第二節(jié)點、線、面之間的位置關系1．平面的基本性質(1)公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線上所有的點都在這個平面內．(2)公理2：如果兩個平面有一個公共點，那么它們還有其他公共點，這些公共點的集合是經過這個公共點的一條直線．(3)公理3：經過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面．2．空間中兩直線的位置關系(1)空間中兩直線的位置關系eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(共面直線\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(平行,相交)),異面直線：不同在任何一個平面內))(2)異面直線所成的角①定義：設a，b是兩條異面直線，經過空間任一點O，作直線a′∥a，b′∥b，把a′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角．②范圍：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(3)公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．(4)定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個角相等．[小題體驗]1．“點P在直線m上，m在平面α內”可表示為________．解析：點在直線上用“∈”，直線在平面上用“?”．答案：P∈m，m?α2．平面α∩β＝l，點A∈α，點B∈α，且C?l，C∈β，又AB∩l＝R，如圖所示，過A，B，C三點確定的平面為γ，則β∩γ＝________.解析：由已知條件可知，C∈γ，AB∩l＝R，AB?γ，所以R∈γ.又因為C，R∈β，故β∩γ＝CR.答案：CR3．以下四個命題中，正確命題的個數(shù)是________．①不共面的四點中，其中任意三點不共線；②若點A，B，C，D共面，點A，B，C，E共面，則A，B，C，D，E共面；③若直線a，b共面，直線a，c共面，則直線b，c共面；④依次首尾相接的四條線段必共面．解析：①顯然是正確的，可用反證法證明；②中若A，B，C三點共線，則A，B，C，D，E五點不一定共面；③構造長方體或正方體，如圖，顯然b，c異面，故不正確；④中空間四邊形中四條線段不共面．故正確的個數(shù)為1.答案：11．異面直線易誤解為“分別在兩個不同平面內的兩條直線為異面直線”，實質上兩異面直線不能確定任何一個平面，因此異面直線既不平行，也不相交．2．直線與平面的位置關系在判斷時最易忽視“線在面內”．3．不共線的三點確定一個平面，一定不能丟掉“不共線”條件．[小題糾偏]1．(2019·南京名校聯(lián)考)已知直線a和平面α，β，α∩β＝l，a?α，a?β，且a在α，β內的射影分別為直線b和c，則直線b和c的位置關系是________．解析：依題意，直線b和c的位置關系可能是相交、平行或異面．答案：相交、平行或異面2．在下列四個命題中，正確命題的個數(shù)為________．①a，b是異面直線，則存在分別過a，b的平面α，β，使α∥β；②a，b是異面直線，則存在分別過a，b的平面α，β，使α⊥β；③a，b是異面直線，若直線c，d分別與a，b都相交，則c，d也是異面直線；④a，b是異面直線，則存在平面α過a且與b垂直．解析：因為a，b是異面直線，所以可以作出兩個平面α，β分別過a，b，并使α∥β，所以①正確；因為a，b是異面直線，所以存在兩個互相垂直的平面分別過a，b，所以②正確；因為a，b是異面直線，若直線c，d與a，b分別都相交，則c，d相交或異面，所以③不正確；因為a，b是異面直線，若a，b垂直，則存在平面α過a且與b垂直，若a，b不垂直，則不存在平面α過a且與b垂直，④不正確．答案：23．四條線段順次首尾相連，它們最多可確定的平面?zhèn)€數(shù)有________個．解析：首尾相連的四條線段每相鄰兩條確定一個平面，所以最多可以確定4個平面．答案：4eq\a\vs4\al(考點一平面的基本性質及應用)eq\a\vs4\al(基礎送分型考點——自主練透)[題組練透]1．如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，AA1的中點．求證：(1)E，C，D1，F(xiàn)四點共面；(2)CE，D1F，DA三線共點．證明：(1)如圖，連結EF，A1B，CD1.