第十三講二次函數圖像與性 的函數叫做二次函數，當a 二次函數y＝ax2＋bx＋c的圖象 ，頂點坐標（ a的值 ，開口 拋物線與y軸的交點坐標 ．當c＞0時，與y軸 半軸有交點；當＜0時，與y軸 半軸有交點；當c＝0時，拋物線 若a＞0，當x＝若a＜0，當x＝

時，y有最小值，為 時，y有最大值， 當a＞0y隨x，在對稱軸的右側，yxa＜0y隨x，在對稱軸的右側．y隨x的增大而．當m＞0y＝ax2的圖象向平移個單位得到二次函數（x＋m)2的圖象；當k＞0時，二次函數y＝ax2的圖象向平移個單位得到二次函數y＝ax2＋k”右“”；上“”下“1（2017哈爾濱）拋物線y=﹣（x+）2﹣3的頂點坐標是（A（B（﹣C（D（﹣ A．y=（x+2）2+1B．y=（x+2）2﹣1C．y=（x﹣2）2+13（2017廣西）將如圖所示的拋物線向右平移1個單位長度，再向上平移3單位長度后，得到的拋物線解析式是（）y=（x﹣1）2+1B．y=（x+1）2+1C．y=2（x﹣1）2+1D．y=2（x+1）2+14.（2016·福建龍巖·4分）已知拋物線y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則|a﹣b+c|+|2a+b|=（）a+bB．a﹣2bC．a﹣by=(x+m)2-ny=mx+nyx

的圖象可能是 （第5題圖 yax2bxcxA（-2，0）By軸負半軸COB=OC.下列結論：①2bc2；②a1；③acb1；④ab0 其中正確的個數有 B．2 C．3 D．4知識點一、求二次函數圖象的頂點坐【例題（2017眉山）若一次函數y=（a+1）x+a的圖象過第一、三、四象限，則二次函數y=ax2﹣ax（ A．有最大值B．有最大值﹣C．有最小值D．有最小值﹣【考點】H7：二次函數的最值；F7：y=（a+1）x+a﹣1＜a＜0，y=（a+1）x+a∴a+1＞0故選D．【變式（2017隨州）對于二次函數y=x2﹣2mx﹣3，下列結論錯誤的是 A．它的圖象與xB．方程x2﹣2mx=3的兩根之積為﹣3C．它的圖象的對稱軸在yD．x＜m，yx【考點】HA：x；H3：【分析】直接利用二次函數與x軸交點個數、二次函數的性質以及二次函數與方【解答】解：A、∴二次函數的圖象與xB、方程x2﹣2mx=3的兩根之積為：=﹣3，故此選項正確，不合題意D、∵a=1＞0，∴x＜m，yx知識點二、二次函數圖象的增減性及其其它性（2015）yx2m1)x1x＞1y的增大而增大，而m（A．m【答案】

