空格處加一個(gè)0即可。

※利用進(jìn)基變量的閉回路對(duì)解進(jìn)行調(diào)整時(shí)，標(biāo)有負(fù)號(hào)的最小運(yùn)量（超過(guò)2個(gè)最小值）作為調(diào)整量θ，選擇任意一個(gè)最小運(yùn)量對(duì)應(yīng)的基變量作為出基變量，并打上“×”以示作為非基變量。表上作業(yè)法

銷地產(chǎn)地B1B2B3B4產(chǎn)量A116A210A322銷量81412141241148310295116(0)(2)(9)(2)(1)(12)81242814如下例中σ11檢驗(yàn)數(shù)是0，經(jīng)過(guò)調(diào)整，可得到另一個(gè)最優(yōu)解。表上作業(yè)法

銷地產(chǎn)地B1B2B3B4產(chǎn)量A17A24A39銷量36562011443137782106×3×416×06×××在x12、x22、x33、x34中任選一個(gè)變量作為基變量，例如選x34例：用最小元素法求初始可行解運(yùn)輸問(wèn)題的應(yīng)用

求極大值問(wèn)題目標(biāo)函數(shù)求利潤(rùn)最大或營(yíng)業(yè)額最大等問(wèn)題。運(yùn)輸問(wèn)題的應(yīng)用求解方法： 將極大化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為極小化問(wèn)題。設(shè)極大化問(wèn)題的運(yùn)價(jià)表為C，用一個(gè)較大的數(shù)M（M≥max{cij}）去減每一個(gè)cij得到矩陣C′，其中C′=（M－cij）≥0,將C′作為極小化問(wèn)題的運(yùn)價(jià)表，用表上用業(yè)法求出最優(yōu)解。運(yùn)輸問(wèn)題的應(yīng)用例3.3下列矩陣C是Ai（I=1，2，3）到Bj的噸公里利潤(rùn),運(yùn)輸部門如何安排運(yùn)輸方案使總利潤(rùn)最大.

銷地產(chǎn)地B1B2B3產(chǎn)量A12589A2910710A365412銷量8149運(yùn)輸問(wèn)題的應(yīng)用

銷地產(chǎn)地B1B2B3產(chǎn)量A12589A2910710A365412銷量8149得到新的最小化運(yùn)輸問(wèn)題，用表上作業(yè)法求解即可。運(yùn)輸問(wèn)題的應(yīng)用

產(chǎn)銷不平衡的運(yùn)輸問(wèn)題 當(dāng)總產(chǎn)量與總銷量不相等時(shí),稱為不平衡運(yùn)輸問(wèn)題.這類運(yùn)輸問(wèn)題在實(shí)際中常常碰到,它的求解方法是將不平衡問(wèn)題化為平衡問(wèn)題再按平衡問(wèn)題求解。

當(dāng)產(chǎn)大于銷時(shí)，即：數(shù)學(xué)模型為：運(yùn)輸問(wèn)題的應(yīng)用由于總產(chǎn)量大于總銷量，必有部分產(chǎn)地的產(chǎn)量不能全部運(yùn)送完，必須就地庫(kù)存，即每個(gè)產(chǎn)地設(shè)一個(gè)倉(cāng)庫(kù)，假設(shè)該倉(cāng)庫(kù)為一個(gè)虛擬銷地Bn+1，bn+1作為一個(gè)虛設(shè)銷地Bn+1的銷量(即庫(kù)存量)。各產(chǎn)地Ai到Bn+1的運(yùn)價(jià)為零，即Ci,n+1=0,（i=1，…，m）。則平衡問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為：具體求解時(shí),只在運(yùn)價(jià)表右端增加一列Bn+1，運(yùn)價(jià)為零,銷量為bn+1即可運(yùn)輸問(wèn)題的應(yīng)用

