矩陣的分解演示文稿目前一頁\總數四十二頁\編于十六點（優選）矩陣的分解.目前二頁\總數四十二頁\編于十六點定理3.12

L是單位下三角矩陣U一個上三角矩陣Gauss消元法的消元過程實際上是對線性代數方程組進行一系列初等行變換的過程。由線性代數知識知，線性代數方程組的初等變換相當于對其增廣矩陣實行初等行變換，也即相當于增廣矩陣左邊乘以一個初等矩陣。目前三頁\總數四十二頁\編于十六點目前四頁\總數四十二頁\編于十六點也可以直接用比較法導出矩陣A的LU分解的計算公式。上式可記為比較第1行比較第r行目前五頁\總數四十二頁\編于十六點同樣，由比較第r列目前六頁\總數四十二頁\編于十六點綜合以上分析，有因此可以推導出U的第一行L的第一列------(1)------(2)目前七頁\總數四十二頁\編于十六點思考U的第r行L的第r列------(3)------(4)稱上述(1)~(4)式所表示的分解過程為矩陣A的Doolittle分解目前八頁\總數四十二頁\編于十六點function[l,u]=lu_Doolittle1(A)

%求可逆矩陣的LU分解

%A為可逆矩陣，l為單位下三角矩陣，u為上三角矩陣

n=length(A);

u=zeros(n);

l=eye(n);

u(1,:)=A(1,:);

l(2:n,1)=A(2:n,1)/u(1,1);

fork=2:n

forj=k:n

u(k,j)=A(k,j)-l(k,1:k-1)*u(1:k-1,j);

end

u(k,k:n)=A(k,k:n)-l(k,1:k-1)*u(1:k-1,k:n);

fori=k+1:n

l(i,k)=(A(i,k)-l(i,1:k-1)*u(1:k-1,k))/u(k,k);

end

l(k+1:n,k)=(A(k+1:n,k)-l(k+1:n,1:k-1)*u(1:k-1,k))/u(k,k);

end目前九頁\總數四十二頁\編于十六點對于線性方程組系數矩陣非奇異，經過Doolittle分解后線性方程組可化為下面兩個三角形方程組目前十頁\總數四十二頁\編于十六點目前十一頁\總數四十二頁\編于十六點上述解線性方程組的方法稱為直接三角分解法的Doolittle分解用Doolittle分解求解方程組解下面再用Doolittle分解方法求解目前十二頁\總數四十二頁\編于十六點目前十三頁\總數四十二頁\編于十六點Doolittle分解在計算機上實現是比較容易的但如果按上述流程運算仍需要較大的存儲空間:目前十四頁\總數四十二頁\編于十六點因此可按下列方法存儲數據:目前十五頁\總數四十二頁\編于十六點直接三角分解的Doolittle分解可以用以下過程表示:存儲單元(位置)目前十六頁\總數四十二頁\編于十六點Doolittle分解的緊湊格式目前十七頁\總數四十二頁\編于十六點Doolittle分解的結果與Gauss消元法所得結果完全一樣，但卻避免了中間過程。目前十八頁\總數四十二頁\編于十六點定理3.2.3設矩陣A非奇異，當且僅當矩陣A的所有順序主子式全非零時，其Doolittle分解式存在，且分解是惟一的。下面給出Doolittle分解存在惟一的一個充要條件目前十九頁\總數四十二頁\編于十六點用緊湊格式的Doolittle分解求解方程組解目前二十頁\總數四十二頁\編于十六點目前二十一頁\總數四十二頁\編于十六點所以目前二十二頁\總數四十二頁\編于十六點用Doolittle分解求解方程組解直接利用Doolittle分解的緊湊格式算得目前二十三頁\總數四十二頁\編于十六點目前二十四頁\總數四十二頁\編于十六點

列選主元Doolittle分解在Doolittle分解(包括緊湊格式)中，會反復用到公式仍有可能是小主元做除數為此，也要考慮在算法中加入選取列主元目前二十五頁\總數四十二頁\編于十六點

Crout分解L為下三角矩陣，U為單位上三角矩陣目前二十六頁\總數四十二頁\編于十六點三、Cholesky分解與平方根法

對稱正定矩陣的三角分解（Cholesky分解）目前二十七頁\總數四十二頁\編于十六點目前二十八頁\總數四十二頁\編于十六點因此可以證明這種分解是唯一的設存在另外的一個分解則單位下三角單位下三角上三角上三角所以：目前二十九頁\總數四十二頁\編于十六點又因為：即所以：即則：令：目前三十頁\總數四十二頁\編于十六點綜合以上分析,則有為了方便我們記：(Cholesky分解)且該分解式唯一這種關于對稱正定矩陣的分解稱為Cholesky分解目前三十一頁\總數四十二頁\編于十六點目前三十二頁\總數四十二頁\編于十六點-------------(6)-------------(7)-------------(8)目前三十三頁\總數四十二頁\編于十六點目前三十四頁\總數四十二頁\編于十六點

對稱正定線性方程組的解法線性方程組-------------(10)-------------(11)因而線性方程組(10)可化為兩個三角形方程組-------------(12)-------------(13)目前三十五頁\總數四十二頁\編于十六點用平方根法解對稱正定方程組解目前三十六頁\總數四十二頁\編于十六點目前三十七頁\總數四十二頁\編于十六點即所以原方程組的解為目前三十八頁\總數四十二頁\編于十六點平方根法的數值穩定性用平方根法求解對稱正定方程組時不需選取主元由可知因此平方根