1第1頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第6章計(jì)算機(jī)的運(yùn)算方法(6)Floating-pointcomputationinacomputercanrunintothreekindsofproblems:Anoperationcanbemathematicallyillegal,suchasdivisionbyzero.Anoperationcanbelegalinprinciple,butnotsupportedbythespecificformat,forexample,calculatingthesquarerootof?1ortheinversesineof2(bothofwhichresultincomplexnumbers).Anoperationcanbelegalinprinciple,buttheresultcanbeimpossibletorepresentinthespecifiedformat,becausetheexponentistoolargeortoosmalltoencodeintheexponentfield.Suchaneventiscalledanoverflow(exponenttoolarge)orunderflow(exponenttoosmall).2第2頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期四§6.4浮點(diǎn)四則運(yùn)算Floating-PointArithmetic浮點(diǎn)加減法運(yùn)算浮點(diǎn)乘法運(yùn)算Floating-PointMultiplicationFloating-PointAddition&Subtraction浮點(diǎn)除法運(yùn)算Floating-PointDivision3第3頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期四浮點(diǎn)運(yùn)算Floating-PointArithmetic浮點(diǎn)運(yùn)算要把階碼和尾數(shù)分別處理。階碼的運(yùn)算是定點(diǎn)整數(shù)運(yùn)算，對(duì)階碼的運(yùn)算有四種：階碼加1，階碼減1，兩階碼求和，兩階碼求差。尾數(shù)的運(yùn)算是定點(diǎn)小數(shù)運(yùn)算。運(yùn)算過(guò)程中一般取雙符號(hào)位。浮點(diǎn)運(yùn)算器總是由處理階碼和處理尾數(shù)的兩部分組成。Floating-pointrepresentationissimilarinconcepttoscientificnotation.Thewayinwhichthesignificand,exponentandsignbitsareinternallystoredonacomputerisimplementation-dependent.4第4頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期四浮點(diǎn)數(shù)的溢出Overflow當(dāng)一個(gè)數(shù)的大小超出了浮點(diǎn)數(shù)的表示范圍時(shí)，機(jī)器無(wú)法表示該數(shù)，就發(fā)生溢出。浮點(diǎn)數(shù)的溢出判斷方法與定點(diǎn)數(shù)不同，是對(duì)規(guī)格化數(shù)的階碼Exponent進(jìn)行判斷。當(dāng)浮點(diǎn)數(shù)的階碼大于機(jī)器所能表示的最大階碼時(shí)（即階碼發(fā)生正溢出），稱為溢出或上溢，此時(shí)機(jī)器應(yīng)停止運(yùn)算，進(jìn)行出錯(cuò)中斷處理。當(dāng)浮點(diǎn)數(shù)的階碼小于機(jī)器所能表示的最小階碼時(shí)（即階碼發(fā)生負(fù)溢出），稱為下溢。這時(shí)一般規(guī)定把該浮點(diǎn)數(shù)的尾數(shù)強(qiáng)迫置零，作為零處理，機(jī)器可繼續(xù)運(yùn)行。當(dāng)一個(gè)浮點(diǎn)數(shù)的尾數(shù)為0，不論其階碼為何值，或者階碼的值小于等于它能表示的最小數(shù)值（下溢）時(shí)，不論其尾數(shù)為何值，計(jì)算機(jī)都把該浮點(diǎn)數(shù)看成零值，稱為機(jī)器零。浮點(diǎn)數(shù)的尾數(shù)運(yùn)算的溢出可以通過(guò)右規(guī)消除。5第5頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期四浮點(diǎn)加減法運(yùn)算Floating-PointAddition&Subtraction設(shè)有兩個(gè)規(guī)格化浮點(diǎn)數(shù)X=MX·2Ex， Y=MY·2Ey若兩數(shù)的階碼相等，即EX=EY，有X+Y=將兩浮點(diǎn)數(shù)的尾數(shù)相加，就可得到浮點(diǎn)形式的和。