B．m

C．m

D．mxm1，∵當x＞1yx2m11m12（2016?鄂州）如圖，二次函數y=ax2+bx+c（a0）的圖象與x軸正半軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，對稱軸為直線x=2OA=OC，則下列結論：abc09a3b+c0c＞﹣1x的方程ax2+bx+c（a0）有一個根為﹣其中正確的結論個數有 A1個B2C3D4【分析】由二次函數圖象的開口方向、對稱軸及與y軸的交點可分別判斷出ab、c的符號，從而可判斷①；由圖象可知當x=3y＜0，可判斷②；由OA=OC，且OA＜1，可判斷③；把﹣代入方程整理可得ac2﹣bc+c=0，結合③可判斷④；從而可得出答案．【解答】解：由圖象開口向下，可知a0y軸的交點在x軸的下方，可知c0又對稱軸方程為x=2，所以﹣＞0，所以b＞0，abc0由圖象可知當x=3y0，9a+3b+c＞，故②錯誤；由圖象可知OA1，∵OA=OC，OC1﹣c1，∴c＞﹣1假設方程的一個根為x=﹣，把x=﹣代入方程可得﹣+c=0，整理可得ac﹣b+1=0兩邊同時乘cac2﹣bc+c=0即方程有一個根為x=﹣c，由②可知﹣c=OA，而當x=OA是方程的根，x=﹣c是方程的根，即假設成立，故④正確；綜上可知正確的結論有三個，故選C．【點評】本題主要考查二次函數的圖象和性質．熟練掌握圖象與系數的關系以及二次函數與方程、不等式的關系是解題的關鍵．特別是利用好題目中的OA=OC，是解題的關鍵．知識點三二次函數的對稱（2015）y=x2+2x，對稱軸是直線．【答案】(－1，－1)；x=－1．（2016·南充）拋物線y=x2+2x+3的對稱軸是 A．直線 B．直線 C．直線 D．直線【解答】解故選B．y=ax2+bx+c（a≠0，【例題】（2017?玉林）y=﹣2（x﹣m）2 A．開口向 B．對稱軸是 C．最大值為0D．與y軸不相【考點】H3：二次函數的性質；H7：y=﹣2（x﹣m）2（m，0故A、B、C故選（2016?天津）已知二次函數y=（x﹣h）2+1（h為常，在自變量x的值滿1x3的情況下，與其對應的函數值y的最小值為5則h的值為（）A1或﹣5B．﹣15C1或﹣3D1【分析】由解析式可知該函數在x=h時取得最小值1xhy隨x的增大而增大、當xhyx的增大而減小，根據1x3時，函數的最小值為5可分如下兩種情況：①若1x3h，當x=3y取得最小值51x3h，當x=3y得最小值5，分別列出關于h的方程求解即可．xhyx的增大而增大，當xhyx的增大而減小，h1x3x=1y取得最小值5，（1﹣h）2+1=5h=﹣1h=3（1x3h，當x=3y取得最小值5，（3﹣h）2+1=5解得h=5h=1（舍）．綜上h的值為﹣15，B．【點評】本題主要考查二次函數的性質和最值，根據二次函數的性質和最值分類討論是解題的關鍵．知識點五、二次函數圖象與系數的關x=1，下列結論： C．①②③【考點】H4：【分析由拋物線開口方向得到a＞0，然后利用拋物線拋物線的對稱軸得到b的符合，則可對①進行判斷；利用判別式的意義和拋物線與x軸有2個交點可對②進行判斷；利用x=1時，y＜0和c＜0可對③進行判斷；利用拋物線的對稱軸方b=﹣2a，x=﹣1，y＞0，即a﹣b+c＞0，則可對④進行判斷．∵拋物線的對稱軸為直線x=﹣∴ab＜0，∵拋物線與x2∴△=b2﹣4ac＞0，∵x=1而c＜0，∴a+b+2c＜0，∵拋物線的對稱軸為直線 x=﹣1，y＞0，即故選C．（02（10C（2，1，則實數b的取值范圍是（ A．b≤﹣2B．b＜﹣2C．b≥﹣2【考點】H4：【分析】拋物線經過Cb【解答】解：把C（2，1）y=x2+bx+1，得故bb≥﹣2．知識點六、二次函數圖象的A（1，m，B（4，n）點A'、B'．