當(dāng)銷大于產(chǎn)時(shí)，即：數(shù)學(xué)模型為：由于總銷量大于總產(chǎn)量,故一定有些需求地不完全滿足,這時(shí)虛設(shè)一個(gè)產(chǎn)地Am+1，產(chǎn)量為：運(yùn)輸問(wèn)題的應(yīng)用銷大于產(chǎn)化為平衡問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為：具體計(jì)算時(shí)，在運(yùn)價(jià)表的下方增加一行Am+1，運(yùn)價(jià)為零。產(chǎn)量為am+1即可。運(yùn)輸問(wèn)題的應(yīng)用例3.4求下列表中極小化運(yùn)輸問(wèn)題的最優(yōu)解。B1B2B3B4aiA1592360A2--47840A3364230A448101150bj20603545180160因?yàn)橛校哼\(yùn)輸問(wèn)題的應(yīng)用所以是一個(gè)產(chǎn)大于銷的運(yùn)輸問(wèn)題。表中A2不可達(dá)B1，用一個(gè)很大的正數(shù)M表示運(yùn)價(jià)C21。虛設(shè)一個(gè)銷量為b5=180-160=20，Ci5=0，i=1,2,3,4，表的右邊增添一列，得到新的運(yùn)價(jià)表。B1B2B3B4B5aiA15923060A2M478040A33642030A4481011050bj2060354520180運(yùn)輸問(wèn)題的應(yīng)用下表為計(jì)算結(jié)果。可看出：產(chǎn)地A4還有20個(gè)單位沒(méi)有運(yùn)出。B1B2B3B4B5AiA1352560A24040A3102030A420102050Bj2060354520180運(yùn)輸問(wèn)題的應(yīng)用3.生產(chǎn)與儲(chǔ)存問(wèn)題例3.5某廠按合同規(guī)定須于當(dāng)年每個(gè)季度末分別提供10、15、25、20臺(tái)同一規(guī)格的柴油機(jī)。已知該廠各季度的生產(chǎn)能力及生產(chǎn)每臺(tái)柴油機(jī)的成本如右表。如果生產(chǎn)出來(lái)的柴油機(jī)當(dāng)季不交貨，每臺(tái)每積壓一個(gè)季度需儲(chǔ)存、維護(hù)等費(fèi)用0.15萬(wàn)元。試求在完成合同的情況下，使該廠全年生產(chǎn)總費(fèi)用為最小的決策方案。季度生產(chǎn)能力/臺(tái)單位成本/萬(wàn)元Ⅰ2510.8Ⅱ3511.1Ⅲ3011Ⅳ1011.3運(yùn)輸問(wèn)題的應(yīng)用解：設(shè)xij為第i季度生產(chǎn)的第j季度交貨的柴油機(jī)數(shù)目，那么應(yīng)滿足：交貨：

x11=10生產(chǎn)：x11+x12+x13+x14≤25

x12+x22=15x22+x23+x24≤35x13+x23+x33=25x33+x34≤30x14+x24+x34+x44=20x44≤10把第i季度生產(chǎn)的柴油機(jī)數(shù)目看作第i個(gè)生產(chǎn)廠的產(chǎn)量；把第j季度交貨的柴油機(jī)數(shù)目看作第j個(gè)銷售點(diǎn)的銷量；設(shè)cij是第i季度生產(chǎn)的第j季度交貨的每臺(tái)柴油機(jī)的實(shí)際成本，應(yīng)該等于該季度單位成本加上儲(chǔ)存、維護(hù)等費(fèi)用。可構(gòu)造下列產(chǎn)銷平衡問(wèn)題：運(yùn)輸問(wèn)題的應(yīng)用jiⅠⅡⅢⅣ產(chǎn)量Ⅰ10.810.9511.111.2525ⅡM11.1011.2511.4035ⅢMM11.0011.1530ⅣMMM11.3010銷量1015252010070由于產(chǎn)大于銷，加上一個(gè)虛擬的銷地D，化為平衡問(wèn)題，即可應(yīng)用表上作業(yè)法求解。運(yùn)輸問(wèn)題的應(yīng)用該問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型：Minf=10.8x11+10.95x12+11.1x13+11.25x14+11.1x22+11.25x23 +11.4x24+11.0x33+11.15x34+11.3x44

jiⅠⅡⅢⅣD產(chǎn)量Ⅰ10.810.9511.111.25025ⅡM11.1011.2511.40035ⅢMM11.0011.15030ⅣMMM11.30010銷量1015252030100100運(yùn)輸問(wèn)題的應(yīng)用jiⅠⅡⅢⅣD產(chǎn)量Ⅰ1015025Ⅱ053035Ⅲ25530Ⅳ1010銷量1015252030100100最優(yōu)生產(chǎn)決策如下表，最小費(fèi)用z＝773萬(wàn)元。Chapter4整數(shù)規(guī)劃

