2019年高考理科數學二輪復習精選練習

壓軸題增分練+規范練+限時標準練

28份

雪2019高考數學（理）二輪精選練習：規通練1

省2019高考教學（理）二輪精選練習：規范練2

當2019高考教學（理）二輪精選練習：規范練3

力2019高考數學（理）二輪精選練習：規范練4

切2019高考數學（理）二輪精選練習：規范練5

電］2019高考數學（S）二輪精選練習：規而練6

空］2019高考數字（理）二輪精選練習：限時標準練1

嘴2019高考數學（理）二輪精選練習：限時標準練2

藝2019高考數學（理）二輪精選練習：限時標準練3

■2019高考數學（理）二輪精選練習：限時標準練4

■2019高考教學（理）二輪精選練習：限時標準薛5

力2019高考數字（理）二輪精選練習：限時標準練6

藝2019高考數學（理）二輪精選練習：限時標準練7

為2019高考數學（理）二輪精選練習：限時標準練8

包12019高考數學（理）二輪精選練習：壓軸題增分練1

包2019高考數字（理）二輪精選練習：壓軸題增分練2

理2019高考數學（理）二輪精選練習：壓軸題增分練3

n2019高考數學（理）二輪精選練習：壓軸題增分練4

（一）基礎得分，天天練

“3+2選1”規范練（一）

（時間：45分鐘滿分：46分）

1.（12分）設函數f（JC）=sin12>z+等）+當sin21r—坐

\3/33

2

COS\z.

（1）求fCz）的最小正周期及其圖象的對稱軸方程；

（2）將函數/.（/）的圖象向右平移等個單位長度，得到函數

g（Z）的圖象，求g（7）在區間一強,看上的值域.

0O

［規范解答及評分標準］（1）/（1）=4sin2i+坐cos2i

_叵

TCOS2JT

卜會OS2L條in（2z+與

=：sin2i（2分）

乙

所以/（1）的最小正周期為T=—=7T.（4分）

令功+親=妹十號（在Z）,得對稱軸方程為尸竽+于

GGZ）.....................................（6分）

（2）將函數人x）的圖象向右平移1個單位長度.

得到函數g（x）邛sin［2（V）+/一坐cos〃的圖象，

即g（x）=—3cos2x?（8分）

當聞冷,知時，

「

2%eL-731，T27jr,l

可得cos2xw［—1,（10分）

所以一坐cos2xW—坐，*］，

即函數g（x）在區間［一去力上的值域是一坐，平.（12分）

2.（12分）如圖所示，在四棱錐P—ABCD中，平面以。，平面ABCD,底面ABCD是

正方形，且B4=PO,ZAPD=90°.

(1)證明：平面以B_L平面PC￡>；

(2)求二面角A—PB—C的余弦值.

［規范解答及評分標準］(1)證明：I.底面A8C。為正方形，，。。，力力.

?.?平面雨力，平面ABC。，平面以力ri平面ABCO=4D,CDU平面ABC。,

；.C￡>_L平面PAD.(2分)

又：4PU平面以￡),：.CDLAP.

?：PDLAP,CDHPD=D,.,.AP，平面PCD(4分)

：APU平面以8,二平面以BJ_平面PCD.(6分)

(2)如圖，取A。的中點。，8c的中點Q,連接PO,0Q,則OQLAD

,：PA=PD,：.POLAD,，PO_L底面ABCD

以0為原點，分別以殖，OQ,舁的方向為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐

標系，如圖.

不妨設正方形的邊長為2,則4(1,0,。)，5(1,2,0),C(-1,2,0),尸(0,0,1),

二麗=(1,0,-1),而=(1,2,-1),元=(一1,2,-1).