一般情況下，EX≠EY，計(jì)算X+Y要用如下五個(gè)步驟來(lái)完成：①對(duì)階②尾數(shù)相加③規(guī)格化④舍入⑤檢查階碼是否溢出。1、浮點(diǎn)加法運(yùn)算Floating-PointAdditionMX·2Ex+MY·2Ey=（MX+MY）·2Ex6第6頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期四(1)對(duì)階Alignment兩數(shù)相加，必須使小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊。對(duì)于浮點(diǎn)數(shù)來(lái)說(shuō)，就是使階碼相等。使階碼相等的過(guò)程稱為對(duì)階。對(duì)階的原則是：小的階碼向大階碼看齊。對(duì)階操作，首先比較兩數(shù)的階碼值的大小，即求ΔE=EX－EY，并保留其最大值E=MAX（EX，EY）作為和的階碼。當(dāng)ΔE≠0時(shí)，將階碼小的數(shù)的尾數(shù)右移|ΔE|位。尾數(shù)每右移一次將階碼加1，直至ΔE＝0。為了減少誤差，可用附加線路（Guardbits保留位）保留右移出的1位或幾位的高位，在以后的舍入操作時(shí)用。(2)尾數(shù)相加AddtheSignificands（Mantissa）完成對(duì)階后，將兩浮點(diǎn)數(shù)的尾數(shù)部分相加，方法與定點(diǎn)小數(shù)加法相同。7第7頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期四(3)規(guī)格化處理NormalizetheResult當(dāng)運(yùn)算結(jié)果的尾數(shù)部分不是規(guī)格化數(shù)（即不是00.1×…×或11.0×…×的形式）時(shí)，必須進(jìn)行規(guī)格化處理。規(guī)格化處理的規(guī)則：①若結(jié)果尾數(shù)的兩個(gè)符號(hào)位不同（01或10），表明尾數(shù)運(yùn)算結(jié)果溢出，應(yīng)進(jìn)行右規(guī)。將結(jié)果尾數(shù)右移一位，并將階碼的值加1。②若尾數(shù)的運(yùn)算結(jié)果不溢出，但最高數(shù)值位與符號(hào)位同值（即11.1或00.0），則應(yīng)進(jìn)行左規(guī)。將尾數(shù)連同符號(hào)位一起左移一位，并將和的階碼減1，如此反復(fù)直至尾數(shù)最高數(shù)值位與符號(hào)位不同為止。8第8頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期四(4)舍入操作Round在進(jìn)行對(duì)階或右規(guī)操作時(shí)，尾數(shù)低位的一位或幾位數(shù)值被移出。如果采用“截?cái)喾ā卑岩瞥龅臄?shù)位丟掉，會(huì)影響數(shù)值的精度。因此，可采用舍入法來(lái)減少誤差。①“0”舍“1”入法當(dāng)移出部分的最高位為1時(shí)在尾數(shù)末位加1，為0時(shí)則舍去移出的數(shù)值。此方法的最大誤差為2－(n+1)。“0”舍“1”入法由于有舍有入，舍入機(jī)會(huì)均等，有利于減少誤差積累。但對(duì)末位加1的操作可能引起一連串的進(jìn)位而使尾數(shù)溢出，此時(shí)還要再做一次右規(guī)。②末位恒置1法無(wú)論右移丟失的是何數(shù)值，一律將結(jié)果的末位置1。把尾數(shù)最低位的0置成1，對(duì)于正數(shù)，是使其值變大，對(duì)于負(fù)數(shù)補(bǔ)碼和反碼，則使其值變小。而舍入前尾數(shù)最低位已經(jīng)是1時(shí)，再置1無(wú)實(shí)際效用，與截?cái)喾o(wú)異。9第9頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期四(5)檢查階碼是否溢出ChecktheExponentOverfloworUnderflow若階碼正常，加減運(yùn)算正常結(jié)束；若階碼下溢，要置運(yùn)算結(jié)果為浮點(diǎn)形式的機(jī)器零；若階碼上溢，則置溢出標(biāo)志。【例1】浮點(diǎn)數(shù)的階碼為4位補(bǔ)碼，尾數(shù)為9位補(bǔ)碼。