(IntegerProgramming)整數(shù)規(guī)劃的特點(diǎn)及應(yīng)用分支定界法分配問(wèn)題與匈牙利法本章主要內(nèi)容：整數(shù)規(guī)劃的特點(diǎn)及應(yīng)用整數(shù)規(guī)劃（簡(jiǎn)稱：IP） 要求一部分或全部決策變量取整數(shù)值的規(guī)劃問(wèn)題稱為整數(shù)規(guī)劃。不考慮整數(shù)條件，由余下的目標(biāo)函數(shù)和約束條件構(gòu)成的規(guī)劃問(wèn)題稱為該整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題的松弛問(wèn)題。若該松弛問(wèn)題是一個(gè)線性規(guī)劃，則稱該整數(shù)規(guī)劃為整數(shù)線性規(guī)劃。整數(shù)線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型的一般形式：整數(shù)規(guī)劃的特點(diǎn)及應(yīng)用整數(shù)線性規(guī)劃問(wèn)題的種類：

純整數(shù)線性規(guī)劃：指全部決策變量都必須取整數(shù)值的整數(shù)線性規(guī)劃。混合整數(shù)線性規(guī)劃：決策變量中有一部分必須取整數(shù)值，另一部分可以不取整數(shù)值的整數(shù)線性規(guī)劃。

0-1型整數(shù)線性規(guī)劃：決策變量只能取值0或1的整數(shù)線性規(guī)劃。整數(shù)規(guī)劃的特點(diǎn)及應(yīng)用整數(shù)規(guī)劃的典型例子例4.1工廠A1和A2生產(chǎn)某種物資。由于該種物資供不應(yīng)求，故需要再建一家工廠。相應(yīng)的建廠方案有A3和A4兩個(gè)。這種物資的需求地有B1,B2,B3,B4四個(gè)。各工廠年生產(chǎn)能力、各地年需求量、各廠至各需求地的單位物資運(yùn)費(fèi)cij，見(jiàn)下表：B1B2B3B4年生產(chǎn)能力A12934400A28357600A37612200A44525200年需求量350400300150工廠A3或A4開(kāi)工后，每年的生產(chǎn)費(fèi)用估計(jì)分別為1200萬(wàn)或1500萬(wàn)元。現(xiàn)要決定應(yīng)該建設(shè)工廠A3還是A4，才能使今后每年的總費(fèi)用最少。整數(shù)規(guī)劃的特點(diǎn)及應(yīng)用解：這是一個(gè)物資運(yùn)輸問(wèn)題，特點(diǎn)是事先不能確定應(yīng)該建A3還是A4中哪一個(gè)，因而不知道新廠投產(chǎn)后的實(shí)際生產(chǎn)物資。為此，引入0-1變量：再設(shè)xij為由Ai運(yùn)往Bj的物資數(shù)量，單位為千噸；z表示總費(fèi)用，單位萬(wàn)元。則該規(guī)劃問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型可以表示為：整數(shù)規(guī)劃的特點(diǎn)及應(yīng)用混合整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題整數(shù)規(guī)劃的特點(diǎn)及應(yīng)用例4.2現(xiàn)有資金總額為B。可供選擇的投資項(xiàng)目有n個(gè)，項(xiàng)目j所需投資額和預(yù)期收益分別為aj和cj（j＝1,2,..,n），此外由于種種原因，有三個(gè)附加條件：若選擇項(xiàng)目1，就必須同時(shí)選擇項(xiàng)目2。反之不一定項(xiàng)目3和4中至少選擇一個(gè)；項(xiàng)目5,6,7中恰好選擇2個(gè)。應(yīng)該怎樣選擇投資項(xiàng)目，才能使總預(yù)期收益最大。整數(shù)規(guī)劃的特點(diǎn)及應(yīng)用解：對(duì)每個(gè)投資項(xiàng)目都有被選擇和不被選擇兩種可能，因此分別用0和1表示，令xj表示第j個(gè)項(xiàng)目的決策選擇，記為：投資問(wèn)題可以表示為：整數(shù)規(guī)劃的特點(diǎn)及應(yīng)用例4.3指派問(wèn)題或分配問(wèn)題。人事部門欲安排四人到四個(gè)不同崗位工作，每個(gè)崗位一個(gè)人。經(jīng)考核四人在不同崗位的成績(jī)（百分制）如表所示，如何安排他們的工作使總成績(jī)最好。