因為E，F(xiàn)分別是AB，AA1的中點，所以EF∥A1B.又A1B∥CD1，所以EF∥CD1，所以E，C，D1，F(xiàn)四點共面．(2)因為EF∥CD1，EF＜CD1，所以CE與D1F必相交，設交點為P，則由P∈CE，CE?平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，所以P∈直線DA.所以CE，D1F，DA三線共點．2．如圖，在四邊形ABCD中，已知AB∥CD，直線AB，BC，AD，DC分別與平面α相交于點E，G，H，F(xiàn)，求證：E，F(xiàn)，G，H四點必定共線．證明：因為AB∥CD，所以AB，CD確定一個平面β.又因為AB∩α＝E，AB?β，所以E∈α，E∈β，即E為平面α與β的一個公共點．同理可證F，G，H均為平面α與β的公共點，因為兩個平面有公共點，它們有且只有一條通過公共點的公共直線，所以E，F(xiàn)，G，H四點必定共線．[謹記通法]1．證明點共線問題的常用方法公理法先找出兩個平面，然后證明這些點都是這兩個平面的公共點，再根據(jù)公理3證明這些點都在交線上同一法選擇其中兩點確定一條直線，然后證明其余點也在該直線上2．證明線共點問題的常用方法先證兩條直線交于一點，再證明第三條直線經過該點．3．證明點、直線共面問題的常用方法納入平面法先確定一個平面，再證明有關點、線在此平面內輔助平面法先證明有關的點、線確定平面α，再證明其余元素確定平面β，最后證明平面α，β重合eq\a\vs4\al(考點二空間兩直線的位置關系)eq\a\vs4\al(重點保分型考點——師生共研)[典例引領]如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點，有以下四個結論：①直線AM與CC1是相交直線；②直線AM與BN是平行直線；③直線BN與MB1是異面直線；④直線AM與DD1是異面直線．其中正確的結論的序號為________．解析：直線AM與CC1是異面直線，直線AM與BN也是異面直線，所以①②錯誤．點B，B1，N在平面BB1C1C中，點M在此平面外，所以BN，MB1是異面直線．同理AM，DD1也是異面直線．答案：③④[由題悟法][即時應用]1．上面例題中正方體ABCD-A1B1C1D1的棱所在直線中與直線AB是異面直線的有________條．解析：與AB異面的有4條：CC1，DD1，A1D1，B1C1.答案：42．在圖中，G，N，M，H分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形的是______．(填上所有正確答案的序號)解析：圖①中，直線GH∥MN；圖②中，G，H，N三點共面，但M?平面GHN，因此直線GH與MN異面；圖③中，連結MG，GM∥HN，因此GH與MN共面；圖④中，G，M，N共面，但H?平面GMN，因此GH與MN異面．所以在圖②④中，GH與MN異面．答案：②④eq\a\vs4\al(考點三異面直線的證明)eq\a\vs4\al(重點保分型考點——師生共研)[典例引領]如圖，已知不共面的三條直線a，b，c相交于點P，A∈a，B∈a，C∈b，D∈c，求證：AD與BC是異面直線．證明：法一：(反證法)假設AD和BC共面，所確定的平面為α，那么點P，A，B，C，D都在平面α內，所以直線a，b，c都在平面α內，與已知條件a，b，c不共面矛盾，假設不成立，所以AD和BC是異面直線．法二：(直接證法)因為a∩c＝P，所以它們確定一個平面，設為α，由已知C?平面α，B∈平面α，則BC?平面α，又AD?平面α，B?AD，所以AD和BC是異面直線．[由題悟法]證明直線異面通常用反證法，證明兩直線不可能平行、相交或證明兩直線不可能共面，從而可得兩直線異面．有時也可以用直接法證明．[即時應用]如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是A1B1，B1C1的中點．問：(1)AM和CN是否是異面直線？說明理由；(2)D1B和CC1是否是異面直線？說明理由．解：(1)AM與CN不是異面直線．理由如下：連結MN，A1C1，AC.因為M，N分別是A1B1，B1C1的中點，所以MN∥A1C1.又因為A1A∥C1C，A1A＝C1C，所以四邊形A1ACC1為平行四邊形，所以A1C1∥AC，所以MN∥AC，所以A，M，N，C在同一平面內，故AM和CN不是異面直線．(2)D1B與CC1是異面直線．證明如下：因為ABCD-A1B1C1D1是正方體，所以B，C，C1，D1不共面．假設D1B與CC1不是異面直線，則存在平面α，使D1B?