設平面AP8的法向量為"i=(xi，y”zi),

nPA=0,X\-Z]=0,

則|l即彳f八取的=1,則yi=0,zi=l,

Ai?2j|—Zj=O,

nvPB=0,

???平面APB的一個法向量為川=（1Q1）.（8分）

設平面8cp的法向量為〃2=（必，＞2，Z2）,

nrPC=O,一X2+2y2-Z2=0,

則<即彳\取"=1，則M=o,Z2=2,

麗人2+2”一Z2=0,

、〃2.=0,

???平面8cp的一個法向量為〃2=（0,1,2）.（10分）

鹿___________2____

/.COS〈〃”"2〉

~\n^\n2\~y[2Xy{5~5,

由圖知所求二面角的平面角為鈍角，故二面角A—PB—C的余弦值為一邛.（12分）

3.（12分）有一個類似計步數據庫的公眾賬號，用戶只需以運動手環或手機協處理器的

運動數據為介，然后關注該公眾號，就能看見自己與好友每日行走的步數，并在同一排行榜

上得以體現.現隨機選取某人朋友圈中的50人記錄了他們某一天的走路步數，并將數據整

理如下表：

步數0-30003001—60006001—80008001—1000010000以上

男性人數127155

女性人數03791

規定：人一天行走的步數超過8000時被系統評定為“積極性”，否則被評定為“懈怠

性”.

（1）以這50人一天行走的步數的頻率代替1人一天行走的步數發生的概率，記X表示隨

機抽取3人中被系統評定為“積極性”的人數，求P（XW2）和X的數學期望；

（2）為了調查評定系統的合理性，擬從這50人中先抽取10人（男性6人，女性4人）.其

中男性中被系統評定為“積極性'”的有4人，“懈怠性\”的有2人，從中任意選取3人，

記選到“積極性'”的人數為無；其中女性中被系統評定為“積極性”和“懈怠性”的均有2

人，從中任意選取2人，記選到“積極性”的人數為y.求的概率.

［規范解答及評分標準］⑴被系統評定為“積極性”的概率為瑞=|,X?B（3,1）.

故P（XW2）=1—（|）3=言，（4分）

39

X的數學期望氏%）=3義5=亍（6分）

(2)“x>y”包含“x=3,y=2","x=3,y=l”,“x=3,y=0"，“x=2,y=l”,“x

=2,y=0”,“x=l,y=0”.

P(x=3,y=2)=fix|I=^,p(x=3,y=l)=|jx詈=1，

z~13c（）c2［c2clIir\

?--、L4、/I__?、L4C2、/Z

P（x=3,產0）=&X背—P（zx=2,產1）=討義官=5,

1「0「21-0「21

P（x=2,尸0）=言X宕=m,P（X=1,產0）=者義宣=而.

所以尸（9），）=++1+4+］+*++=1|.（12分）

選考題：共10分.請考生在第4、5題中任選一題作答.如果多做，那么按所做的第一

題計分.

4.［選修4一4：坐標系與參數方程］（10分）

X=tCOSClt

在直角坐標系xOy中，傾斜角為a的直線/的參數方程為,。為參數），以

y=1+/sina

坐標原點。為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為"sin?。一

2小cos0=0.

（1）寫出直線/的普通方程和曲線C的直角坐標方程；

（2）已知點P（0,l）,點0（小，0）,直線/過點Q與曲線C相交于A,B兩點、,設線段AB

的中點為M，求的值.

［規范解答及評分標準］⑴由直線/的參數方程消去t,得I的普通方程為xsina-ycosa

+cos?=0.（3分）

由網/。一2小cos0=0,得22疝20-2小〃cos6=0,則曲線C的直角坐標方程為）?=2小

x.（5分）

（2）易得點P（0,l）在直線/上，所以tana=%pQ=*'=一乎，解得a=知.所以/的參數

f=_曷

I2f,

方程為j（7分）

尸十%

代入尸=2小x中，得上+16工+4=0.（8分）

設A,B,M所對應的參數分別為小缶t0,則力="互=一8,

所以|PM|=|fol=8.（lO分）

5.［選修4-5：不等式選講］（10分）

已知函數/（尤）=卜一2|+仇+3|.

（1）解不等式段）＞6；

（2）若關于x的不等式or-1恒成立，求實數a的取值范圍.

