復(fù)變函數(shù)積分方法總結(jié)復(fù)變函數(shù)積分方法總結(jié)[鍵入文檔副標(biāo)題]acer[選取日期]

數(shù)學(xué)本就靈活多變，各類函數(shù)的排列組合會(huì)衍生多式多樣的函數(shù)新形勢(shì)，同時(shí)也具有本來(lái)原函數(shù)的性質(zhì)，也會(huì)有多類型的可積函數(shù)類型，也就會(huì)有相應(yīng)的積分函數(shù)求解方法。就復(fù)變函數(shù)：z=x+iyi2=-1，x,y分別稱為z的實(shí)部和虛部，記作x=Re(z),y=Im(z)。argz=θ?θ?稱為主值-π＜θ?≤π，Arg=argz+2kπ。利用直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)的關(guān)系式x=rcosθ，y=rsinθ,故z=rcosθ+irsinθ；利用歐拉公式eiθ=cosθ+isinθ。z=reiθ。1.定義法求積分：定義：設(shè)函數(shù)w=f(z)定義在區(qū)域D內(nèi)，C為區(qū)域D內(nèi)起點(diǎn)為A終點(diǎn)為B的一條光滑的有向曲線，把曲線C任意分成n個(gè)弧段，設(shè)分點(diǎn)為A=z0，z1，…，zk-1，zk，…，zn=B，在每個(gè)弧段zk-1zk(k=1,2…n)上任取一點(diǎn)k并作和式Sn=k-1nf(k)(zk-zk-1)=k-1nf(k)?zk記?zk=zk-zk-1，弧段zk-1zk的長(zhǎng)度δ=max1≤k≤cf(z)dz=limδ0k-設(shè)C負(fù)方向(即B到A的積分記作)c-f(z)dz.當(dāng)C為閉曲線時(shí)，f(z)的積分記作cf(z)dz例題：計(jì)算積分1)c（1）解：當(dāng)C為閉合曲線時(shí)，cdz∵f(z)=1Sn=k-1nf(∴l(xiāng)imn0Sn=b-a,即1)(2)當(dāng)C為閉曲線時(shí)，cdz=0.f(z)=2z;沿C連續(xù)，則積分czdz存在，設(shè)k=z∑1=k-1nZ（k-1）有可設(shè)k=zk，則∑2=k-1nZ（k-1）因?yàn)镾n的極限存在，且應(yīng)與∑1及∑2極限相等。所以Sn=(∑1+∑2)=∑k-1nz∴c2zdz=b2-a1.2定義衍生1：參數(shù)法：f(z)=u(x,y)+iv(x,y),z=x+iy帶入cf(z)dzcf(z)dz=c再設(shè)z(t)=x(t)+iy(t)(α≤t≤β)cf(z)dz=參數(shù)方程書寫：z=z0+(z1-z0)t（0≤t≤1）；z=z0+reiθ，(0≤θ≤2π)例題1：03+i解：參數(shù)方程z=（3+i）t03+iz=(3+i)30=6+263例題2：沿曲線y=x2計(jì)算0解：參數(shù)方程x=ty=t2或z=t+it2(0≤01+ix=(1+i)[01t=-16+51.3定義衍生2重要積分結(jié)果：z=z0+reiθ，(0≤θ≤2π)由參數(shù)法可得：cdz(z-z0)n+1=0cdz(z-例題1：z=1dz解：=0解=2πi2.柯西積分定理法：2.1柯西-古薩特定理：若f(z)dz在單連通區(qū)域B內(nèi)解析，則對(duì)B內(nèi)的任意一條封閉曲線有：cf(z)dz2.2定理2：當(dāng)f為單連通B內(nèi)的解析函數(shù)是積分與路線無(wú)關(guān)，僅由積分路線的起點(diǎn)z0與終點(diǎn)z1來(lái)確定。2.3閉路復(fù)合定理：設(shè)函數(shù)f(z)在單連通區(qū)域D內(nèi)解析，C與C1是D內(nèi)兩條正向簡(jiǎn)單閉曲線，C1在C的內(nèi)部，且以復(fù)合閉路Γ=C+C1所圍成的多連通區(qū)域G全含于D則有：Γf(z)dz=cf(z)dz+c1即cf(z)dz=c1f(z)dz推論：cf(z)dz=k=1nc例題：c2z-1z2解：被積函數(shù)奇點(diǎn)z=0和z=1.在C內(nèi)互不相交，互不包含的正向曲線c1和c2。c2z-1z2-z=c1=c11z-1dz+c11=0+2πi+2πi+0=4πi2.4原函數(shù)法(牛頓-萊布尼茨公式)：定理2.2可知，解析函數(shù)在單連通域B內(nèi)沿簡(jiǎn)單曲線C的積分只與起點(diǎn)z0與終點(diǎn)z1有關(guān)，即cf()d=z0z1f()d這里的z若f(z)在單連通區(qū)域B內(nèi)解析，則函數(shù)F(z)必為B內(nèi)的解析函數(shù)，且F(z)=f(z).