工作人員ABCD甲85927390乙95877895丙82837990丁86908088整數(shù)規(guī)劃的特點(diǎn)及應(yīng)用設(shè)數(shù)學(xué)模型如下：要求每人做一項(xiàng)工作，約束條件為：整數(shù)規(guī)劃的特點(diǎn)及應(yīng)用每項(xiàng)工作只能安排一人，約束條件為：變量約束：整數(shù)規(guī)劃的特點(diǎn)及應(yīng)用整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題解的特征：

整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題的可行解集合是它松弛問(wèn)題可行解集合的一個(gè)子集，任意兩個(gè)可行解的凸組合不一定滿足整數(shù)約束條件，因而不一定仍為可行解。整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題的可行解一定是它的松弛問(wèn)題的可行解（反之不一定），但其最優(yōu)解的目標(biāo)函數(shù)值不會(huì)優(yōu)于后者最優(yōu)解的目標(biāo)函數(shù)值。整數(shù)規(guī)劃的特點(diǎn)及應(yīng)用例4.3設(shè)整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題如下首先不考慮整數(shù)約束，得到線性規(guī)劃問(wèn)題（一般稱為松弛問(wèn)題）。整數(shù)規(guī)劃的特點(diǎn)及應(yīng)用用圖解法求出最優(yōu)解為：x1＝3/2,x2=10/3，且有Z=29/6

現(xiàn)求整數(shù)解(最優(yōu)解):如用舍入取整法可得到4個(gè)點(diǎn)即(1，3),(2，3),(1，4),(2，4)。顯然，它們都不可能是整數(shù)規(guī)劃的最優(yōu)解。x1x2⑴⑵33(3/2,10/3)

按整數(shù)規(guī)劃約束條件，其可行解肯定在線性規(guī)劃問(wèn)題的可行域內(nèi)且為整數(shù)點(diǎn)。故整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題的可行解集是一個(gè)有限集，如右圖所示。其中(2,2),(3,1)點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值最大，即為Z=4。整數(shù)規(guī)劃的特點(diǎn)及應(yīng)用整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題的求解方法：