［規范解答及評分標準］（1）因為*x）=

—2x—1,x<—3,

,5,—3WxW2,（1分）

,2JV+1,x>2,

7

所以當x<一3時，由式》）>6,得一2x—1>6,解得x<一］；（2分）

當一3WxW2時，由凡x）>6,得5>6,無解；（3分）

當x>2時，由兀r）>6,得2r+l>6,解得x§.（4分）

綜上所述，不等式犬x）>6的解集為

（2）令g（x）=or-l,則g（x）的圖象是恒過點（0,-1）的直線.

當直線8。）=依一1過點（一3,5）時，得5=—3”一1,解得〃=一2；當直線g（x）=ax—l

與直線y=2x+l平行時，“=2.（7分）

因為關于x的不等式"一1勺（x）恒成立，

所以綜合圖象可得一2Wa<2.（9分）

所以實數a的取值范圍為［-2,2］.（10分）”

3+2選1”規范練（二）

（時間：45分鐘滿分：46分）

1.（12分）設函數y（x）=sinA（小cosx+siar）一：

（1）求函數?r）的遞增區間；

（2）在△ABC中，a,h,c分別為內角A,B,C的對邊，若/8）=1,h=2,且〃（2—cosA）

="（cosB+l）,求△ABC的面積.

,i31—COS2JV]

[規范解答及評分標準]⑴函數X%)=sinA(V3cosx+siar)—2=2s*n2x~*?~~2=

坐sin2x—Tcos2^=sin(2x—§.(3分)

由2E—]W2x—Z),得E—Z).

所以函數段)的遞增區間為[e—^^+f]aez).(6分)

(2)因為y(B)=l,即sin(23一襲)=1,

所以2B—^=2E+](A￡Z),所以8=E+界￡Z).

因為B是三角形的內角，所以8=?(8分)

又因為伙2—cosA)=a(cosB+1),

所以由正弦定理，得sinB(2—cosA)=sinA(cosB+1),

所以2sinB=sinA+sinAcosB+cosAsinB=sinA+sin(A+B)=sinA+sinC,所以2b=a+c.

因為b=2,B=W，所以由余弦定理，得/=/+C2—ac,

所以b2=(a+c)2—3ac,所以a=層=4.(10分)

所以S=Jacsin8=Wx4Xsin：=2義坐=小.

故△A8C的面積為小.(12分)

2.(12分)某省電視臺為了解該省衛視一檔成語類節目的收視情況，抽查東、西部各5

個城市，得到觀看該節目的人數的統計數據(單位：千人)，并畫出如下莖葉圖，其中一個數

字被污損.

西部

988337

2109?9

(I)求東部各城市觀看該節目的觀眾的平均人數超過西部各城市觀看該節目的觀眾的平

均人數的概率；

(2)該節目的播出極大地激發了觀眾對成語知識學習積累的熱情，現從觀看節目的觀眾

中隨機統計了4位觀眾學習成語知識的周均時間(單位：小時)與年齡(單位：歲)，并制作了

如下對照表：

年齡X20304050

周均學習成語知識時間y2.5344.5

AAA

根據表中數據，試求線性回歸方程），=〃x+a,并預測年齡為50歲的觀眾周均學習成語

知識的時間.

n__

lAiy—nxy

/=1

AA—A一

參考公式：b=,a=y-bx,

力；一〃尸

X=1

［規范解答及評分標準I（1）設被污損的數字為“，則。有10種情況.

由88+89+90+91+92>83+83+87+90+a+99,得a<8,（2分）

,有8種情況使得東部各城市觀看該節目的觀眾的平均人數超過西部各城市觀看該節

目的觀眾的平均人數，

s4

所求概率為正=亍（4分）

（2）由表中數據，計算得提=35,7=3.5,（6分）

4__

SXyTxy

A2^____________________525-4X35X3.5__7_

b=-4Z-=5400—4義352=而

萬24x2

i=l

A—A—721

a—y—bx=3.5—同X35=4.（8分）

.A721

??y=75^+而.（io分）

當x=50時，y=4.55.