X＝0.11011011×2010，Y=（－0.10101100）×2100，求X+Y=?Roundingisusedwhentheexactresultofafloating-pointoperation(oraconversiontofloating-pointformat)wouldneedmoredigitsthantherearedigitsinthesignificand.Thereareseveraldifferentroundingschemes(orroundingmodes).10第10頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期四[例1]浮點(diǎn)數(shù)的階碼為4位補(bǔ)碼，尾數(shù)為9位補(bǔ)碼。求X+Y=?X＝0.11011011×2010，Y=（－0.10101100）×2100，解：[EX]補(bǔ)=0010，[EY]補(bǔ)=0100，[-EY]補(bǔ)=1100[MX]補(bǔ)=0.11011011，[MY]補(bǔ)=1.01010100①對(duì)階[ΔE]補(bǔ)=[EX]補(bǔ)－[EY]補(bǔ)=[EX]補(bǔ)＋[-EY]補(bǔ)=00010+11100=11110即ΔE＝－2。由于X的階碼小，應(yīng)使MX右移兩位，EX加2，[EX+Y]補(bǔ)=[EY]補(bǔ)=00100[MX]補(bǔ)=00.0011011011②尾數(shù)相加00.00110110+)11.0101010011.10001010[MX+Y]補(bǔ)=[MX]補(bǔ)+[MY]補(bǔ)=00.0011011011+11.01010100=11.100010101100010+

111001111011第11頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期四③規(guī)格化處理結(jié)果的符號(hào)位與最高數(shù)值位同值，應(yīng)進(jìn)行左規(guī)。尾數(shù)左移1位，階碼減1。[MX+Y]補(bǔ)=11.0001010110，[EX+Y]補(bǔ)=00011④舍入處理采用0舍1入法，[MX+Y]補(bǔ)=11.00010110⑤判斷溢出補(bǔ)碼表示的階碼的符號(hào)位為00，不溢出。結(jié)果：[MX+Y]補(bǔ)=1.00010110，[EX+Y]補(bǔ)=0011X＋Y＝（－0.11101010）×2011[例1]浮點(diǎn)數(shù)的階碼為4位補(bǔ)碼，尾數(shù)為9位補(bǔ)碼。求X+Y=?12第12頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2、浮點(diǎn)數(shù)減法Floating-PointSubtraction①對(duì)階，②尾數(shù)相減，③規(guī)格化，④舍入，⑤檢查階碼是否溢出。浮點(diǎn)數(shù)減法運(yùn)算的步驟：Thefactthatfloating-pointnumberscannotfaithfullymimictherealnumbers,andthatfloating-pointoperationscannotfaithfullymimictruearithmeticoperations,leadstomanysurprisingsituations.Thisisrelatedtothefiniteprecisionwithwhichcomputersgenerallyrepresentnumbers.13第13頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期四浮點(diǎn)乘法運(yùn)算Floating-PointMultiplication兩浮點(diǎn)數(shù)相乘，乘積的尾數(shù)為相乘兩數(shù)的尾數(shù)之積，階碼為兩數(shù)的階碼之和。即X·Y＝浮點(diǎn)乘法運(yùn)算可分為四個(gè)步驟：①階碼相加②尾數(shù)相乘③規(guī)格化和舍入處理④判斷溢出（MX·2Ex）·（MY·2Ey）=（MX·MY）·2Ex+Ey規(guī)格化浮點(diǎn)數(shù)X=MX·2Ex， Y=MY·2EyTomultiply,thesignificandsaremultipliedwhiletheexponentsareadded,andtheresultisroundedandnormalized.14第14頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期四①階碼相加AddExponent乘數(shù)和被乘數(shù)的階碼按定點(diǎn)整數(shù)補(bǔ)碼或移碼加法的規(guī)則相加，得到乘積的階碼。②尾數(shù)相乘MultiplySignificands（Mantissa）乘數(shù)和被乘數(shù)的尾數(shù)按定點(diǎn)小數(shù)（原碼或補(bǔ)碼）乘法運(yùn)算的方法相乘，得到乘積的尾數(shù)。