分支定界法和割平面法匈牙利法（指派問(wèn)題）分支定界法1）求整數(shù)規(guī)劃的松弛問(wèn)題最優(yōu)解； 若松弛問(wèn)題的最優(yōu)解滿足整數(shù)要求，得到整數(shù)規(guī)劃的最優(yōu)解,否則轉(zhuǎn)下一步；2）分支與定界： 任意選一個(gè)非整數(shù)解的變量xi，在松弛問(wèn)題中加上約束：xi≤[xi]和xi≥[xi]+1組成兩個(gè)新的松弛問(wèn)題，稱為分枝。新的松弛問(wèn)題具有特征：當(dāng)原問(wèn)題是求最大值時(shí)，目標(biāo)值是分枝問(wèn)題的上界；當(dāng)原問(wèn)題是求最小值時(shí)，目標(biāo)值是分枝問(wèn)題的下界。 檢查所有分枝的解及目標(biāo)函數(shù)值，若某分枝的解是整數(shù)并且目標(biāo)函數(shù)值大于（max）等于其它分枝的目標(biāo)值，則將其它分枝剪去不再計(jì)算，若還存在非整數(shù)解并且目標(biāo)值大于(max)整數(shù)解的目標(biāo)值，需要繼續(xù)分枝，再檢查，直到得到最優(yōu)解。分支定界法的解題步驟：分支定界法例4.4用分枝定界法求解整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題解：首先去掉整數(shù)約束，變成一般線性規(guī)劃問(wèn)題(原整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題的松馳問(wèn)題)LPIP分支定界法用圖解法求松弛問(wèn)題的最優(yōu)解，如圖所示。x1x2⑴⑵3(18/11,40/11)⑶21123x1＝18/11,x2=40/11Z=－218/11≈(－19.8)即Z也是IP最小值的下限。對(duì)于x1＝18/11≈1.64，取值x1≤1，x1≥2對(duì)于x2=40/11≈3.64，取值x2≤3，x2≥4先將（LP）劃分為（LP1）和（LP2）,取x1≤1,x1≥2分支定界法分支：分別求出（LP1）和（LP2）的最優(yōu)解。分支定界法先求LP1,如圖所示。此時(shí)在B點(diǎn)取得最優(yōu)解。x1＝1,x2=3,Z(1)＝－16找到整數(shù)解，問(wèn)題已探明，此枝停止計(jì)算。x1x2⑴⑵33(18/11,40/11)⑶11BAC同理求LP2,如圖所示。在C

點(diǎn)取得最優(yōu)解。即:x1＝2,x2=10/3,Z(2)＝－56/3≈－18.7∵Z(2)<Z(1)＝－16∴原問(wèn)題有比－16更小的最優(yōu)解，但x2不是整數(shù)，故繼續(xù)分支。分支定界法在IP2中分別再加入條件：x2≤3,x2≥4得下式兩支：分別求出LP21和LP22的最優(yōu)解分支定界法x1x2⑴⑵33(18/11,40/11)⑶11BACD先求LP21,如圖所示。此時(shí)D在點(diǎn)取得最優(yōu)解。即x1＝12/5≈2.4,x2=3,Z(21)＝-87/5≈-17.4<Z(1)=-16但x1＝12/5不是整數(shù)，可繼續(xù)分枝。即3≤x1≤2。求LP22，如圖所示。無(wú)可行解，故不再分枝。分支定界法

在（LP21）的基礎(chǔ)上繼續(xù)分枝。加入條件3≤x1≤2有下式：分別求出（LP211）和（LP212）的最優(yōu)解分支定界法x1x2⑴⑵33(18/11,40/11)⑶11BACDEF先求（LP211）,如圖所示。此時(shí)在E點(diǎn)取得最優(yōu)解。即x1＝2,x2=3,Z(211)＝－17找到整數(shù)解，問(wèn)題已探明，此枝停止計(jì)算。求（LP212），如圖所示。此時(shí)F在點(diǎn)取得最優(yōu)解。即x1＝3,x2=2.5,Z(212)＝－31/2≈－15.5>Z(211)

如對(duì)LP212繼續(xù)分解，其最小值也不會(huì)低于－15.5，問(wèn)題探明,剪枝。分支定界法原整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)解為:x1=2,x2=3,Z*=－17以上的求解過(guò)程可以用一個(gè)樹(shù)形圖表示如右：LP1x1=1,x2=3Z(1)

＝－16LPx1=18/11,x2=40/11Z(0)

＝－19.8LP2x1=2,x2=10/3Z(2)

＝－18.5LP21x1=12/5,x2=3Z(21)

＝－17.4LP22無(wú)可行解LP211x1=2,x2=3Z(211)

＝－17LP212x1=3,x2=5/2Z(212)