若曲線段AB掃過的面積為9（圖中的陰影部分則新圖象的函數表達式是（） 【考點】H6：A、BAAC∥x軸，交B′B的延長線于點C，則C（4，1，AC=4﹣1=3，根據平移的解：∵函數y=（x﹣2）2+1的圖象過點A（1，m，B（4，n∴m=（1﹣2）2+1=1，n=∴A（1，1，B（4，3過A作AC∥x軸，交B′B的延長線于點C，則C（4，1AB9（圖中的陰影部分即將函數y=（x﹣2）2+1的圖象沿y軸向上平移3個單位長度得到一條新函數y=（x﹣2）2+4．故選D．（2016·山東省濱州市·3分）在平面直角坐標系中，把一條拋物線先向上平移3個單位長度，然后繞原點選擇180°得到拋物線y=x2+5x+6，則原拋物線的 A．y=﹣（x﹣）2﹣B．y=﹣（x+）2﹣C．y=﹣（x﹣）2﹣180°3180°變為，y=﹣x2+5x﹣6，∴向下平移3個單位長度的解析式為y=﹣（x﹣）2+﹣3=﹣（x﹣）2﹣．故選A．【典例解析，，t01234567…h08…【例題1（2017山東臨沂）運動員將沿與地面成一定角度的方向踢，，t01234567…h08…下列結論：①距離地面的最大高度為20m；②飛行路線的對稱軸是直線t=；③被踢出9s時落地；④被踢出1.5s時距離地面的高度是11m，其中正確結論的個數是（） y=a（x﹣9可得y=a（x﹣9∴距離地面的最大高度為20.25m，故①錯誤t=4.5，∵t=9∴被踢出9s時落地，故③正確∵t=1.5，y=11.25，故選B．【例題2（2017山東泰安）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，點P從點AAC向點C1cm/s的速度運動，同時點Q從點CCB向點B2cm/s的速度運動（點Q運動到點B停止運動過程中，四邊形PABQ的面積最小值為（） 【考點】H7：4， 6t+24，PABQRt△ABC∴AC=t（0≤t≤4四邊形 =S =AC?BC﹣PC?CQ=×6×8﹣四邊形 t=3PABQ15．故選C．1【例題3（2017天水）如圖是拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象的一部（13（401（m≠0）與拋物線交于A，B①abc＞0；②方程ax2+bx+c=3有兩個相等的實數根；③拋物線與x軸的另一個交點是（﹣1，0；④當1＜x＜4時，有y2＞y1；⑤x（ax+b）≤a+b，其中正確的（只填寫序號）；H4拋物線與x【解答】解：由圖象可知：a＜0，b＞0，c＞0，abc＜0，y=3ax2+bx+c=3（﹣2，01＜x＜4時，有y2＜y1，故④錯誤，x=1，y1ax2+bx+c≤a+b+c，x（ax+b）≤a+b，故⑤正【例題4】（2016·攀枝花）如圖，二次函數y=ax2+bx+c（a＞0）圖象的頂點為D，其圖象與x軸的交點A、B的橫坐標分別為﹣1和3，則下列結論正確的是（）D．當a=時，△ABD是等腰直角三角【分析】由于拋物線與xA、B﹣1，3，x=1，y＜0，a+b+c＜0，Bx=﹣1，y=0，a﹣b+c=0b=﹣2aacC由a=，則b=﹣1，c=﹣，對稱軸x=1與x軸的交點為E，先求出頂點D的標，由三角形邊的關系得出△ADE△BDED【解答】解：∵拋物線與xA、B∴拋物線的對稱軸為直線x=1，則﹣∴選項A1x∴x=1，y＜0，∴選項B∵A∴a﹣b+c=0，∴選項C當a=，則b=﹣1，c=﹣，對稱軸x=1與x軸的交點為E，如圖把x=1代入得y=﹣1﹣=﹣2，∴D∴△ADE△BDE∴△ADB∴選項D故選D．y=ax2+bx+ca＞0，拋物線開口向上；拋物線的對稱軸為直線x=﹣；拋物線與y軸的交點坐標為1（2017（﹣1，0，x=1，有下列結論：2（﹣3，y2，則0⑤am2+bm+a≥0，其中所有正確的結論是②④⑤．2【考點】H4：）2+b?