③規(guī)格化和舍入處理Normalizing&Round規(guī)格化和舍入方法與浮點(diǎn)加減法處理的方法相同。但兩個(gè)數(shù)值位是m位的數(shù)相乘，乘積的數(shù)值位為2m位。舍入處理后，尾數(shù)只保留m個(gè)數(shù)值位。一般情況下，兩個(gè)規(guī)格化數(shù)相乘，尾數(shù)最多左規(guī)一次，因?yàn)閮蓚€(gè)純小數(shù)相乘是不會(huì)溢出的。但是有一個(gè)特例，當(dāng)尾數(shù)做補(bǔ)碼乘法的時(shí)候，如果乘數(shù)和被乘數(shù)尾數(shù)的值都是-1，則乘積的尾數(shù)的值是+1，此時(shí)需要做一次右規(guī)。第15頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期四④判斷溢出ChecktheExponentOverflowor

Underflow

檢查階碼是否溢出。若階碼正常，加減運(yùn)算正常結(jié)束；若階碼下溢，要置運(yùn)算結(jié)果為浮點(diǎn)形式的機(jī)器零；若階碼上溢，則置溢出標(biāo)志。Floating-pointarithmeticisatitsbestwhenitissimplybeingusedtomeasurereal-worldquantitiesoverawiderangeofscales(suchastheorbitalperiodofIoorthemassoftheproton),andatitsworstwhenitisexpectedtomodeltheinteractionsofquantitiesexpressedasdecimalstringsthatareexpectedtobeexact.Anexampleofthelattercaseisfinancialcalculations.Forthisreason,financialsoftwaretendsnottouseabinaryfloating-pointnumberrepresentation.16第16頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期四【例2】浮點(diǎn)數(shù)，階碼為4位移碼（含1符號(hào)位），尾數(shù)為8位補(bǔ)碼（含1符號(hào)位），階碼以2為底。X＝0.1110011×2-101，Y=（－0.1110010）×2011，求X*Y=?解：[MX]補(bǔ)=[MY]補(bǔ)=①階碼相加[EX＋EY]移=[EX]移=0.1110011=000110011[EY]移=1.0001110=01011101100110=00011+00011=[EX]移＋[EY]補(bǔ)[EX]補(bǔ)=[EY]補(bǔ)=1011001100011+000110011017第17頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期四[例2]浮點(diǎn)數(shù)，階碼為4位移碼（含1符號(hào)位），尾數(shù)為8位補(bǔ)碼（含1符號(hào)位），階碼以2為底。②尾數(shù)相乘③規(guī)格化和舍入處理④判斷溢出[MX]補(bǔ)×[MY]補(bǔ)=已經(jīng)是規(guī)格化數(shù)。[MX*Y]補(bǔ)=1.0011010移碼表示的階碼為00，未溢出。X·Y=采用0舍1入法，將低n位舍去。1.001100110010100.1110011×1.0001110=[EX*Y]移=00110X＝0.1110011×2-101，Y=（－0.1110010）×2011，求X*Y=?[MX]補(bǔ)=0.1110011[MY]補(bǔ)=1.0001110[EX*Y]移=00110×2（-0.1100110）—010第18頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期四浮點(diǎn)除法運(yùn)算Floating-PointDivision除了除數(shù)不能為0外，浮點(diǎn)除法對(duì)除數(shù)和被除數(shù)的大小沒(méi)有限制。兩浮點(diǎn)數(shù)相除，商的尾數(shù)部分是被除數(shù)的尾數(shù)除以除數(shù)的尾數(shù)所得的商，階碼部分是被除數(shù)的階碼減去除數(shù)的階碼所得的差。X÷Y=浮點(diǎn)除法運(yùn)算分以下五個(gè)步驟：①尾數(shù)調(diào)整②階碼求差③尾數(shù)相除④規(guī)格化⑤判斷溢出（MX·2Ex）÷（MY·2Ey）＝（MX÷MY）·2Ex－Ey19第19頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期四①尾數(shù)調(diào)整DividendAlignment檢查|MX|是否小于|MY|。