平面α，CC1?平面α，所以D1，B，C，C1∈α，與ABCD-A1B1C1D1是正方體矛盾．所以假設不成立，即D1B與CC1是異面直線．一抓基礎，多練小題做到眼疾手快1．設P表示一個點，a，b表示兩條直線，α，β表示兩個平面，給出下列四個命題，其中正確命題的序號是________．①P∈a，P∈α?a?α；②a∩b＝P，b?β?a?β；③a∥b，a?α，P∈b，P∈α?b?α；④α∩β＝b，P∈α，P∈β?P∈b.答案：③④2．(2018·高郵期中)給出以下說法：①不共面的四點中，任意三點不共線；②有三個不同公共點的兩個平面重合；③沒有公共點的兩條直線是異面直線；④分別和兩條異面直線都相交的兩條直線異面；⑤一條直線和兩條異面直線都相交，則它們可以確定兩個平面．其中正確結論的序號是________．解析：在①中，不共面的四點中，任意三點不共線是正確命題，可以用反證法證明：若其中任意三點共線，則四點必共面，故①正確；在②中，有三個不同公共點的兩個平面重合或相交，故②錯誤；在③中，沒有公共點的兩條直線是異面直線或平行直線，故③錯誤；在④中，分別和兩條異面直線都相交的兩條直線異面或共面，故④錯誤；在⑤中，一條直線和兩條異面直線都相交，則由兩條相交線能確定一個平面得它們可以確定兩個平面，故⑤正確．答案：①⑤3．若平面α，β相交，在α，β內各取兩點，這四點都不在交線上，這四點能確定________個平面．解析：如果這四點在同一平面內，那么確定一個平面；如果這四點不共面，則任意三點可確定一個平面，所以可確定四個．答案：1或44．如圖，平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，既與AB共面又與CC1共面的棱有________條．解析：依題意，與AB和CC1都相交的棱有BC；與AB相交且與CC1平行有棱AA1，BB1；與AB平行且與CC1相交的棱有CD，C1D1.故符合條件的有5條．答案：55．設a，b，c是空間中的三條直線，下面給出四個命題：①若a∥b，b∥c，則a∥c；②若a⊥b，b⊥c，則a∥c；③若a與b相交，b與c相交，則a與c相交；④若a?平面α，b?平面β，則a，b一定是異面直線．上述命題中正確的命題是____(寫出所有正確命題的序號)．解析：由公理4知①正確；當a⊥b，b⊥c時，a與c可以相交、平行或異面，故②錯；當a與b相交，b與c相交時，a與c可以相交、平行，也可以異面，故③錯；a?α，b?β，并不能說明a與b“不同在任何一個平面內”，故④錯．答案：①二保高考，全練題型做到高考達標1．已知A，B，C，D是空間四點，命題甲：A，B，C，D四點不共面，命題乙：直線AC和BD不相交，則甲是乙成立的______條件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．解析：若A，B，C，D四點不共面，則直線AC和BD不共面，所以AC和BD不相交；若直線AC和BD不相交，若直線AC和BD平行時，A，B，C，D四點共面，所以甲是乙成立的充分不必要條件．答案：充分不必要2．(2019·常州一中檢測)如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，點E，F(xiàn)分別為B1O和C1O的中點，長方體的各棱中，與EF平行的有______條．解析：∵EF是△OB1C1的中位線，∴EF∥B1C1.∵B1C1∥BC∥AD∥A1D1，∴與EF平行的棱共有4條．答案：43．下列命題中，真命題的個數(shù)為________．①如果兩個平面有三個不在一條直線上的公共點，那么這兩個平面重合；②兩條直線可以確定一個平面；③空間中，相交于同一點的三條直線在同一平面內；④若M∈α，M∈β，α∩β＝l，則M∈l.解析：根據(jù)公理3，可判斷①是真命題；兩條異面直線不能確定一個平面，故②是假命題；在空間，相交于同一點的三條直線不一定共面(如墻角)，故③是假命題；根據(jù)平面的性質可知④是真命題．綜上，真命題的個數(shù)為2.答案：24．已知l，m，n為兩兩垂直的三條異面直線，過l作平面α與直線m垂直，則直線n與平面α的關系是________．解析：因為l?α，且l與n異面，所以n?α，又因為m⊥α，n⊥m，所以n∥α.答案：n∥α5．如圖所示，在空間四邊形ABCD中，點E，H分別是邊AB，AD的中點，點F，G分別是邊BC，CD上的點，且eq\f(CF,CB)＝eq\f(CG,CD)＝eq\f(2,3)，則下列說法正確的是______(填序號)．①EF與GH平行；②EF與GH異面；③EF與GH的交點M可能在直線AC上，也可能不在直線AC上；④EF與GH的交點M一定在直線AC上．