（﹣）+c=且a﹣b+c=0可判斷④；由x=1時函數y取得最小b=﹣2aa＞0，頂點在y軸右側，則b＜0，拋物線與y∴abc＞0，（﹣1，0y=ax2+bx+c（3，0x=3∴10a+3b+c＞0，x=1，∴y1＜y2當x=﹣時，y=a?（﹣）2+b?（﹣ x=﹣1∴當x=﹣時，y=a?（﹣）2+b?（﹣，0，x=my=am2+bm+c，x=1y=a+b+c，又∵x=1∴am2+bm+c≥a+b+c，熱點2：(2017咸寧)如圖，直線y=mx+n與拋物線y=ax2+bx+c交于A（﹣1p（4qx＞4．【考點】HC：二次函數與不等式（組x＜﹣1x＞4y=mx+ny=ax2+bx+cmx+n＞ax2+bx+cx＜﹣1x＞4．故答案為：x＜﹣1或x＞4．熱點3（2016·山東省菏澤市·3）（0≤x≤2）記為C1，它與x軸交于兩點O，A1；將C1繞A1旋轉180°得到C2，交x軸于A2；將C2繞A2旋轉180°得到C3，交x軸于A3；…如此進行下去，直至得到C6，若點P（11，m）6段拋物線C6m=﹣1．【考點】二次函數圖象與幾何變換；拋物線與x【分析】將這段拋物線C1通過配方法求出頂點坐標及拋物線與x旋轉的性質可以知道C1與C2的頂點到xOA1=A1A2，照此類推可以推導知道點P（11，m）C6的頂點，從而得到結果．【解答】解∴頂點坐標為∴A1坐標為∵C2由C1∴OA1=A1A2C2頂點坐標為（3，﹣1），A2（4，0）；照此類推可得，C3頂點坐標為（5，1），A3（6，0）；C4頂點坐標為（7，﹣1），A4（8，0）；C5頂點坐標為C6頂點坐標為故答案為一、選擇1.（2016·山東省濱州市·3分）拋物線y=2x2﹣2x+1與坐標軸的交點個是）yx2)21的圖象大致為（A．B．C．D．yxx，當x≥2，y（ 4.（2016·眉山·3分）若拋物線y=x2﹣2x+3不動，將平面直角坐標系 A．y=（x﹣2）2+3B．y=（x﹣2）2+5C．y=x2﹣15.y=ax2+bx+c（6．（2016·黃石·3分）以x為自變量的二次函數1的圖象不經過第三象限，則實數b的取值范圍是 A．b≥B．b≥1或 7.二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖，給出下列四個結論0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1，其中正確結論個數是（ ）A．4 B．3 C．2 D．18.（2016?沈陽）在平面直角坐標系中，二次函數y=x2+2x﹣3的圖象如圖所示，點A（x1y1B（x2y2）是該二次函數圖象上的兩點，其中﹣3≤x1＜x2≤0，則下列結論正確的是 A．y1＜y2 B．y1＞y2C．y的最小值是﹣ D．y的最小值是﹣9.（2016·黑龍江齊齊哈爾·3）y=ax2+bx+c（a≠0）的對稱（﹣1，0ax2+bx+c=0④當y＞0，x⑤當x＜0時，y隨x增大而增大其中結論正確的個數是 A．4個 B．3個 C．2個 D．1個二、填空題（每小題5分，滿分20分）10．二次函數yx24x3的頂點坐標是 11.（2016·黑龍江哈爾濱·3）二次函數y=2（x﹣3）2﹣4412（20171Ay=x2C拋物線的函數表達式變為（）A．y=x2+8x+14B．y=x2﹣8x+14C．y=x2+4x+3（﹣2，3， （2017南株洲）y=ax2+bx+cyC（x2，0B（0，﹣2﹣1；以上結論中正確結論的序號 15（2017?A（﹣1，1，B（2，（m，n①b＜1；②c＜2；③0＜m＜；④n≤1． （2017湖南株洲）已知二次函數b=1c=b2﹣2b，問：bxA（x1，0，B（x2，0M，ABM，lx直線BM、直線AM分別交于點D、E、F，且滿 =，求二次函數的表達式3 的圖象經過原點（00（203OAO60°OA′，A′是否為該函數【知識歸納y=ax2+bx+c(a≠0，a，b，ca=0，b≠0x=

