2019年普通高等學校招生全國統一考試

數學（理）（北京卷）

本試卷共5頁，150分。考試時間長120分鐘。考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答

無效。考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分（選擇題共40分）

一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一

項。

I.已知集合P={xIx2<l},M={a}.若PUM=P〃lJa的取值范圍是

A.(-oo,-l]B.[l,+oo)

C.[-1,1]D.(-oo,-1]U[l,+oo)

i-2

2.復數上二二

l+2z

43.D.」+當

A.iB.-iC.—i

5555

3.在極坐標系中，圓p=-2sin0的圓心的極坐標系是

A.（1與B.（1,-芻

22

C.（1,0）D.（1,乃）

4.執行如圖所示的程序框圖，輸出的s值為

A.-3

B.-1

2

D.2

如圖，AD,AE,BC分別與圓O切于點D,E,F,

延長AF與圓O交于另一點G。給出下列三個結論:

①AD+AE=AB+BC+CA；

（2）AFAG=ADAE

?△AFB-AADG

其中正確結論的序號是

A.①@B.②③

C.①③D.①②③

6.根據統計，一名工作組裝第x件某產品所用的時間（耳

仁心人

C為常數）。已知工人組裝第4件產品用時30分鐘，組裝第A件產品用時15分鐘，那么C和A

的值分別是

A.75,25B.75,16C.60,25D.60,16

7.某四面體的三視圖如圖所示，該四面體四個面的面積中，最大的是

俯視圖

A.8B.6夜C.10D.872

8.設A（0,0）,B（4,0）,C（r+4,4）,D（f,4）（fe用.記N（。為平行四邊形ABCD內部（不含邊界）

的整點的個數，其中整點是指橫、縱坐標都是整數的點，則函數N（。的值域為

A.{9,10,11}B.{9,10,12）

C.{9,11,12}D.{10,11,12）

第二部分（非選擇題共110分）

二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。

JI

9.在AABC中。若b=5,Z.B——,tanA=2,貝!IsinA二__________；a=________________。

4

10.已知向量a=（5/3,1）,b=（0,-1）,c=（k,V3）o若a-2b與c共線，貝!|k=。

11.在等比數列⑸}中，a尸，,a4=-4,則公比q=；同+圖+..?+同=。

12.用數字2,3組成四位數，且數字2,3至少都出現一次，這樣的四位數共有個。（用數

字作答）

x>2

13.已知函數=若關于x的方程f（x）=k有兩個不同的實根，則數k的取值范圍

（X-1）3,X<2

是_______

14.曲線C是平面內與兩個定點F1（-1,0）和Fr2（1,0）的距離的積等于常數的點的

軌跡.給出下列三個結論：

①曲線C過坐標原點；

②曲線C關于坐標原點對稱；

③若點P在曲線C上，則AFiPF,的面積大于，a2。

2

其中，所有正確結論的序號是。

三、解答題共6小題，共80分，解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。

15.(本小題共13分)

TT

已知函數，(九)=4cosxsin(x+—)-1。

(I)求了。)的最小正周期:

(II)求/(幻在區間-二7T巴TT上的最大值和最小值。

16.(本小題共14分)

如圖，在四棱錐P—A3CD中，PAJ.平面A3CO,底面A8CD是菱形，AB=2,ZB4Z)=60.

(I)求證：8DJ_平面PAC;

(II)若PA=A8,求P8與AC所成角的余弦值；

(III)當平面P8C與平面PQC垂直時，求PA的長.

17.本小題共13分

以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組個四名同學的植樹棵樹。乙組記錄中有一個數據模糊，無法確認,

在圖中以X表示。

甲組乙組

990X89

1110

（I）如果X=8,求乙組同學植樹棵樹的平均數和方差；

（II）如果X=9,分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學，求這兩名同學的植樹總棵樹Y的分

布列和數學期望。

（注：方差S?=▲［（%］-X）+（工2-尤）++（X"-X）］,其中X為玉，X2,...X”的平均

數）

18.（本小題共13分）

X

已知函數/（工）=（工一女）2〃。

（I）求/（X）的單調區間；

（H）若對于任意的xe（0,-8）,都有/（x）wl,求&的取值范圍。

e

19.（本小題共14分）

V*2

已知橢圓G：--b）＞2=l.過點（,",0）作圓+y2=1的切線/交橢圓G于A,B兩點.

4

（I）求橢圓G的焦點坐標和離心率；

（II）將|AB|表示為，”的函數，并求的最大值.

20.（本小題共13分）

若數列4=4，%…M22滿足舊用一4=1（左=1,2,...,“一1）,數列A“為E數列，記

S（A）=4+4

(I)寫出一個滿足4=%=0,且5(A)〉0的E數列4,；

(11)若q=12,n=2000,證明：E數列4“是遞增數列的充要條件是%=2019：

(III)對任意給定的整數n(nN2),是否存在首項為0的E數列4,使得5(4)=0?如果存在,

寫出一個滿足條件的E數列4.；如果不存在，說明理由。

參考答案

一、選擇題(共8小題,每小題5分，共40分)

(DC(2)A(3)B(4)D

(5)A(6)D(7)C(8)C

二、填空題(共6小題,每小題5分，共30分)

2/c__

(9)----2VT5(10)1

5

(11)—22"-1--(12)14

2

(13)(0,1)(14)②③

三、解答題(共6小題，共80分)

(15)(共13分)

解：(I)因為f(x)=4cosxsin(x+—)-1

6

4cossinx+gcosx)—l

=V3sin2x+2cos2x-1

=V3sin2x+cos2x

71

-2sin(2x+—)

所以/(x)的最小正周期為萬

(II)因為—工，所以一工42》+工4里.