＝－15.5x1≤1x1≥2x2≤3x2≥4x1≤2x1≥3＃＃＃＃分支定界法例4.5用分枝定界法求解解:先求對(duì)應(yīng)的松弛問(wèn)題（記為L(zhǎng)P0）用圖解法得到最優(yōu)解X＝(3.57,7.14),Z0=35.7,如下圖所示。分支定界法1010松弛問(wèn)題LP0的最優(yōu)解X=(3.57,7.14),Z0=35.7x1x2oABC分支定界法10x2oABCLP1LP234LP1:X=(3,7.6),Z1=34.8①②LP2:X=(4,6.5),Z2=35.5分支定界法10x1x2oABCLP1LP2134LP21:X=(4.33,6),Z21=35.336分支定界法10x1x2oACLP1346LP211:X=(4,6),Z211=34LP212:X=(5,5),Z212=355LP212分支定界法上述分枝過(guò)程可用下圖表示：LP0:X=(3.57,7.14),Z0=35.7LP1:X=(3,7.6)Z1=34.8LP2:X=(4,6.5)Z2=35.5x1≤3x1≥4LP21:X=(4.33,6)Z21=35.33x2≤6LP211:X=(4,6)Z211=34LP212:X=(5,5)Z212=35x1≤4x1≥5LP22無(wú)可行解x2≥7小結(jié)學(xué)習(xí)要點(diǎn)：掌握一般整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題概念及模型結(jié)構(gòu)掌握分支定界法原理能夠用分支定界法求解一般整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題課后練習(xí)：分配問(wèn)題與匈牙利法指派問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型的標(biāo)準(zhǔn)形式：

設(shè)n個(gè)人被分配去做n件工作，規(guī)定每個(gè)人只做一件工作，每件工作只有一個(gè)人去做。已知第i個(gè)人去做第j件工作的效率（時(shí)間或費(fèi)用）為Cij(i=1.2…n;j=1.2…n)并假設(shè)Cij≥0。問(wèn)應(yīng)如何分配才能使總效率（時(shí)間或費(fèi)用）最高？設(shè)決策變量分配問(wèn)題與匈牙利法指派問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為：分配問(wèn)題與匈牙利法克尼格定理:

如果從分配問(wèn)題效率矩陣[aij]的每一行元素中分別減去(或加上)一個(gè)常數(shù)ui，從每一列中分別減去(或加上)一個(gè)常數(shù)vj，得到一個(gè)新的效率矩陣[bij]，則以[bij]為效率矩陣的分配問(wèn)題與以[aij]為效率矩陣的分配問(wèn)題具有相同的最優(yōu)解。分配問(wèn)題與匈牙利法指派問(wèn)題的求解步驟：1)變換指派問(wèn)題的系數(shù)矩陣(cij)為(bij)，使在(bij)的各行各列中都出現(xiàn)0元素，即從(cij)的每行元素都減去該行的最小元素；再?gòu)乃眯孪禂?shù)矩陣的每列元素中減去該列的最小元素。2)進(jìn)行試指派，以尋求最優(yōu)解。在(bij)中找盡可能多的獨(dú)立0元素，若能找出n個(gè)獨(dú)立0元素，就以這n個(gè)獨(dú)立0元素對(duì)應(yīng)解矩陣(xij)中的元素為1，其余為0，這就得到最優(yōu)解。分配問(wèn)題與匈牙利法找獨(dú)立0元素，常用的步驟為：

從只有一個(gè)0元素的行開(kāi)始，給該行中的0元素加圈，記作◎。然后劃去◎所在列的其它0元素，記作?

；這表示該列所代表的任務(wù)已指派完，不必再考慮別人了。依次進(jìn)行到最后一行。從只有一個(gè)0元素的列開(kāi)始（畫(huà)?的不計(jì)在內(nèi)），給該列中的0元素加圈，記作◎；然后劃去◎所在行的0元素，記作?