，頂點坐標是（

4ac 開口向上；當a＜0；a4（0，c有交點；當c＝0（0，0．若a＞0，當x＝b時，y若a＜0，當x＝b時，y

4ac；4ac．【基礎檢測答案1（2017哈爾濱）拋物線y=﹣（x+）2﹣3的頂點坐標是 A（B（﹣ C（ D（﹣【考點】H3：【解答】解：y=﹣（x+）2﹣3是拋物線的頂點式，根據頂點式的坐標特點可知，頂點坐標為（﹣故選B． B．y=（x+2）2﹣1 【考點】H6：y=（x﹣2）2+1．故選3（2017 C．y=2（x﹣1）2+1【考點】H6：4.（2016·福建龍巖·4）y=ax2+bx+c 【分析】觀察函數圖象找出“a＞0，c=0，﹣2a＜b＜0”，由此即可得出b+c|=a﹣b，|2a+b|=2a+b，拋物線開口向上0＜﹣b故選D．5．yx+m)2nymxnyx

的圖象可能是 （第7題圖 【分析】先根據二次函數的圖象，確定m，nm，nymxnymnxx=﹣m<0，由頂點在第二象限-n>0，n<0x=1mn<0，ymnxm>0，n<0，ymxn經過一三四象限，故選C．m，n6.yax2bxcxA（-2，0）By軸負半軸COB=OC.下列結論：①2bc2；②a1；③acb1；④ab0 其中正確的個數有 B．2 C．3 D．4c，02，0，B（-定理知，②正確；利用a1acb12∵拋物線的對稱軸為直線x=﹣∵拋物線與yab0cOBB（-把B（-c，0）yax2bxc0ac2bc即acb12，0，B（-x12x2c是方程ax2bxc02caa12把a1帶入acb122bc2，故①正確故選C1.（2016·山東省濱州市·3分）拋物線y=2x2﹣2x+1與坐標軸的交點個是）【考點】拋物線與xx=0y=0y與x【解答】解：拋物線y=2x2﹣2x=0，y=1，y（0，1）；令y=0，得到2x2﹣2x+1=0，即（x﹣1）2=0，解得：x1=x2=，即拋物線與x軸交點為（故選C0，yx2)21的圖象大致為（A B． C． 【答案】（﹣2，﹣1yxx，當x≥2，y（ 【答案】x=2