根據(jù)定理2.2和2.4可得z0z1f(z)dz例題：求0解：函數(shù)zcosz在全平面內(nèi)解析∴01zcoszdz=isini+cosz|0=ie-1-12i+e此方法計(jì)算復(fù)變函數(shù)的積分和計(jì)算微積分學(xué)中類似的方法，但是要注意復(fù)變適合此方法的條件。2.5柯西積分公式法：設(shè)B為以單連通區(qū)域，z0位B中一點(diǎn)，如f(z)在B內(nèi)解析，則函數(shù)f(z)z-z0在z0不解析，所以在B內(nèi)沿圍繞z0的閉曲線C的積分cf(z)z-z0dz一般不為零。取z0位中心，以cf(z)z-z0dz=c2.5.1定理：若f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，C為D內(nèi)任何一條正向簡(jiǎn)單閉曲線，它的內(nèi)部完全含于D，z0為C內(nèi)的任一點(diǎn)，有：f(z0)=1例題：1）z=2sinz解：=2πisinz|z=0=0解：=z=2πiz9-z2|2.6解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)：解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍是解析函數(shù)，它的n階導(dǎo)數(shù)為f(n)(z0)=n!2πif(z)(其中C為f(z)的解析區(qū)域D內(nèi)圍繞z0的任一條正向簡(jiǎn)單閉曲線，而它的內(nèi)部全含于D.例題：cezz解：由高階導(dǎo)數(shù)的柯西積分公式：原式=2πi?14!(ez)(4)|z=π23.解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)：定義：（1）調(diào)和函數(shù)：如果二元實(shí)函數(shù)φ(x,y)在區(qū)域D內(nèi)具有二階連續(xù)函數(shù)，且滿足拉普拉斯方程：?2φ?x2+（2）共軛調(diào)和函數(shù):u(x，y)為區(qū)域內(nèi)給定的調(diào)和函數(shù)，我們把是u+iv在D內(nèi)構(gòu)成解析函數(shù)的調(diào)和函數(shù)v(x,y)稱為u(x,y)的共軛調(diào)和函數(shù)。若v是u的共軛調(diào)和函數(shù)，則-u是v的共軛調(diào)和函數(shù)關(guān)系：任何在區(qū)域D內(nèi)解析的函數(shù)，它的實(shí)部和虛部都是D內(nèi)的調(diào)和函數(shù)；且虛部為實(shí)部的共軛調(diào)和函數(shù)。3.1求解方法：（1）偏積分法：若已知實(shí)部u=u(x,y),利用C-R方程先求得v的偏導(dǎo)數(shù)?u?x=?v?y，兩邊對(duì)y積分得v=?u?xdy+g(x).再由?u?y=-?v?x又得??x?vv=?u?xdy+3.2不定積分法：因?yàn)閒(z)=Ux+iVx=Ux-iUy=Vy+iVX所以f(z)=Uzdz+cf(z)=3.3線積分法：若已知實(shí)部u=u(x,y),利用C-R方程可得的dv=?v?xdx+?v?ydy=-?u?yv=（x該積分與路徑無(wú)關(guān)，可自選路徑，同理已知v(x,y)也可求u(x,y).例題：設(shè)u=x2-y2+xy為調(diào)和函數(shù)，試求其共軛函數(shù)v(x,y)級(jí)解析函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)解：利用C-R條件?u?x=2x+y?u?y=-2y+x?2所以滿足拉普拉斯方程，有?v?x=-?u?y=2y-x?v?y所以v=(2y-x)dx+?v?y=2x+φ(y)φ(y)=yφ(y)=y2v(x,y)=2xy-xf(z)=u(x,y)+iv(x,y)=12(2-i)z4.留數(shù)求積分：留數(shù)定義：設(shè)z0為函數(shù)f(z)的一個(gè)孤立奇點(diǎn)，即f(z)在去心鄰域、0<z-z0<δ,我們把f(z)在z0處的洛朗展開式中負(fù)一次冪項(xiàng)系數(shù)c-1稱為f(z)在z0處的留數(shù)，記為Res[f(z),z0]即Res[f(z),z0或者Res[f(z),z0]=12πicfz4.1留數(shù)定理：設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)除有限個(gè)孤立奇點(diǎn)z1z2…zn,cfzdz其中zk表示函數(shù)fz4.2孤立奇點(diǎn)：定義：如果函數(shù)fz在z0不解析，但在z0某個(gè)去心鄰域0<z-z0<δ內(nèi)解析，則稱z0為fz的孤立奇點(diǎn)。