即預測年齡為50歲的觀眾周均學習成語知識的時間為4.55小時.（12分）

3.（12分）在如圖所示的多面體中，四邊形4BCD是平行四邊形，四邊形BDE尸是矩形，

TT

力E_L平面ABC。，NABD=q,AB=2AD.

(1)求證：平面8OEF_L平面ADE；

(2)若EZ)=8。，求AF與平面AEC所成角的正弦值.

TT

I規范解答及評分標準I(1)證明：在△AB。中，NABD=q,AB=2AD,

ABADABsin6

由正弦定理得-7,nn=~/4r>n''.sinNAZ)8=TVJ-=1,

sinZADBsinZABDAL)

：.ZADB=^,即BD1AD.(2分)

：Z)E_L平面ABC。，8￡>u平面ABC。，，。石！.〃。.。分)

又AQC￡)￡=￡),平面AQE.

BOu平面BDEF,：.平面BDEFL平面ADE.(f)分)

(2)由(1)可知，在RtZ\AB￡>中，ZBAD=^,BD=y[3AD.

設40=1,則BD=ED=小.

以。為坐標原點，DA,DB,OE所在直線分別為x軸、)，軸、z軸建立空間直角坐標系,

如圖所示.

則A（l,0,0）,c（-l,50）,E（0,0,小）,F（0,小,小），.?.靠=（-1,0,小）,AC=

(-2,^3,0),#=(一1,小，蟲).(8分)

設平面AEC的法向量為〃=(x,y9z).

n-AE=O,-x+*\/§z=O,

由＜,

=-2x+yj3y=0.

n-AC09

令z=l,則工=小，y=2.

???平面AEC的一個法向量為〃=（/，2/）.（9分）

../I^2.公、

..|cos〈〃，AF）\=_一］4411分）

\n\-\AF\

二直線AF與平面AEC所成角的正弦值為春.（12分）

選考題：共10分.請考生在第4、5題中任選一題作答.如果多做，那么按所做的第一

題計分.

4.［選修4一4：坐標系與參數方程］（10分）

\x=t,

在平面直角坐標系中，直線/的參數方程是（f為參數）.以坐標原點為極點，X

ly=2r

軸的非負半軸為極軸，建立極坐標系.已知曲線C的極坐標方程為“+23布。-3=0.

（1）求直線/的極坐標方程；

（2）若直線/與曲線C相交于A,8兩點，求|AB|的值.

［規范解答及評分標準］⑴由"消去f得y=2x.

ly=2t,

|x=pcos仇

把彳代入y=2x9得psin0=2/）cosa

［y=psin。

???直線/的極坐標方程為sin0=2cos0.（5分）

222

（2）V/?=x+y,y=psin09

二曲線C的方程可化為』+丁+2），-3=0,即d+（y+D2=4.

.?.圓c的圓心c（o,—1）到直線/的距離〃=乎.

\AB\-10分）

5.［選修4-5：不等式選講］（10分）

已知函數fix）=\ax—\\—（a—2）x.

（1）當。=3時,求不等式段）＞0的解集；

（2）若函數/犬）的圖象與x軸沒有交點，求實數。的取值范圍.

［規范解答及評分標準］（1）當。=3時，不等式可化為|3X一1|一心＞0,即|3x—l|＞x,

/.3x—1<-x或3x-l>xf

解得或X>|.（4分）

2x—1,

{2（1—a）x+l,x<~,

p-l>0,

要使函數人元）的圖象與x軸沒有交點，只需產即1W“<2.

12（1—）W0,

當a=0時，y（x）=2x+l,函數y（x）的圖象與x軸有交點.

j2x—1,X母，

當〃<0時，式x）={

1^2（1—6Z）x+l,x>~.

P-KO,

要使函數火x）的圖象與x軸沒有交點，只需此時〃無解.

.2（1—a）W0,

綜上所述，當lWa<2時，函數段）的圖象與x軸沒有交點.（10分）“

3+2選1”規范練(三)

(時間：45分鐘滿分：46分)

1.(12分)在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,6,c,且滿足cc^A+cos2c-

=1+sinAsinC.