yxx(x1)24x＞1y隨x的增大而減小，∴當x≥2時，y的取值范圍是y≤3，故選B．4.（2016·眉山·3分）若拋物線y=x2﹣2x+3不動，將平面直角坐標系 A．y=（x﹣2）2+3B．y=（x﹣2）2+5C．y=x2﹣1【解答】解：將平面直角坐標系xOy先沿水平方向向右平移一個單位，再沿鉛3y=（x﹣1+1）2+2﹣3=x2﹣1，故答案為C．5.y=ax2+bx+c（ C．b2﹣4ac＞0 【答案】試題分析：根據拋物線的開口方向對AB的函數值為正數對DA、拋物線開口向下，則a＜0A系式正確；B、拋物線的對稱軸在ya、bb＞0，所以B的關系式正確；C、拋物線與x2△=b2﹣4ac＞0D關系式正確；Dx=1，y＞0，a+b+c＞0，D6．（2016·黃石·3分）以x為自變量的二次函數y=x2﹣2（b﹣2）x+b2﹣1的圖象不經過第三象限，則實數b的取值范圍是 A．b≥B．b≥1或b≤﹣1C．b≥2【分析】由于二次函數y=x2﹣2（b﹣2）x+b2﹣1的圖象不經過第三象限，所以拋物線在x軸的上方或在x軸的下方經過一、二、四象限，根據二次項系數知道拋物線開口方向向上，由此可以確定拋物線與x軸有無交點，拋物線與y軸的交點的位置，由此即可得出關于b∴拋物線在x軸的上方或在x軸的下方經過一、二、四象限，當拋物線在x解得b≥；當拋物線在x設拋物線與xx1，x2， ∴x+x 由①得b＜，由②得故選A．位置得到關于b7.二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖，給出下列四個結論0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1，其中正確結論個數是（ ）A．4 3 C．2個D．1【答案】試題分析：∵拋物線和x軸有兩個交點∴4ac﹣b2＜0，∴①正確∵對稱軸是直線x﹣1，和x軸的一個交點在點（0，0）和點（1，0）之間∴拋物線和x軸的另一個交點在（﹣3，0）和（﹣2，0）之間∴把（﹣2，0）∴4a+c＞2b，∴②錯誤∵把（1，0）∴3b，2c＜0，∴③正確∴y=a﹣b+c的值最大（m，0（m≠0）m（am+b）+b＜a，∴④正確；38.（2016?沈陽）在平面直角坐標系中，二次函數y=x2+2x﹣3的圖象如圖所示，點A（x1y1B（x2y2）是該二次函數圖象上的兩點，其中﹣3≤x1＜x2≤0，則下列結論正確的是 A．y1＜y2B．y1＞y2Cy的最小值是﹣3Dy的最小值是﹣【分析】根據拋物線解析式求得拋物線的頂點坐標，結合函數圖象的增減性進行解答．y=x2+2x﹣3=（x+3（x﹣1則該拋物線與x軸的兩交點橫坐標分別是﹣3、1又y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4∴該拋物線的頂點坐標是（﹣1﹣4，對稱軸為x=﹣1．A、無法確定點A、B離對稱軸x=﹣1的遠近，故無法判斷y1y2的大小，故本選項錯誤；B、無法確定點A、B離對稱軸x=﹣1的遠近，故無法判斷y1y2的大小，故本選項錯誤；C、y的最小值是﹣4，故本選項錯誤；D、y的最小值是﹣4，故本選項正確．D．【點評】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征，二次函數的最值，解題時，利用了“數形結合”的數學思想．9.（2016·黑龍江齊齊哈爾·3）y=ax2+bx+c（a≠0）的對稱（﹣1，0 ax2+bx+c=0x=﹣1，x ④當y＞0，x⑤當x＜0時，y隨x增大而增大其中結論正確的個數是 A．4B．3C．2D．1【分析】利用拋物線與x（3，0b=﹣2a，x=﹣13a+c＜0，則可對③進行判斷；根據拋物線在x【解答】解：∵拋物線與x2∴b2﹣4ac＞0，而點（﹣1，0）x=1（3，0 ax2+bx+c=0x=﹣1，x ∵x=﹣=1，即x=﹣1，y＜0，即∴a+2a+c＜0，∵拋物線與x（﹣1，0（3，0∴當﹣1＜x＜3，y＞0，∴當x＜1，yx故選B．二、填空題（52010．二次函數yx24x3的頂點坐標是 （2，﹣7yx24x3(x2)27yx24x3﹣7（2，﹣711.（2016·黑龍江哈爾濱·3）二次函數y=2（x﹣3）2﹣44（3，﹣4故答案為12（20171Ay=x2C拋物線的函數表達式變為（）A．y=x2+8x+14B．y=x2﹣8x+14C．y=x2+4x+3【考點】H6：ABCDABCD∵AC∴AC∴C（﹣2，﹣1∴拋物線由AC42∵拋物線經過A∴拋物線經過Cy=（x+4）2﹣2=x2+8x+14，故選A．（﹣2，3， 324a=-1,2

得：3b-6a=32（2017湖南株洲如圖示二次函數y=ax2+bx+c的對稱軸在y右側，其圖象與x軸交A（﹣1，0）與點C（x2，0，且與y軸交于點B（0，﹣2，得到以下結論：①0＜a＜2；②﹣1＜b＜0；③c=﹣1；④當|a|=|b|時x2＞﹣1；以上結論中正確結論的序號為①④．【考點】HA：x；H4：B（0，﹣2（﹣102可得二次函數y=ax2+bx+c的對稱軸為y=，可得x=2，比較大小即可判斷④；2A（﹣1，0，B（0，﹣2∵對稱軸在y∴﹣∴﹣∵拋物線與yB（0，﹣2∴c=﹣2，∵拋物線圖象與xA（﹣1，0∴a﹣b﹣2