例如1z、在孤立奇點(diǎn)z=z0的去心鄰域內(nèi)，函數(shù)fzfz=洛朗級(jí)數(shù)中負(fù)冪項(xiàng)是否存在，若存在是有限項(xiàng)還是無(wú)限項(xiàng)，這對(duì)f(z)在z0處的奇異性將起著決定性的作用。討論孤立奇點(diǎn)z0的類型：4.2.1可去奇點(diǎn)：若函數(shù)f(z)在孤立奇點(diǎn)z0的去心鄰域內(nèi)的洛朗展開式中不含負(fù)冪項(xiàng)，即對(duì)一切n<0有cn=0，則稱z0是f(z)的可去奇點(diǎn)因?yàn)闆](méi)有負(fù)冪項(xiàng)，即c-n=0,(n=1,2)故c-1=0。遇到函數(shù)f(z)的奇點(diǎn)類型是可去奇點(diǎn)，一般對(duì)函數(shù)fzcfzdz判斷可去奇點(diǎn)方法：⑴函數(shù)fz在某個(gè)去心鄰域0<z-z0<δ內(nèi)解析，則z0是fz的可去奇點(diǎn)的充要條件是存在極限limz→z0f（z）=c0，其中c0是一復(fù)常數(shù);4.2.2極點(diǎn)：若函數(shù)f(z)在孤立奇點(diǎn)z0的去心鄰域內(nèi)洛朗級(jí)數(shù)展開式中只有有限個(gè)負(fù)冪項(xiàng)，即有正整數(shù)m，c-m≠0，而當(dāng)n<-m時(shí)c-n=0則稱z0是f(z)的m級(jí)極點(diǎn)。其洛朗展開式是：f(z)=c-m（z-z0）m+c-m+1（z-z0）m+1+…+c-1z-z這里c-m≠0，于是在0<z-z0<δ有f(z)=[c-m（z-z0）m+c-m+1（z-z0）m+1+…+c-1z-z0φ(z)一個(gè)在0<z-z0<δ解析，同時(shí)φ(z)≠0，則z判斷定理：（1）f(z)在z0的去心鄰域0<z-z0<δ解析，z0是f(z)的m級(jí)極點(diǎn)的充要條件是可以表示成*的形式。（2）z0是f(z)的m級(jí)極點(diǎn)的充要條件是lim4.2.3本性奇點(diǎn)：若函數(shù)f(z)在孤立奇點(diǎn)z0的去心鄰域內(nèi)洛朗級(jí)數(shù)展開式中只有無(wú)限個(gè)負(fù)冪項(xiàng)，則稱z0是f(z)的本性奇點(diǎn)判斷方法：孤立奇點(diǎn)是本性奇點(diǎn)的充要條件是不存在有限或無(wú)窮的極限limz→4.3函數(shù)在極點(diǎn)的留數(shù)：準(zhǔn)則一：若z0為一級(jí)極點(diǎn)，則Res[f(z),z0]=準(zhǔn)則二：做z0為m級(jí)極點(diǎn)，則Res[f(z),z0]=1(m-1)!limz→z0準(zhǔn)則三：設(shè)f(z)=P(Z)Q(Z),P(z)以及Q(z)都在z0解析，如果P(z0)=Q(z0)≠0，則z0是f(z)的一級(jí)極點(diǎn)，而且：Res[f(z),z0]=P(4.4無(wú)窮遠(yuǎn)處的留數(shù)：定義：擴(kuò)充z平面上設(shè)z=∞為f(z)上的孤立奇點(diǎn)，即f(z)在R<z<+∞內(nèi)解析，C為圓環(huán)繞原點(diǎn)z=0的任一條正向簡(jiǎn)單閉曲線，則積分值1稱為f(z)在z=∞處的留數(shù)，記作Res[f(z),∞]=1如果f(z),在R<z<+∞內(nèi)的洛朗展開式為f(z),=n=-∞∞cnzn則有4.4.1如果f(z)在擴(kuò)充復(fù)平面上只有有限個(gè)孤立奇點(diǎn)（包括無(wú)窮遠(yuǎn)處在內(nèi)）設(shè)為z1，z2，…，zn，∞k=1nRes[f(z)dz]+Res[f(z),4.4.2Res[f(z),∞]=-Res[f(1z)?例題：求下列Res[f(z),∞]的值（1）f(z)=ezz解：（1）在擴(kuò)充復(fù)平面上有奇點(diǎn)：±1，∞，而±1為f(z)的一級(jí)極點(diǎn)且Res[f(z),1]=limz→1(z-1)f(z)=limRes[f(z),-1]=limz→-1(z-1)f(z)∵Res[f(z),∞]+Res[f(z),1]+Res[f(z),-1]=0得∴Res[f(z),∞]=-{Res[f(z),1]+Res[f(z),-1]}=12((2)由公式Res[f(z),∞]=-Res[f(1z)?1z2,0]，而1以z=0為可去奇點(diǎn)，所以Res[f(z),∞]=-Res[f(1z)?4.5用留數(shù)定理計(jì)算積分：4.5.1形如02πR(cosθ,sinθ)dθ的定積分計(jì)算；其中R(cosθ,sinθ)為cos故解這類題是就會(huì)聯(lián)想到復(fù)變函數(shù)與三角變換的相關(guān)知識(shí)--歐拉公式，令z=eiθ,dz=izdθ=ieiθdθdsinθ=12i(eiθ-e則02πR(cosθ,si