64663

TTTTTT

于是，當2%+二=一，即無="時，/0)取得最大值2；

626

jrjrjr

當2x+/=-丁，即x=-二時,/(x)取得最小值一1.

666

(16)(共14分)

證明：(I)因為四邊形ABCD是菱形，

所以AC_LBD.

又因為PA_L平面ABCD.

所以PA1BD.

所以BD_L平面PAC.

(II)設ACCBD=O.

因為NBAD=60°,PA=PB=2,

所以B0=l,AO=CO=A/3.

如圖，以0為坐標原點，建立空間直角坐標系O—xyz,則

P(0,一52),A(0,—V3,0),B(1,0,0),C(0,V3,0).

所以麗=(1,73-2),AC=(0,2>/3,0).

設PB與AC所成角為。，則

八PBAC6V6

COS":~.=—k-------尸=——.

\PB\-\AC\2V2x2V34

(III)由(H)知瑟=(-1,百,0).

設P(0,--\/3,t)(t>0),

則麗=(-1,-島)

設平面PBC的法向量m=(x,y,z),

則衣?機=0,而加=0

-x+3.Jy=0,

所以《；

-x—J3y+?z-0

令y=y/3,則x=3,z=

所以"2=(3,J5,9)

t

同理，平面PDC的法向量〃=(-3,75,3

t

因為平面PCB_L平面PDC,

所以加?〃=(),即—6+*=0

t

解得。=而

所以PA=J^

(17)(共13分)

解(1)當X=8時，由莖葉圖可知，乙組同學的植樹棵數是：8,8,9,10,

所以平均數為

x-=-8+-8-+-9-+-10=—35;

44

方差為

2222

5^1[(8-^)+(8-^)+(9-^)+(10-^)]=11.

4444416

(0)當X=9時，由莖葉圖可知，甲組同學的植樹棵樹是：9,9,11,11；乙組同學的

植樹棵數是：9,8,9,10。分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學，共有4x4=16種可能

的結果，這兩名同學植樹總棵數Y的可能取值為17,18,19,20,21事件“Y=17”等價于“甲

組選出的同學植樹9棵，乙組選出的同學植樹8棵”所以該事件有2種可能的結果，因此P

同理可得p（y=18）=,；p（y=19）=-；p（y=20）=-；p（y=21）=-.

4448

所以隨機變量Y的分布列為：

Y1718192021

\_J_j_j_

P

84448

EY=17xP(Y=17)+18xP(Y=18)+19xP(Y=19)+20xP(Y=20)+21xP(Y=21)

11111

=17x-+18x-+19x-+20x-+21x-

84448

=19

(18)(共13分)

i二

解：(I)f'(x)=-(x2-k2)e'.

k

令/■'(0)=0,得x=±Z.

當k>0時，/（x）與/'（x）的情況如下

X(-00,-A:)-k(-k,k)k(Z,+8)

f'M+0—0+

/(x)/4^e」0/

所以，/。）的單調遞減區間是（一8,—攵）和（％,+8）;單高層區間是（—%,女）當k<0時,

/（X）與/?'（%）的情況如下

X(-oo,-Zr)-k(一%,k)k(%,+8)

f'(x)一0+0—

f(x)0/4k2e-'

所以，/（X）的單調遞減區間是（-00,-左）和水,+8）;單高層區間是（人,-公

出11

(H)當k>0時，因為/(Z+l)=e*>-,所以不會有Vxe(0,+oo),/(x)4一.

4左2

當k<0時，由（I）知/⑴在（0,+00）上的最大值是/（一6=——

14k-1

所以Vxe(O,+x>),/U)<-等價于f一(一口=一<-.

eee

解得一‘<％<().

2

故當Vxe(0,-hx),/(%)W1.時，k的取值范圍是[—」,()).

e2

(19)(共14分)

解：(I)由已知得。=2,6=1,

所以C=M_"2

所以橢圓G的焦點坐標為(一J5,0),(6。)

離心率為e=—=

a2

(II)由題意知,|m|>l.

當機=1時，切線1的方程x=l,點A、B的坐標分別為一方-),

此時IABI=J5

當m=-1時，同理可得|AB|=

當|相|>1時，設切線1的方程為丁=左"一加),

y=k(x-/ri),

由v得(1+4公)/-Sk2mx+4k2m2-4=0

—+/=1.

U)

設A、B兩點的坐標分別為(內，必)(%2，%)，則

8公利422m2_4

x{+x2177記'~無2=1+小

又由/與圓/+y2=1相切，得即/上2=公+1.

AF+1

所以IA8|=)(七一七)2+(為一%)2

424(4//”2—4)

(1+公)[64km

(1+442)21+就2

461ml

m2+3

由于當加=±3時，\AB\=V3,

所以依上乎詈皿yfuue

4向〃?|473-

因為IAB卜2,

tn2+3V~

|m|+—

Im\

且當加=±G時，|AB|=2,所以|AB|的最大值為2.

（20）（共13分）

解：（I）0,1,2,1,0是一具滿足條件的E數列A5。

（答案不唯一，0,1,0,1,0