(1)求角B的大小；

(2)若a=3,點。在AC邊上且BD_LAC,既坐，求c.

【規范解答及評分標準］(1)由cc^A+cos?。一cos^Bul+sinAsinC得1—sin?A+1—sin?C

—(1—sin2B)=1+sinAsinC.

即sin2A+sin2C-sin2B=-sinAsinC.(3分)

由正弦定理得a1+c1—b1=-ac,

22-2

,人r、、-口6F+CZ?1

由余弦定理仔cosB=---荻---=一亍

因為8￡(0,兀)，所以因=筆(6分)

(2)由(1)及a=3知，b2=cr-\-c2-\~ac=zc2-\-3c~\~9.

因為BD±AC,

所以△ABC的面積S=］acsin/ABC=a-BD（9分）

所以^X3XcX坐=4X〃X耳/，解得b=*

所以停）2=f2+3c+9,解得c=5（負值已舍去）.（12分）

2.（12分）如圖，四棱錐P—A8CD中，△B4D為等邊三角形，ABHCD,AB^ICD,Z

540=90°,PAA.CD,E為棱PB的中點.

⑴求證：平面以平面CDE；

（2）若直線PC與平面PAD所成角為45°,求二面角A—DE—C的余弦值.

［規范解答及評分標準］（1）證明：如圖，取AP的中點為凡連接E凡DF.

；E為尸8的中點，EF年號4B.

又；CD*AB,：.CDEF.

二四邊形CDFE為平行四邊形.DF〃CE.

?.?△以。為等邊三角形，J.PAVDF,從而用_LCE.（3分）

又如_LCD,CDC\CE=C,，以1.平面COE

又出U平面B48,二平面鞏B_L平面C￡>￡（6分）

⑵；AB〃C￡>,PALCD,S.PAA.AB.

p

"：ZBAD=90°,：.AB±AD.

又?..fi4CAQ=A,：.A8_L平面3D

；.C￡）J_平面mD,為PC與平面以。所成的角，即NCPO=45。，，CO=PD

：△物￡）為等邊三角形，：.PD=AD,：.CD=AD.

以A為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系.

設4￡>=4,則A（0,0,0）,8（8,0,0）,P（0,2,2小），0（0,4,0）,E（4,l,小），

.?.矗=（4,1,小），布=（0,4,0）.（8分）

設平面AOE的法向量為"=（x,y,z）,

n-AE-0,（4x+y+小z=0,

L-Ab=0,14y=0.

令Z=-4,則］=小，y=0.「?〃=（小，0,—4）.（9分）

由（1）知，平面COE的一個法向量為贏=（0,2,25），（10分）

.,.cos（AP,n）=電泣=―嚼■人11分）

\AP\M

由圖可知二面角A—Z）￡—C的平面角為鈍角，

二二面角A—￡>E—C的余弦值為一需^.（12分）

3.（12分）某電商2018年計劃與所在地區的櫻桃果園合作進行櫻桃的銷售，為了了解該

地區果園的櫻桃銷售情況，現從中隨機抽取60個櫻桃果園，統計各果園2017年的銷售量（單

位：萬斤），得到下面的頻率分布直方圖.

(1)從樣本中銷售量不低于9萬斤的果園中隨機選取3個，求銷售量不低于10萬斤的果

園的個數X的分布列及其數學期望；

(2)該電商經過6天的試運營，得到銷售量(單位：萬斤)的情況統計表如下:

運營第〃天123456

第〃天電商的銷售量為1.211.311.451.712.022.54

根據相關性分析，前“天累計總銷量。與"之間具有較強的線性相關關系，由最小二

AA

乘法得回歸直線方程為7=1.78〃+“，用樣本估計總體的思想，預測該電商至少運營多少天

可使總銷量不低于該地區各果園2017年的平均銷量的2倍.

注：1.前八天累計總銷售量7；=七以

2.在頻率分布直方圖中，同一組數據用該區間的中點值作為代表.

