計算凝聚態物理第1頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四2003-10-21上海交通大學理論物理研究所馬紅孺分子模型Molecularsystems:Inmostcasestheinteractionpartcanbeapproximatedbypairinteractions:OnefamousexampleistheLennard-Jonespotential第2頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四2003-10-21上海交通大學理論物理研究所馬紅孺分子模型Averyimportantquantityinstatisticalmechanicsisthepaircorrelationfunctiong(r,r0

),definedaswhereItmayalsobewrittenas第3頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四2003-10-21上海交通大學理論物理研究所馬紅孺分子模型Forahomogeneoussystemthepaircorrelationfunctiondependsonlyonthedistancebetweenrandr0

.Inthiscasewedenoteitasg(r).Theg(r,r0

)isproportionaltotheprobabilitythatgivenaparticleatpointrandfindanotherparticleatpointr0

.Atlargedistanceg(r)tendsto1,wemaydefinethetotalcorrelationfunctionTheFouriertransformoftheabovefunctiongivesthestaticstructurefunction(orstructurefactor)第4頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四2003-10-21上海交通大學理論物理研究所馬紅孺分子模型ThestructurefunctionisdefinedasthecorrelationfunctionofFouriercomponentofdensityfluctuations[

Thedensityisdefinedas:,andthedensityfluctuationis:,anditsFouriercomponentis:

]第5頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四2003-10-21上海交通大學理論物理研究所馬紅孺分子模型當體積趨于無限時,紅顏色的部分可以略去.第6頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四2003-10-21上海交通大學理論物理研究所馬紅孺分子模型Thestructurefactorcanbemeasureddirectlybyscatteringexperimentsandcanalsobecalculatedbysimulations.Manyphysicalquantitiescanbeexpressedintermsofthepaircorrelationfunctions,forexampletheenergyinNVTensembleisThepressureis第7頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四2003-10-21上海交通大學理論物理研究所馬紅孺分子模型ThecompressibilityThisexpressioncanbederivedfromthefluctuationsofparticlenumbersSinceso第8頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四2003-10-21上海交通大學理論物理研究所馬紅孺分子模型Ontheotherhand,itcanbeprovedthatWehavethefinalresult.Thetimecorrelationfunctionisthecorrelationsoftwophysicalquantitiesatdifferenttimes,Forsystemsatequilibriumthetimecorrelationfunctionisafunctionofthetimedifferenceonlyandcanbewrittenas第9頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四2003-10-21上海交通大學理論物理研究所馬紅孺分子模型ThevelocityautocorrelationfunctionoftheithparticleisThiscanbederivedfromthedefinitionrelation(wewillbacktothispoint)Whichisrelatedtothediffusionconstantoftheparticle.whichholdsforlarget.第10頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四2003-10-21上海交通大學理論物理研究所馬紅孺分子模型Ingeneral,transportcoefficientisdefinedintermsoftheresponseofasystemtoaperturbation.whereisthetransportcoefficient,andAisaphysicalvariableappearingintheperturbationHamiltonian.ThereisalsoanEinsteinrelationassociatedwiththiskindofexpressionwhichholdsforlarget,(tà

,whereistherelaxationtimeof).第11頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四2003-10-21上海交通大學理論物理研究所馬紅孺分子模型TheshearviscosityisgivenbyorHereThenegativeofPisoftencalledstresstensor.第12頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四2003-10-21上海交通大學理論物理研究所馬紅孺MonteCarlo模擬MonteCarlosimulationofParticleSystems粒子系統的MonteCarlo模擬和自旋系統原則上是一樣的。Metropolis算法為：1，隨機或順序選取一個粒子，其位置矢量為，對此粒子做移動2，計算前后的能量差，決定是否接受移動。3，在達到平衡后，收集數據，計算物理量。第13頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四2003-10-21上海交通大學理論物理研究所馬紅孺分子動力學模擬MoleculardynamicssimulationsMDmethodisessentiallytheintegrationoftheequationofmotionoftheclassicalmany-particlesysteminaperiodoftime.Thetrajectoriesofthesysteminthephasespacearethusobtainedandaveragesofthetrajectoriesgivevariousphysicalproperties.SinceweworkonrealdynamicsinMDsimulationswecanalsostudythedynamicpropertiesofthesystemsuchasrelaxationtoequilibrium,transportetc.第14頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四2003-10-21上海交通大學理論物理研究所馬紅孺分子動力學模擬ConsiderarectangularvolumeofL1￡L2￡L3,withNclassicalparticlesputin.Theparticlesareinteractwitheachother.Inprinciple,theinteractionincludepairinteractions,threebodyinteractionsaswellasmanybodyinteractions.Forsimplicitywewillconsiderhereonlypairinteractions.Inthiscaseeachparticlefeelaforcebyallotherparticlesandwefurtherassumetheforceisdependonlyondistancesfromotherparticlesandforeachpairtheforcedirectedalongthelinejointhepairofparticles.Sotheforceontheithparticleiswhereisanunitvectoralongrj-ri.第15頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四2003-10-21上海交通大學理論物理研究所馬紅孺分子動力學模擬Periodicboundarycondition(PBC)whereL

