2018年下半年教師資格證《數學學科知識與教學能力》(初級中學)試題(網友

回憶版)［單選題］1.與向量a=(2,3,1)垂直的平面是0。X—2y+z=32x+y+3z=32x+3y+z=3x—y+z=3參考答案：C參考解析：本題考查空間解析幾何中平面的法向量的相關知識。平面的法向量是垂直于平面的非零向量。在直角坐標系中，平面Ax+By+Cz=0(A,B,C不同時為零)的一個法向量為卩=(A,B,C)。本題中，向量a=(2,3,1)為平面2x+3y+z=3的法向量，故垂直于平面2x+3y+z=3。故本題選C。..tan3xbm ［單選題］2.^xcosx的值是()。TOC\o"1-5"\h\z0138參考答案：C參考解析：本題考查函數極限的四則運算以及等價無窮小量替換。(方法一)當x—0時，tan3x?3x。所以..tan3x..tan3x.. 1 ..3x,.hm =hm hm =um—1=3xcosx—J.vcosX―.V(方法二)臨冬二細姑3x =臨些頓__1—7xcosx?-^xcos3xcosx7XCO?3XCO9X故本題選C。!im些=3?lim故本題選C。>-?0x 3x［單選題］3.函數f(x)在［a,b］±黎曼可積的必要條件是f(x)在［a,b］±Oo可微連續不連續點個數有限有界參考答案：D參考解析：本題考查黎曼可積的條件。若函數f(x)在［a,b］上(黎曼)可積，則f(x)在［a,b］上必有界(可積的必要條件)，故本題選D。

下面說明其他三個選項。可積的充分條件有以下3個：①函數在閉區間上連續；②函數在閉區間上有界且只有有限個間斷點；③函數在閉區間上單調。由此可排除B項和C項。又因為在一元函數中，可微一定連續，且連續一定可積，但反之不成立，故排除A項。的值是()。兀的值是()。兀abmb~nab8bD.V參考答案：B參考解析：本題考查定積分的兒何意義或定積分的計算。「bJl-(-)2dv y=b(方法一)定積分J"Va 表示被積函數 與x軸所圍翌+芝=11 ￡+￡=1成圖形的面積，即橢圓蒙4'跡在x軸上方部分的面積。而橢圓扌的面積為nab。所以(方法二)本題也可用第二換元積分法計算。令乂=

asint,由于一aWxWa,所以2 29且dx=acostdt,所以bcost-acostA=obj2Kccs2tdt=日匚七

=—fr^cos2r^+=2I2 2) 2 故本題選B。［單選題］5.與向量a=A.(3,2,1)B.(1,2,1)C.(1,2,0)D.(3,2,2)(1,0,1),B=(1,b0)線性相關的向量是0。(1,參考答案：A參考解析：（方法一）一個向量組中，若一個向量可由其余向量線性表出，則這幾個向量必線性相關；若任意一個向量都不能被其余向量線性表出，則這幾個向量必線性無關。結合選項可知，只有選項A可以由向量a和向B線性表出，即（3,2,1）=a+20o故本題選A。（方法二）向量組a,p,Y線性相關。矩陣A■S'（方法二）向量組a,p,Y線性相關。矩陣Y線性無關。矩陣喩秩=IA*113111111113Y線性無關。矩陣喩秩=IA*113111111113012=0012=2#0012=l#00121011011001020，=1^0中的向量與向量Q和向量B線性相關，BCD三項中的向量均與向量Q和向量8線性無關。故本題選A。［單選題］6.設f（x）=acosx+bsinx是R到R的函數,個數=|A=0；向量組。，0o結合選項知，進而可知，選項A"={/（、）冊）=。海.5血"況&}是線性空間，則v的維度是（）。TOC\o"1-5"\h\z1238參考答案：B參考解析：本題考查線性空間的維數、線性空間的基。由題意知，線性空間V中的每一個元素都是COSX和sinx的線性組合。而cosx和sinx是線性無關的，這是因為如果存在實數ni,n使得mcosx+nsinx=0對任意x《R都成立，則m=n=0o因此cosx和sinx是線性空間V的一組基，所以V的維數是2。故本題選B。［單選題］7.在下列描述課程目標的行為動詞中，要求最高的是（）。理解了解掌握知道參考答案：C參考解析：本題考査《義務教育數學課程標準（2011年版）》中課程目標行為動詞的相關知識。在課程標準中有兩類行為動詞，一類是描述結果目標的行為動詞，包括“了解（知道）、理解、掌握、運用”等術語。另一類是描述過程目標的行為動詞，包括“經歷、體驗、探索”等術語。每一組術語中按照從前到后的順序要求遞增，即行為動詞按要求的高低排序為了解（知道）〈理解<掌握V運用，經歷V體驗V探索。故本題選C。［單選題］8.命題P的逆命題和命題P的否命題的關系是（）。同真同假同真不同假同假不同真不確定參考答案：A參考解析：本題考查命題的相關知識。命題P的逆命題和命題P的否命題互為逆否命題，而互為逆否命題的兩個命題同真同假。故本題選A。［問答題］1.求過點（a,0）的直線方程，使該直線與拋物線y=x2+1相切。參考答案：本題考查過曲線外一點求曲線的切線方程。（方法一）設切點為（xo,x20+l）,因為y'=2x,則過切點（xo,x2o+l）的切線斜率k=2x0,切線方程為］?=2以.—天）+葛+1=2."_葛+1若切線過點（如0）,則有2xoa-x2o+1=0,解此關于％的一元二次方程，得:唸=娜世翥『41所以k=2七=所以所求的切線方程為y=2（〃+ 1Xx-。）或y=2（a-V^-l）（.v-6r）（方法二）設切點為（x°,y。），則由切點在拋物線上得yo=x2ob>+i.