，表示此人已有任務(wù)，不再為其指派其他任務(wù)了。依次進(jìn)行到最后一列。若仍有沒(méi)有劃圈的0元素，且同行(列)的0元素至少有兩個(gè)，比較這行各0元素所在列中0元素的數(shù)目，選擇0元素少這個(gè)0元素加圈(表示選擇性多的要“禮讓”選擇性少的)。然后劃掉同行同列的其它0元素。可反復(fù)進(jìn)行，直到所有0元素都已圈出和劃掉為止。分配問(wèn)題與匈牙利法

若◎元素的數(shù)目m等于矩陣的階數(shù)n（即：m＝n），那么這指派問(wèn)題的最優(yōu)解已得到。若m<n,則轉(zhuǎn)入下一步。3)用最少的直線通過(guò)所有0元素。其方法：

對(duì)沒(méi)有◎的行打“√”；對(duì)已打“√”

的行中所有含?元素的列打“√”

；再對(duì)打有“√”的列中含◎元素的行打“√”

；重復(fù)①、②直到得不出新的打√號(hào)的行、列為止；對(duì)沒(méi)有打√號(hào)的行畫(huà)橫線，有打√號(hào)的列畫(huà)縱線，這就得到覆蓋所有0元素的最少直線數(shù)l。注：l應(yīng)等于m，若不相等，說(shuō)明試指派過(guò)程有誤，回到第2步，另行試指派；若l＝m<n，表示還不能確定最優(yōu)指派方案，須再變換當(dāng)前的系數(shù)矩陣，以找到n個(gè)獨(dú)立的0元素，為此轉(zhuǎn)第4步。分配問(wèn)題與匈牙利法4)變換矩陣(bij)以增加0元素 在沒(méi)有被直線通過(guò)的所有元素中找出最小值，沒(méi)有被直線通過(guò)的所有元素減去這個(gè)最小元素；直線交點(diǎn)處的元素加上這個(gè)最小值。新系數(shù)矩陣的最優(yōu)解和原問(wèn)題仍相同。轉(zhuǎn)回第2步。分配問(wèn)題與匈牙利法例4.6有一份中文說(shuō)明書(shū)，需譯成英、日、德、俄四種文字，分別記作A、B、C、D。現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四人，他們將中文說(shuō)明書(shū)譯成不同語(yǔ)種的說(shuō)明書(shū)所需時(shí)間如下表所示，問(wèn)如何分派任務(wù)，可使總時(shí)間最少？

任務(wù)人員ABCD甲67112乙4598丙31104丁5982分配問(wèn)題與匈牙利法解：1）變換系數(shù)矩陣，增加0元素。－52）試指派（找獨(dú)立0元素）◎◎◎??

找到3個(gè)獨(dú)立零元素但m=3<n=

4分配問(wèn)題與匈牙利法3）作最少的直線覆蓋所有0元素

◎◎◎??√√√獨(dú)立零元素的個(gè)數(shù)m等于最少直線數(shù)l，即l＝m=3<n=4；4）沒(méi)有被直線通過(guò)的元素中選擇最小值為1，變換系數(shù)矩陣，將沒(méi)有被直線通過(guò)的所有元素減去這個(gè)最小元素；直線交點(diǎn)處的元素加上這個(gè)最小值。得到新的矩陣，重復(fù)2）步進(jìn)行試指派分配問(wèn)題與匈牙利法000000試指派◎◎◎??◎得到4個(gè)獨(dú)立零元素，所以最優(yōu)解矩陣為：即完成4個(gè)任務(wù)的總時(shí)間最少為：2＋4＋1+8=15分配問(wèn)題與匈牙利法例4.7已知四人分別完成四項(xiàng)工作所需時(shí)間如下表，求最優(yōu)分配方案。

任務(wù)人員ABCD甲215134乙1041415丙9141613丁78119分配問(wèn)題與匈牙利法解：1）變換系數(shù)矩陣，增加0元素。◎?◎??◎◎2）試指派（找獨(dú)立0元素）獨(dú)立0元素的個(gè)數(shù)為4,指派問(wèn)題的最優(yōu)指派方案即為甲負(fù)責(zé)D工作，乙負(fù)責(zé)B工作，丙負(fù)責(zé)A工作，丁負(fù)責(zé)C工作。這樣安排能使總的工作時(shí)間最少，為4＋4＋9＋11＝28。分配問(wèn)題與匈牙利法例4.8已知五人分別完成五項(xiàng)工作耗費(fèi)如下表，求最優(yōu)分配方案。

任務(wù)人員ABCDE甲