3.1斤=0.5千克.

I規范解答及評分標準I(1)由頻率分布直方圖可得樣本中2017年銷售量不低于9萬斤

的果園有(0.10+0.05)X60=9(個)，銷售量不低于10萬斤的果園有0.05X60=3(個).(2分)

隨機變量X的可能取值為0,1,2,3.

C

n6XC115

-U)一氐一2|>/(A-1)一Q?一28，

以xc：3以1

P(X=2)=bFP(X=3)=木荷

.?.隨機變量X的分布列為

X0123

51531

P

21281484

（4分）

.?.E（_X）=0Xq+lX^+2x[+3X古=1.（6分）

（2）由運營期間銷售量的情況統計表可得前〃天累計總銷售量7；（單位：萬斤）如下表:

運營第〃天123456

前〃天累計總

1.212.523.975.687.7010.24

銷售量Tn

.—1+2+3+4+5+6

??n-7=3.5,

-1.21+2.52+3.97+5.68+7.70+10.24▼一八

T=--------------------------------------------------=5.22（萬斤）（8分）

AAAA

將樣本的中心點（3.5,5.22）代入回歸直線方程T=1.78〃+。，得。=-1.01,二T=1.78"-

1.01.（9分）

用頻率分布直方圖中各區間的中點值作為代表，估計該地區2017年的平均銷量為

4.5X0.05+5.5X0.15+6.5X0.20+7.5X0.30+8.5X0.15+9.5X0.10+10.5X0.05=7.35（萬

斤）.

由題意，得1.78〃-1.01214.7,解得"與8.83（11分）

???"WN*,...該電商至少運營9天可使總銷量不低于該地區各果園2017年的平均銷量的

2倍.（12分）

選考題：共10分.請考生在第4、5題中任選一題作答.如果多做，那么按所做的第一

題計分.

4.［選修4一4：坐標系與參數方程］（10分）

（x=-1+rcosa,

己知直線/的參數方程為,Q為參數）.以。為極點，x軸的非負半軸

［y=1+fsmct

為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為夕=外。$。+2.

（1）寫出直線/經過的定點的直角坐標，并求出曲線C的普通方程；

（2）若a=；,求直線/的極坐標方程，以及直線/與曲線C的交點的極坐標.

［規范解答及評分標準J⑴直線/經過定點（-1,1）.

由0=pcosO+2得p2=（pcose+2）2,

所以曲線C的普通方程為f+y2=a+2）2,

化簡，得y2=4x+4.（4分）

所以直線/的普通方程為y=x+2,

所以直線/的極坐標方程為psin0=pcosJ+2.（6分）

，=〃cos9+2,

jsin8=〃cose+2,

因為〃#0,所以sin0=l.取夕=。得"=2.

所以直線/與曲線C的交點的極坐標為（2,?.（10分）

5.［選修4-5：不等式選講］（10分）

已知函數yu）=lx—1|+僅一2|,記?x）的最小值為k.

（1）解不等式於）Wx+l；

（2）是否存在正數a,b同時滿足2〃+A=h：+尹4?說明理由.

［規范解答及評分標準］（1）不等式段）<+1等價于|x—l|+|x—2|一L1W0.

2—3x,x<\,

—x,KW2,

%—4,x>2.

21

令yWO,解得

二原不等式的解集是［r］|wxW4卜4分）

（2）/（x）=k-l|+k-2|>k-l-x+2|=l,當且僅當（X-1）（X-2）WO,即1WXW2時取等

號，所以人工）的最小值為1,故&=i.（6分）

假設存在符合條件的正數a,b,則2a+b=l,

?日+/（評）（2。+力=4+￡+半》4+2氈庠=8,當且僅當臺當時取等號，XV

2a+h=1,???〃=",b=；.（8分）

1712

?。+的最小值為8,艮吟+眾4.

1?

.二不存在正數db,使得2a+b=l,工+石=4同時成立.（10分）

“3+2選1”規范練（四）

（時間：45分鐘滿分：46分）

1.（12分）在△A8C中，內角A,B,。所對的邊分別為a,b,c,且bcosA—〃cos8=2c.