因為y'=2x,故切線斜率k=2x0.所以過點(a.0)的切線方程可設為y=2x0<x-a).由切點在切旬得y0=2x0(x0-a>.聯立方程丸=M+l?"士&?"士&+1故y=2(a+M+l)(：E)或y=2(a-y/a:-hlXx-a)^=i［問答題］2.設>3了表示；在D作用下的象,若丄足…頃/、XJ25、卩、'2X4-5/"丿I】、本題考查在距陣作用下的坐標變換。D即程，求滿足的方程。參考答案：由己知得，2.v+5y=x,\+3y=y，解此關于x,y的二元一次方程組得.r=3xr-5y,J'=-宀2，'因為x2-y2=l所以有(3/-5,vy-(-x+2vr=1整理得.滿足的方程為8.v2-26yy+2iy2=i［問答題］3.if(X)是［0,1］上的可導函數，且f‘(x)有界。證明：存在M>0,使得對于任意X.,x2e［0,1］,有參考答案：本題考查微分中值定理。當x.=x2時結論顯然成立。不妨設x,<x2,則函數f(X)在區間［x“X』上連續，在區間（X?X2）上可導，由拉格朗日中值定理可得，存在一點（X?X2），使得）-f（x2）=廣愆）傳-與）即有|/'（即一，（心）|=|尸（訓可f|因為f,（X）有界，故存在m>0,計任意xe［0，1］都有f‘（x）MM,所以f‘（《）MM。故\f（xx）-f（x2）\^M\xx-x2［問答題］4.簡述日常數學教學中對學生進行學習評價的目的。參考答案：《義務教育數學課程標準（2011年版）》中指出，評價的主要目的是全面了解學生數學學習的過程和結果，激勵學生的學習和改進教師的教學。日常數學教學中通過對學生學習的評價，教師可以更好地關注學生的學習過程。教師不僅能夠關注到學生對知識技能掌握的程度，還可以關注到學生的思維過程。教師可以根據學生在學習過程中的表現判斷學生是否會用數學的眼光觀察世界，是否會用數學的思維思考世界，是否會用數學的語言表達世界。日常數學教學中對學生學習過程中的表現、所取得的成績以及所反映出的情感、態度、策略等方面的發展做出的評價，其目的是激勵學生學習，幫助學生有效調控自己的學習過程，使學生獲得成就感，增強自信心，培養合作精神。同時，通過對學生學習的評價，教師可以了解教學過程中存在的問題和改進的方向，及時修正和調整教學目標、內容和計劃。［問答題］5.給出完全平方公式（a+b）2=￡+2ab+&的一種幾何解釋，并說明幾何解釋對學生數學學習的作用-參考答案：完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2的幾何解釋 （1） 如圖1，大正方形的邊長為a+b,所以面積為（a+b）2；大正方形的面積也可以表示成一個邊長為a的正方形，兩個長為a、寬為b的長方形和一個邊長為b的正方形的面積之和，即a'+2ab+bJo所以（a+b）~=疽+2孫+房（2） 如圖2,大正方形的邊長為a+b,所以面積為（a+b）%大正方形的面積也可以表示成四個全等的直角邊分別為a,b的直角三角形和一個邊長為M+b：的小正方形的面積之和，即4x-ab-ha2+5：=+lab+bz所以(a+b)2=a2+2ab+b2o2兒何解釋對學生數學學習的作用（1） 有助于學生直觀地理解數學問題。兒何解釋把復雜、抽象的數學問題變得簡明、形象，可以幫助學生直觀地理解數學問題，了解數學問題的幾何背景或兒何意義。（2） 有助于加深學生對定理、公式等數學知識的理解。在定理、公式的學習上，幾何解釋可以很好地幫助學生理解其本質含義，通過追本溯源，加深學生對定理、公式的記憶和把握。（3） 有助于激發學生的數學學習興趣。運用凡何解釋來解決數學問題，可以將直觀上枯燥、復雜的數學問題轉化為形象、有趣的圖形問題。這樣可以避免學生對于數學學習的厭煩感，激發學生學習數學的興趣。從而使學生不再懼怕數學，增強其學好數學的信心。（4） 有助于探索解決問題的思路，預測結果。兒何解釋可以配合教師運用啟發式教學，幫助學生探索拓展解決問題的思路，引導學生多方向思考解決問題的途徑，預測數學問題的結果。（5） 有助于培養數形結合的數學思想。教師在教學過程中通過幾何解釋滲透數形結合思想，幫助學生在數學學習的過程中逐步形成數形結合思想。［問答題］6.設隨機變量&服從［0,1］上的均勻分布，09x<0P={ce（fx）}=丿匸0WX1>! 求&的數學期望Ec和方差Dco參考答案：本題考查連續型隨機變量的分布函教、密度函數以及期望和方程的求解。由題意知，隨機變量&的概率分布函數o,x<aF(x)=P{^<.r}=P(4<x}=P{4e(^c,x)}=x,0<x<L所以其密度函數Lx>lc