若|MX|≥|MY|，則將MX右移一位并將階碼加1。②階碼求差SubtractExponent被除數(shù)的階碼減去除數(shù)的階碼得到商的階碼（按定點(diǎn)整數(shù)補(bǔ)碼或移碼減法的規(guī)則）。③尾數(shù)相除DivideSignificands（Mantissa）兩數(shù)的尾數(shù)按定點(diǎn)小數(shù)（原碼或補(bǔ)碼）除法的規(guī)則相除。20第20頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期四⑤判斷溢出檢查階碼是否溢出。④規(guī)格化NormalizetheResult由于除數(shù)和被除數(shù)都是規(guī)格化數(shù)并經(jīng)過(guò)尾數(shù)的調(diào)整，所以，尾數(shù)相除的結(jié)果一般是規(guī)格化定點(diǎn)小數(shù)。只有一個(gè)例外，當(dāng)補(bǔ)碼表示的商為-0.5時(shí)，必須做一次左規(guī)。IntheIEEE754standard,zeroissigned,meaningthatthereexistbotha"positivezero"(+0)anda"negativezero"(-0).Inmostrun-timeenvironments,positivezeroisusuallyprintedas"0",whilenegativezeromaybeprintedas"-0".Thetwovaluesbehaveasequalinnumericalcomparisons,butsomeoperationsreturndifferentresultsfor+0and?0.21第21頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期四[例3]設(shè)浮點(diǎn)數(shù)基數(shù)為2，階碼為4位補(bǔ)碼，尾數(shù)為5位原碼（均包含1個(gè)符號(hào)位）。X=+6.5，Y=—2.25。（1）寫出X和Y的規(guī)格化浮點(diǎn)機(jī)器數(shù)。（2）計(jì)算X÷Y（尾數(shù)運(yùn)算用補(bǔ)碼加減交替除法）解：X=（+6.5）10=（+110.1）2=+0.1101×2+011Y=（-2.25）10=（-10.01）2=-0.1001×2+010[EX]補(bǔ)=0011[EY]補(bǔ)=0010[MX]原=0.1101[MY]原=1.1001設(shè)浮點(diǎn)數(shù)格式為：尾符尾數(shù)階碼12569浮點(diǎn)機(jī)器數(shù)：[X]浮點(diǎn)=000111101[Y]浮點(diǎn)=100101001（1）寫出X和Y的規(guī)格化浮點(diǎn)機(jī)器數(shù)。第22頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（2）計(jì)算X÷Y（尾數(shù)運(yùn)算用補(bǔ)碼加減交替除法）[MX]補(bǔ)=①尾數(shù)調(diào)整②階碼求差③尾數(shù)相除∵|MX|>|MY|[MX]補(bǔ)=[-EY]補(bǔ)=[EX]補(bǔ)—[EY]補(bǔ)=00100+11110[MY]補(bǔ)=1.0111[EX]補(bǔ)=0011[EY]補(bǔ)=0010[MX]原=0.1101[MY]原=1.10010.1101[MY]補(bǔ)=1.0111[-MY]補(bǔ)=∴需進(jìn)行尾數(shù)調(diào)整，將MX右移1位，EX加1。[EX]補(bǔ)==00100+11110=[EX]補(bǔ)+[-EY]補(bǔ)000100.01101=0.011101001110000100.10010舍1入第23頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期四被除數(shù)/余數(shù)00.0111商0.0000X，Y異號(hào)[R]補(bǔ)與[Y]補(bǔ)同號(hào)，商上1末位商置1[R]補(bǔ)與[Y]補(bǔ)異號(hào)，商上0[R]補(bǔ)與[Y]補(bǔ)同號(hào)，商上1[R]補(bǔ)與[Y]補(bǔ)異號(hào)，商上01.001111.1011左移11.00101.00111.10010.1001左移00.00100.10000.00010.0100加[MY]補(bǔ)11.0111左移00.10100.01000.01010.0010加[-MY]補(bǔ)00.1001左移11.11000.00111.11100.0001加[MY]補(bǔ)11.0111[MY]補(bǔ)=1.0111加[MY]補(bǔ)11.0111加[-MY]補(bǔ)00.1001第24頁(yè)，共27頁(yè)，2023年，2月20日，星期四④