解析：連結EH，F(xiàn)G，如圖所示．依題意，可得EH∥BD，F(xiàn)G∥BD，故EH∥FG，所以E，F(xiàn)，G，H共面．因為EH＝eq\f(1,2)BD，F(xiàn)G＝eq\f(2,3)BD，故EH≠FG，所以EFGH是梯形，EF與GH必相交，設交點為M.因為點M在EF上，故點M在平面ACB上．同理，點M在平面ACD上，所以點M是平面ACB與平面ACD的交點，又AC是這兩個平面的交線，所以點M一定在直線AC上．答案：④6．如圖為正方體表面的一種展開圖，則圖中的四條線段AB，CD，EF，GH在原正方體中互為異面直線的對數(shù)為________對．解析：平面圖形的翻折應注意翻折前后相對位置的變化，則AB，CD，EF和GH在原正方體中，顯然AB與CD，EF與GH，AB與GH都是異面直線，而AB與EF相交，CD與GH相交，CD與EF平行．故互為異面的直線有且只有3對．答案：37．如圖是正四面體的平面展開圖，G，H，M，N分別為DE，BE，EF，EC的中點，在這個正四面體中，①GH與EF平行；②BD與MN為異面直線；③GH與MN成60°角；④DE與MN垂直．以上四個命題中，正確命題的序號是________．解析：還原成正四面體知GH與EF為異面直線，BD與MN為異面直線，GH與MN成60°角，DE⊥MN.答案：②③④8．(2019·通州月考)如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱CC1，C1D1，D1D，CD的中點，N是BC的中點，點M在四邊形EFGH及其內部運動，則M滿足________時，有MN∥平面B1BDD1.解析：∵HN∥DB，F(xiàn)H∥D1D，∴平面FHN∥平面B1BDD1.∵點M在四邊形EFGH及其內部運動，故M∈FH.答案：M在線段FH上9．(2018·南師附中檢測)如圖，E，F(xiàn)分別是長方體ABCD-A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中點．求證：四邊形B1EDF是平行四邊形．證明：設Q是DD1的中點，連結EQ，QC1，如圖．因為E是AA1的中點，Q是DD1的中點，所以EQ綊A1D1.又A1D1綊B1C1，所以EQ綊B1C1，所以四邊形EQC1B1為平行四邊形，所以B1E綊C1Q.又Q，F(xiàn)分別是D1D，C1C的中點，所以QD綊C1F，所以四邊形DQC1F為平行四邊形，所以C1Q綊DF.故B1E綊DF，所以四邊形B1EDF是平行四邊形．10．如圖所示，四邊形ABEF和四邊形ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥AD，BC＝eq\f(1,2)AD，BE∥FA，BE＝eq\f(1,2)FA，G，H分別為FA，F(xiàn)D的中點．(1)證明：四邊形BCHG是平行四邊形；(2)C，D，F(xiàn)，E四點是否共面？為什么？說明理由．解：(1)證明：因為G，H分別為FA，F(xiàn)D的中點，所以GH∥AD，GH＝eq\f(1,2)AD.又BC∥AD，BC＝eq\f(1,2)AD，所以GH綊BC，所以四邊形BCHG為平行四邊形．(2)四點共面，理由如下：由BE∥FA，BE＝eq\f(1,2)FA，G為FA的中點知，BE∥FG，BE＝FG，所以四邊形BEFG為平行四邊形，所以EF∥BG.由(1)知BG∥CH，所以EF∥CH，所以EF與CH共面．又D∈FH，所以C，D，F(xiàn)，E四點共面．三上臺階，自主選做志在沖刺名校1．如圖所示，設E，F(xiàn)，G，H依次是空間四邊形ABCD邊AB，BC，CD，DA上除端點外的點，eq\f(AE,AB)＝eq\f(AH,AD)＝λ，eq\f(CF,CB)＝eq\f(CG,CD)＝μ，則下列結論中正確的是________(填序號)．①當λ＝μ時，四邊形EFGH是平行四邊形；②當λ≠μ時，四邊形EFGH是梯形；③當λ≠μ時，四邊形EFGH一定不是平行四邊形；④當λ＝μ時，四邊形EFGH是梯形．解析：由eq\f(AE,AB)＝eq\f(AH,AD)＝λ，得EH∥BD，且eq\f(EH,BD)＝λ，同理得FG∥BD且eq\f(FG,BD)＝μ，當λ＝μ時，EH∥FG且EH＝FG.當λ≠μ時，EH∥FG，但EH≠FG，所以①②③正確，只有④錯誤．答案：①②③2．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1，CC1的中點，則在空間中與三條直線A1D1，EF，CD