所以其密度函數/（/（x）=r（x）=0,其他。?Eg=Jxf（x）dx=丄xdx=:DM=匚3土）"）汰=J（x■j■u1-相關知識拓展設隨機變量X服從區間［a,b］上的均勻分布，則X的概率密度函數0,其他，0,其他，且齡=號，D'縉七本題中，隨機變量&服從區間［0,1〕上的均勻分布，所以根據上述公式可以快速求得"D4=—'12o這可以作為考生檢驗計算結果的依據。［問答題］7.論述數學教學中使用信息技術的作用，并闡述使用信息技術與其他教學手段的關系。參考答案：（1）信息技術在數學教學中的作用信息技術可以為師生提供豐富的信息資源。教師將信息技術與數學教學相結合，利用豐富的數學教學資源，拓展知識視野，改變傳統的學科數學內容，使教材“活”起來。學生通過信息技術進行輔助學習，把數學學習由誤內延伸到課外，在開闊知識視野、豐富課余知識的同時，也培養了自主探究知識的能力。利用信息技術可以優化數學課堂教學效果，提高教師的課堂教學效率。在數學教學的過程中運用信息技術，不但可以使學生難懂、教師難教的數學知識變得簡單化、形象化，還可以方便教師更好地突破知識的重難點，幫助學生對知識的優化和鞏固。教師利用信息技術，通過多媒體課件向學生展示板書內容，可以節省教師在課堂上書寫的時間，從而提升數學課堂的教學效率。利用信息技術展示知識的形成過程，可以將抽象的知識直觀化。利用現代信息技術圖、文、聲、像、影并茂的特點創設逼真的教學環境，可以把教學中只靠掛圖或黑板作圖難講解清楚的知識，通過形象生動的畫而、聲像同步的情境將知識的形成過程充分體現出來。如在空冋與圖形的教學中，借助多媒體課件，可以使學生在直觀地觀察中形成幾何概念的表象，使其形成清晰的概念，從而培養學生的觀察能力和思維能力。利用信息技術可以激發學生數學學習的興趣，使其深入淺出地理解掌握數學知識。通過信息技術將一些數學背景、數學史等相關知識在數學課堂上展示出來，一方面，配合教師數學課堂導入法中的趣味導入法，激發學生學習數學的興趣；另一方面，方便教師將相關知識分解和拓展，從而加深學生對于數學知識的理解和進一步掌握。例如，教師在教學“勾股定理”時，可以通過課件形象化地引入畢達哥拉斯發現“勾股定理”的背景以及“趙爽弦圖”的內容，既豐富了學生對于數學史的了解，加深其對定理的認識，又使學生感受數學學習的趣味性。（2）信息技術與其他教學手段的關系教師在教學時應將信息技術和其他教學手段相結合，取長補短，根據不同的教學特點、不同的內容合理地選用教學手段。傳統的教學手段，如教科書，板書，圖形模具等，在長期的教學實踐中發揮著重要的作用。隨著科學技術的發展，信息技術應運而生，成為現代教學中必不可少的工具。信息技術給數學教學提供了大量信息和多種手段，對數學學科教學內容、教學方法和學習方法等產生了深遠的影響。教師在教學時應充分發揮信息技術的輔助作用，而非主體作用。信息技術的真正價值在于實現原有教學手段難以達到，甚至達不到的效果。但信息技術并不能完全替代原有的教學手段。傳統的教學手段依然是現代課堂教學中必備的工具和手段。教師應將信息技術與教學模具進行結合，讓學生動手參與其中，使學生獲得全面的學習和發展。因此，教師要從實際出發，適時、適量、適度和適齡地利用信息技術，讓信息技術真正為課堂服務的同時發揮其與常規教學手段的各自優勢，相互促進、相輔相成。［問答題］8.案例：如下是某教師教學“代入消元法解二元一次方程組”的主要環節。首先，教師引導學生復習二元一次方程組的有關知識。然后，呈現如下教材例題，讓學生獨立思考并解決。例題：籃球聯賽中，每場都要分出勝負，每隊勝1場得2分，負1場得1分。某隊10場比賽中得到16分，那么這個隊勝負場數分別是多少？針對學生的解答，教師給出了如下板書：y=lO-?解1：設勝x場，則負（1（U?）場，鮮2：設勝.'場,員）場，則2x+(10-x)=16g—宀心頊10-x=y 最后，教師強調了兩種解法的內在聯系，并給出了代入消元法的基本步驟及數學思想。問題：（1） 該教師教學設計的優點有哪些？（6分）（2） 該教師教學設計的不足有哪些？（6分）（3） 代入消元法的基本步驟及數學思想是什么？（8分）參考答案：（1）該教師教學設計的優點：利用生活實例作為情境，可以調動學生的探究欲望，能夠激發學生學習的興趣，并使學生體會數學與生活的密切聯系；板書一元一次方程和二元一次方程組兩種解法，強調兩種解法的內在聯系，通過對比，有利于轉化思想的形成，有利于新的知識結構與方法的建構： 教師引導學生復習二元一次方程組的知識，再學習代入消元法解二元一次方程組，建立了新舊知識之間的聯系，為新知識的學習做好了鋪墊。（2） 該教師教學設計的不足：復習導入環節只復習了二元一次方程組的相關概念，應該加入一元一次方程的相關知識；教學的引導性不強，學生的主體地位沒有完全突顯出來，對于兩種解法的內在聯系和代入消元法的步驟應該引導學生發現和總結；教學過程不完整，缺少必要的鞏固練習，沒有總結并板書代入消元法的具體步驟，沒有給學生布置作業。（3） 代入消元法的基本步驟：①選取一個系數較簡單的二元一次方程變形，用含有一個未知數的代數式表示另一個未知數；②將變形后的方程代入另一個方程中，消去一個未知數，得到一個一元一次方程（在代入時，要注意不能代入原方程，只能代入另一個沒有變形的方程中，以達到消元的目的）；③解這個一元一次方程，求出未知數的值；④將求得的未知數的值代入前面變形后的方程中，求出另一個未知數的值；⑤用大括號聯立兩個未知數的值，就是方程組的解；⑥最后檢驗求得的結果是否正確（代入原方程組中進行檢驗，方程是否滿足左邊=右邊）。數學思想：化未知為己知的轉化思想；把二元變成一元的消元思想。［問答題］9.教學課題為平行四邊形的判定定理：“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”。請你完成下列任務：（1） 設計一個問題情境引入該定理，并說明設計意圖。（10分）（2） 設計定理證明的教學片段，并說明設計意圖。（10分）（3） 在教學中，為了鞏固對該定理的理解，教師設計了如下例題：如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC,BD交于點0,點E,F是AC上的兩點，并且AE=CF,求證：四邊形BFDE是平行四邊形。