arevectorsalongtheedgesoftherectangularsystemvolumeandthesumoverniswithallintegersn.Usuallythissumisthemosttimeconsumingpartinasimulation.第16頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四2003-10-21上海交通大學理論物理研究所馬紅孺分子動力學模擬GeneralprocedureofMD(NVEensemble)1.Initialize;2.Startsimulationandletthesystemreachequilibrium;3.Continuesimulationandstoreresults.第17頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四2003-10-21上海交通大學理論物理研究所馬紅孺分子動力學模擬Initialize:

1,Specifythenumberofparticlesandinteraction;2,Setupthesimulationbox;3,Specifythetotalenergyofthesystem;4,Assignpositionandmomentaofeachparticle.

a,InmanycasesweassignparticlesinaFCClattice,IfweusecubicunitcellandcubeBOXthenthenumberofparticlesperunitcellis4,andthetotalnumberofparticlesarea4M3,M=1,2,3,.ThatiswemaysimulationsystemswithtotalnumberofparticlesN=108,256,500,864,.b,ThevelocitiesofparticlesaredrawfromaMaxwelldistributionwiththespecifiedtemperature.ThisisaccomplishedbydrawingthethreecomponentsofthevelocityfromtheGaussiandistribution.第18頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四2003-10-21上海交通大學理論物理研究所馬紅孺分子動力學模擬Thedistributionofthex-componentofvelocityisDrawnumbersfromaGaussian:Consider:Thenwherev2=vx2+vy2and第19頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四2003-10-21上海交通大學理論物理研究所馬紅孺分子動力學模擬Sothedistributionofvxandvymaybeobtainedfromvand.Thedistributionofv:Thedistributionofisuniformintheinterval[0,2].第20頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四2003-10-21上海交通大學理論物理研究所馬紅孺分子動力學模擬GeneraterandomnumbersforagivendistributionForagivendistributionP(y)weconsiderhowtogetarandomnumberydrawfromP(y)fromarandomnumberxdrawfromuniform[0,1],i.e.,wearegoingtofindafunctionf(x),fromwhichforaseriesofrandomnumbersxdistributeduniformlyintheinterval[0,1],y=f(x)willdistributedaccordingtoP(y).第21頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四2003-10-21上海交通大學理論物理研究所馬紅孺分子動力學模擬thenSinceExponentialdistribution第22頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四2003-10-21上海交通大學理論物理研究所馬紅孺分子動力學模擬Thedistributionofv:第23頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四2003-10-21上海交通大學理論物理研究所馬紅孺分子動力學模擬Drawrandomnumbersuniformlydistributedintheinterval[0,2].AnothermethodofdrawrandomnumbersintheGaussiandistributionisthroughthefollowingempiricalmethods.Considerthedistribution第24頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四2003-10-21上海交通大學理論物理研究所馬紅孺分子動力學模擬Accordingtothecentrallimittheorem,ifwedrawuniformrandomnumbersriininterval[0,1],anddefineavariablewhenn!

1thedistributionofistheGaussiandistributionIfwetaken=12,weget第25頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四2003-10-21上海交通大學理論物理研究所馬紅孺分子動力學模擬Afterthegenerationofthevelocityofeachparticle,wemayshiftthevelocitysothatthetotalmomentumiszero.ThestandardVerletalgorithmisthefirstsuccessfulmethodinhistoryandstillwideusedtodayindifferentforms.ItisTostarttheintegrationweneedr(h),givenby第26頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四2003-10-21上海交通大學理論物理研究所馬紅孺分子動力學模擬VariationsofthismethodareAndBothofthesevariationsaremathematicallyequivalenttotheoriginalonebutmorestableunderfiniteprecisionarithmetic.第27頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四2003-10-21上海交通大學理論物理研究所馬紅孺分子動力學模擬Thetemperatureofthesystemisgivenbytheequalpartitiontheorem,thatistheaverageofkineticenergyofeachdegreeoffreedomishalfkBT,TheN-1isduetotheconservationofthetotalmomentumwhichreducethedegreeoffreedomby3.Toreachthedesiredtemperaturewemayscalethevelocityateveryfewstepsofintegration第28頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四2003-10-21上海交通大學理論物理研究所馬紅孺分子動力學模擬Afterthesystemreachtoequilibriumtheintegrationcontinueinthesamemethodasabovewithoutscalingofvelocity.Thedataarestoredoraccumulatedforthecalculatingphysicalproperties.ThestaticpropertiesofphysicalquantityAisgivenbytimeaverage第29頁，共32頁，2023