（1）證明：tan5=_3tanA；

（2）若/+°2=〃2+小兒，且△ABC的面積為小，求。的值.

［規范解答及評分標準］（1）證明：根據正弦定理，

得sinBcosA-cosBsinA=2sinC=2sin(A+B),

/.sinBcosA—cosBsinA=2(sin8cosA+cosBsin>4),

整理，得sinBcosA=-3cosBsinA,/.tanB=-3tanA.(6分)

222

(2)由題意，得b+c—a=y［3hc9

.?+?一/小be小

..cosA=-赤—=2hc=2-

?0<71<兀，??A=w，??tariA=3，??tanB=(^3.

2nn

??'OvBv兀,???B=~7，??C=N，.\a=c.

3o

由S=3ncsin,=3X乎“2=小，得。=2(負值已舍去).(12分)

2.(12分)某高校通過自主招生方式在貴陽招收一名優秀的高三畢業生，經過層層篩選，

甲、乙兩名學生進入最后測試.該校設計了一個測試方案：甲、乙兩名學生各自從6個問題

中隨機抽3個問題.已知這6個問題中，學生甲能正確回答其中的4個問題，而學生乙能正

確回答每個問題的概率均為京甲、乙兩名學生對每個問題的回答都是相互獨立、互不影響

的.

(1)求甲、乙兩名學生共答對2個問題的概率;

(2)請從期望和方差的角度分析，甲、乙兩名學生哪位被錄取的可能性更大？

［規范解答及評分標準］(1)由題意可得，甲、乙兩名學生共答對2個問題的概率為

(2)設學生甲答對的題數為X,則X的所有可能取值為1,2,3.

3

“XT)一三:一5,RX—2)—可5,

P(X=3)=等

131

二E(X)=1X§+2X針3義『2.

/.D(X)=(1-2)2X1+(2-2)2X1+(3-2)2X|=|.(8分)

設學生乙答對的題數為匕則y的所有可能取值為0』,2,3.

由題意，知丫?B(3,D，

22I2

...E(y)=3Xg=2,￡>(y)=3X§X§=].

：.E(X)=E(Y),D(X)<D(Y).(11分)

二甲被錄取的可能性更大.(12分)

3.(12分)如圖，ABCQ是邊長為3的正方形，QE_L平面A8CC,AF//DE,且。E=6,

AF=2.

(1)試在線段BD上確定一點M的位置，使得AM〃平面BEF；

(2)求二面角A—BE—C的余弦值.

［規范解答及評分標準］

(1)如圖，取BE的三等分點K(靠近點B),過點K作KM//ED,交8。于點M,連接KF,

AM,則有KM=*E=2.

"AF//DE,AF=2.：.FA//KM,且FA=KM.

二四邊形E4MK為平行四邊形，

：.AM//FK.(3分)

:.FKU平面BEF,AMQ平面BEF,

〃平面BEF人4分)

...4條=蜉5=：,二胡為8。的一■個三等分點(靠近點B).(6分)

DLyL-JL/J

(2)以。為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(3,0,0),8(330),E(0,0,6),

C(0,3,0),.,.西=(3,3,-6),油=(0,3,0),病=(-3,0,0).(7分)

設平面AE8的法向量為〃=（為，力，Z］）,

nEB=O,[3XI+3}JI—6Z]=0,

則J即彳

,n-AB=0,13yi=0.

令為=1,則力=0,xi=2.

二平面AEB的一個法向量為"=(2,0,1).(8分)

設平面8CE的法向量為》1=(X2,丫2，Z2),

n-EB=0,[3^2+3^2-6Z2=0,

則.即

1-3X2=0.

.n-BC=0,

令Z2=l,則乃=0，￥2=2.

???平面3CE的一個法向量為m=（0,2,l）.（9分）

〃m2X0+0X2+1X11

/.cos〈〃，m)

一|M〃|—^P+l-V?+T-5-(11

:二面角A—BE—C為鈍二面角,

二二面角A—BE—C的余弦值為一點（12分）

選考題：共10分.請考生在第4、5題中任選一題作答.如果多做，那么按所做的第一

題計分.