1請設計此題的變式題，以進-B1請設計此題的變式題，以進-步理解和鞏固定理。（10分）利用平行四邊形的定義，兩組對邊分別平行來畫。（大部分學生的作圖方很好！那么還有沒有其他方法呢？大家想一下，我們之前學過平行四邊形對角線的什么性質？參考答案：（1）教師在導入新課時先提出問題：同學們想一下如何畫一個平行四邊形？生：法）師：師：教師啟發學生回憶，直到學生答出：平行四邊形的對角線互相平分。利用平行四邊形的定義，兩組對邊分別平行來畫。（大部分學生的作圖方很好！那么還有沒有其他方法呢？大家想一下，我們之前學過平行四邊形對角線的什么性質？教師總結學生作法，結合對角線的性質繼續反問學生：利用平行四邊形對角線互相平分的性質所作的四邊形是不是平行四邊形？設計意圖：通過上述問題引入定理，一方面幫助學生回顧舊知，讓學生感受到新舊知識之間的聯系；另一方面考慮到大部分學生都會采用利用定義中的平行關系作圖，據此教師在肯定學生的作法的同時順勢提出利用對角線的性質作圖的設想，讓學生自主探究以培養其分析問題和解決問題的能力。（2）教學片段究、合作交流。教師將“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”的判定定理轉化為直觀問題的形式：在四邊形ABCD中，對角線AC,