第=page11頁，共=sectionpages11頁2022-2023學年河南省周口市川匯區重點中學高一（下）期中數學試卷一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.已知兩個非零向量a與b，定義|a×b|=|a|?|b|?sinA.8 B.7 C.2 D.2.已知i為虛數單位，則復數z=1?2A.?1+i2 B.?1?3.已知向量a=(1,x)，b=(A.?2 B.1或2 C.25 4.已知向量a=(?1,3)，b=(A.?23 B.?3 5.在△ABC中，若a(b2+c2?a2A.等腰三角形 B.直角三角形

C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形6.若A(3,?6)，B(A.13 B.?13 C.9 D.7.已知平面向量m與n之間的夾角為π3，|m|=2，|n|=A.π4 B.π6 C.π38.在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則“ab=cA.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）9.已知正方體ABCD?A1A.AB+AD+AA1 10.已知非零向量a,b，則下列命題正確的是(

)A.若|a+b|=|a?b|，則a⊥b

B.若a?b=a?c11.在復平面內，下列說法正確的是(

)A.若復數z=1+i1?i(i為虛數單位)，則z4=1

B.若復數z滿足z2∈R，則z∈R

C.若復數z12.已知平面向量a，b，c，下列命題正確的有(

)A.若(a+b)?(a?b)=0，則|a|=|b三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.已知OA=a，OB=b，若|OA|=1214.設x，y∈R，向量a=(x,1)，b=(1,y15.復數z滿足z?+|z|=16.已知非零向量a，b，c，滿足|a|=2，|b|=1，a?四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.(本小題10.0分)

若A、B、C三點的坐標分別為(2,?4)、(0,6)18.(本小題12.0分)

(1)化簡：14[2(2a+4b)?4(5a?2b19.(本小題12.0分)

已知四邊形ABCD是正方形，BE//AC，AC=C20.(本小題12.0分)

向量a=(4,2)，b=(?1,2)．

(121.(本小題12.0分)

在銳角△ABC中，角A，B，C，的對邊分別為a，b，c，從條件①：sinAcosAtanA=34，條件②：3s22.(本小題12.0分)

如圖，某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上.在小艇出發時，輪船位于港口O北偏西30°且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/時的航行速度沿正東方向勻速行駛.假設該小艇沿直線方向以v海里/時的航行速度勻速行駛，經過t小時與輪船相遇．

(Ⅰ)若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應為多少？

(Ⅱ)假設小艇的最高航行速度只能達到30海里/時，試設計航行方案(即確定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短時間與輪船相遇．

答案和解析1.【答案】B

【解析】解：已知a=(?3,4)，b=(1,1)，

則|a|=5，|b|=2，

又cosθ=a?b|2.【答案】A

【解析】解：復數z=1?2i1+i+23.【答案】D

【解析】解：根據題意，設a與b的夾角為θ，

若|a?b|=|a|×|b|，則有|a|×|b|×|cosθ|=|a|×|b|，

變形可得4.【答案】A

【解析】解：因為向量a=(?1,3)，b=(3,m)，c=(1,23)，

所以c5.【答案】D

【解析】解：在△ABC中，若a(b2+c2?a2)sinA=b(a2+c2?b2)sinB，

利用余弦定理的應用b26.【答案】D

【解析】解：由題意，AB=(?8,8)，AC=(3,y+6)7.【答案】B

【解析】【分析】本題考查向量數量積的計算，涉及向量夾角的計算，屬于中檔題．

根據題意，設m與m?n之間夾角為θ，由數量積的計算公式可得|m?n|和【解答】解：根據題意，設m與m?n之間夾角為θ，

平面向量m與n之間的夾角為π3，|m|=2，|n|=1，則m?n=2×1×12=1，

則

8.【答案】D

【解析】【分析】本題主要考查了充要條件的判定，以及正弦定理的運用，以及分析問題解決問題的能力，屬于基礎題．

先利用正弦定理進行化簡得到A=B或A+B=π2，然后根據若p【解答】解：∵ab=cosBcosA，

∴sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，

∵△ABC的內角A，B，C∈

9.【答案】AB【解析】解：正方體ABCD?A1B1C1D1，

對于A，AB+AD+AA1=AB+BC+CC1=AC1，故A正確；10.【答案】AC【解析】解：因為a、b為非零向量．

對于A：若|a+b|=|a?b|，則(a+b)2=(a?b)2，整理得到4a?b=0，所以a⊥b，故A正確；

對于B：若a?b=a?c，則|a||b|cos<a,b>=|a||c11.【答案】AD【解析】解：對于A，z=1+i1?i=(1+i)(1+i)(1?i)(1+i)=2i2=i(i為虛數單位)，則z4=i4=1，故A正確，

對于B，令z=2i，則z2=?4∈12.【答案】AD【解析】解：對于A，因為(a+b)?(a?b)=a2?b2=|a|2?|b|2=0，所以|a|=|b|，選項A正確；

對于B13.【答案】13

【解析】解：在Rt△AOB中，OA=12，OB=5，∴AB=OA2+14.【答案】10【解析】解：∵向量a=(x,1)，c=(2,?4)，且a⊥c，

∴x×2+1×(?4)=0，解得x=2，得a=(2,1)，

又∵b=(1,15.【答案】i

【解析】解：設z=a+bi，a，b∈R，

∵z?+|z|=1?i，

∴a?bi16.【答案】[【解析】【分析】本題考查了向量的數量積運算，向量的坐標運算，圓有關的最值問題，屬于中檔題．

利用向量的數量積運算求出<a，b>=π3，再建立坐標系，設a=O【解答】解：∵|a|=2，|b|=1，a?b=1，

∴a?b=2×1×cos<a，b>=1，

∴cos<a，b>=12，

∵<a，b>∈[0,π]，

∴<a，b>=π3，

建立如圖平面坐標系，且A(2,0)，B(

17.【答案】解：∵A、B、C三點的坐標分別為(2,?4)、(0,6)、(?8,10)【解析】利用平面向量坐標運算法則先分別求出AB=(?2,10)，BC=18.【答案】解：(1)14[2(2a+4b)?4(5a?2b)]

=14(4a+8b?20a+8【解析】(1)利用向量的加減、數乘運算化簡即可．

(2)利用加減運算，可得x，y關于a19.【答案】證明：如圖所示，以A為原點建立平面直角坐標系，不妨設正方形邊長為2，則A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，D(0,2)．

再設E(x,y)，由BE//AC，AC=CE得：AC//BE，結合AC=(2,2),BE=(x?【解析】可以以A為原點建立平面直角坐標系，然后據題意給出點A，B，C，D的坐標，然后根據BE//AC，AC=CE，利用待定系數法求出20.【答案】解：(1)∵a=(4,2)，b=(?1,2)，

∴a+b=【解析】(1)利用向量模的公式計算；(2)21.【答案】解：(1)若選條件①：因為sinAcosAtanA=34，

所以sinAcosA?sinAcosA=34，即sin2A=34，

又因為△ABC為銳角三角形，

所以sinA=32，

因為A為銳角，

所以A=π3；

若選條件②：因為3sinA?cosA3sinA+【解析】(1)若選條件①：利用同角三角函數基本關系式化簡已知等式可得sinA=32，結合A為銳角，即可得解A的值；

若選條件②：利用三角函數恒等變換的應用化簡已知等式可得tanA的值，結合A為銳角，即可得解A的值；

若選條件③：由正弦定理，兩角和的正弦公式化簡已知等式，結合sinA≠022.【答案