4.［選修4一4：坐標系與參數方程］（10分）

fx=2cos0,

己知曲線C的參數方程為《廠（。為參數）.以平面直角坐標系xOy的原點O為

（_y=y］2sin0

極點，x軸的非負半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標系，設直線/的極坐標方程為

p（cos（）—y［2sin0）=6.

（1）求曲線C的普通方程和直線I的直角坐標方程；

(2)設尸為曲線C上任意一點，求點P到直線/的距離的最值.

x=2cos。，r

r得COS&C，sin6=

{y=\2sin0,乙

22

由cos20+sin%=1,得'+'=1.

fy2

故曲線C的普通方程為亍+5=1.（3分）

由p(cose—4^sinJ)=6及x=pcos3,y=psind得x—gy—6=0.

故直線/的直角坐標方程為x—也)，-6=0.(5分)

(2)由于尸為曲線C上任意一點，可設P(2cos仇&sin。).

由點到直線的距離公式，得點P到直線/的距離為

12cos0—&X娘sin。一6|21cosJ—sin。一3|

d=y[3=忑=

:?…2（3+也）6V3-2A/6673+2^6

:小’即34dW3

故點P到直線I的距離的最大值為述抖最小值為6于;2#([0分)

5.[選修4一5：不等式選講](10分)

設函數?x)=|x—a|+|2x—a|(aeR)；

(1)當a=2時，求不等式_/(x)>2的解集.

(2)若不等式恒成立，求實數〃的取值范圍.

3x—4,xN2,

［規范解答及評分標準］⑴當。=2時，,/（x）=|x-2|+|2x-2|=<x,la<2,（2分）

.4—3%,xWl.

當x22時，由/(x)=3x-4>2,得x>2；

當1令<2時，fl.x)=x>2,此時無解；

2

當xWl時，由式x)=-3x+4>2,得xq.

???不等式/U)>2的解集為卜卜<|或x>2卜5分)

(2)J(x)=\x-a\+x-+卜一32(%_〃)_(l劃+卜/=亨+卜一?卜當且僅當

(x-a)(x—時，等號成立.(7分)

VT?0,???於)2券，當且僅當尸制等號成立.(9分)

.二號>2,解得。<—4或〃>4.

故實數。的取值范圍是(一8,—4)U(4,+8).(］0分)

“3+2選1”規范練(五)

(時間：45分鐘滿分：46分)

1.(12分)若數列｛斯｝的前w項和為S,”首項0>0且2S“=成+a“(〃eN*).

(1)求數列｛斯｝的通項公式；

(2)若%>0(〃GN*),令由=,1上6，求數列｛乩｝的前〃項和幾

［規范解答及評分標準］(l)：*0,2S尸分+斯，?,?當九=1時,2sl=裙+〃”則。1=1.

當"12時,cinSfjSfj—［22，

即(〃〃+。〃-1)(〃”-%-1-1)一°，,,%——1或a”-即-i+1,

.?.a〃=(—1)1或an=n.(6分)

(2)'.'a?>0,：.a?-n,b”=”(〃+2)=赤-〃+2)

???7.=a4)+(9力+…+G-圭］

=gl+A*-表)=1-2(3常+2嚴分)

2.(12分)如圖，四邊形ABC。與BOEF均為菱形，放=尸(7,且/D4B=/OBF=60。.

(1)求證：BDEF-,

(2)求直線AD與平面ABF所成角的正弦值.

［規范解答及評分標準］(1)證明：設AC與BQ相交于點O,連接FQ

?.,四邊形4BCD為菱形，J.ACA.BD,且O為4c的中點.

'：FA=FC,J.ACLFO.

又FOCBD=O,.,.ACl.平面BDEF.(5分)

(2)

如圖，設AC與8。相交于點。，連接F。，DF.

:四邊形BOEF為菱形，且/。8尸=60。，

△Q