可線性化的一元非線性回歸第1頁，共31頁，2023年，2月20日，星期一前一節，我們學習了一元線性回歸分析問題，在實際應用中，有些變量之間并不是線性相關關系，但可以經過適當的變換，把非線性回歸問題轉化為線性回歸問題。可線性化的一元非線性回歸常見的幾種變換形式：1、雙曲線令第2頁，共31頁，2023年，2月20日，星期一2、冪函數曲線令化非線性回歸為線性回歸變形3、指數函數曲線令變形第3頁，共31頁，2023年，2月20日，星期一4、負指數函數曲線令化非線性回歸為線性回歸變形5、對數函數曲線令第4頁，共31頁，2023年，2月20日，星期一6、S型（Logistic）曲線令化非線性回歸為線性回歸變形第5頁，共31頁，2023年，2月20日，星期一例1測定某肉雞的生長過程，每兩周記錄一次雞的重量，數據如下表x/周2468101214y/kg0.30.861.732.22.472.672.8由經驗知雞的生長曲線為Logistic曲線，且極限生長量為k=2.827，試求y對x的回歸曲線方程。解由題設可建立雞重y與時間x的相關關系為第6頁，共31頁，2023年，2月20日，星期一令則有列表計算序號xyy'X2y'2xy'120.32.13144.5414.262240.860.827160.6843.309361.73-0.456360.208-2.733482.2-1.255641.576-10.0425102.47-1.9341003.741-19.3426122.67-2.8341448.029-34.0037142.8-4.64219621.544-64.9825613.03-8.16256040.323-123.531第7頁，共31頁，2023年，2月20日，星期一所以所以所求曲線方程為第8頁，共31頁，2023年，2月20日，星期一上機操作輸入原始數據第9頁，共31頁，2023年，2月20日，星期一上機操作計算第10頁，共31頁，2023年，2月20日，星期一上機操作第11頁，共31頁，2023年，2月20日，星期一上機操作第12頁，共31頁，2023年，2月20日，星期一上機操作是y*，而不是y自變量第13頁，共31頁，2023年，2月20日，星期一上機操作回歸方程，還要回代系數第14頁，共31頁，2023年，2月20日，星期一多重回歸分析在實際問題中，自變量的個數可能多于一個，隨機變量y與多個可控變量x1,x2,x3,…,xk之間是否存在相關關系，則屬于多重（元）回歸問題。本節討論多重線性回歸。第15頁，共31頁，2023年，2月20日，星期一多重線性回歸模型隨機變量與之間的線性關系(1)其中未知則（1）式稱為多重線性回歸模型。第16頁，共31頁，2023年，2月20日，星期一多重線性回歸模型若對變量與分別作n次觀測，則可得一個容量為n的子樣(2)其中為待定參數，稱為回歸系數。（2）式含有k+1個參數，故觀測次數應滿足n>k+1。則有第17頁，共31頁，2023年，2月20日，星期一多重線性回歸模型的矩陣形式記則（2）有矩陣形式其中第18頁，共31頁，2023年，2月20日，星期一確定的最小二乘法考慮多元函數目標：確定使最小方法：解得——多重線性回歸方程第19頁，共31頁，2023年，2月20日，星期一線性回歸方程的有效性檢驗——方差分析法線性回歸方程是否有統計意義，可檢驗假設是否成立方法：方差分析法，將總離差平方和分解第20頁，共31頁，2023年，2月20日，星期一線性回歸方程的有效性檢驗——方差分析法——回歸平方和，反映線性關系對觀測結果產生的數據波動，SSR越大，線性相關關系越強。——剩余平方和（或殘差平方和），反映除線性因素之外的其它因素對觀測結果產生的數據波動，SSE越大，則其它因素對Y的影響越大。第21頁，共31頁，2023年，2月20日，星期一線性回歸方程的有效性檢驗——方差分析法在H0成立的條件下，可以證明：（n為觀測次數，k為自變量個數）構造F統計量當時，拒絕H0。第22頁，共31頁，2023年，2月20日，星期一回歸系數的統計檢驗回歸方程的有效性檢驗，只是解決了與之間是否有線性相關關系，至于變量對的影響是否有統計意義，無從看出，因此，還需對回歸系數是否為0作統計檢驗。提出假設如果H0成立，可以證明統計量當時，拒絕H0。第23頁，共31頁，2023年，2月20日，星期一利用回歸方程作預測及控制對于給定的點估計值置信水平為的預測區間為第24頁，共31頁，2023年，2月20日，星期一例2某種水泥在凝固時放出的熱量Y（cal/g）與水泥中下列4種化學成分有關：的成分（%）的成分（%）的成分（%）的成分（%）現記錄了13組觀測數據，列在下表中，試求對的線性回歸方程。第25頁，共31頁，2023年，2月20日，星期一編號X1(%)X2(%)X3(%)X4(%)Y(cal/g）172666078.52129155274.331156820104.34113184787.6575263395.961155922109.27371176102.78131224472.59254182293.1102147426115.911140233483.8121166912113.3131068812109.4第26頁，共31頁，2023年，2月20日，星期一上機操作第27頁，共31頁，2023年，2月20日，星期一