線性方程組求解第1頁，共31頁，2023年，2月20日，星期六向量的線性運(yùn)算與向量組的線性相關(guān)性第2頁，共31頁，2023年，2月20日，星期六●向量與線性方程組引例一個(gè)方程對(duì)應(yīng)一組數(shù)矩陣的一行對(duì)應(yīng)一組數(shù)線性方程組可對(duì)應(yīng)一組數(shù)組；矩陣也可對(duì)應(yīng)一組數(shù)組。●向量的定義由n個(gè)數(shù)組成的有序數(shù)組稱為一個(gè)n維行向量，記作，其中稱為向量的第i個(gè)分量（或坐標(biāo)）。如果將有序數(shù)組寫成一列的形式，則稱向量為列向量。實(shí)際上，行向量即為一個(gè)行矩陣，列向量即為一個(gè)列矩陣。第3頁，共31頁，2023年，2月20日，星期六●幾個(gè)概念1、同維向量：分量個(gè)數(shù)相等的向量稱為同維向量。2、相等向量：如果向量與是同維向量，而且對(duì)應(yīng)的分量相等，則稱向量與相等。3、零向量：分量都是0的向量稱為零向量，記作O。4、負(fù)向量：稱向量為向量的負(fù)向量，記作。5、向量組：如果n個(gè)向量是同維向量，則稱為向量組第4頁，共31頁，2023年，2月20日，星期六●向量的線性運(yùn)算1、向量的加減法，稱向量設(shè)，則稱向量為向量與向量的和向量，記作為向量與向量的差向量，記作。2、數(shù)乘向量向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算稱為向量的線性運(yùn)算。設(shè)向量則稱向量為數(shù)與向量的數(shù)稱向量，記作第5頁，共31頁，2023年，2月20日，星期六●向量線性運(yùn)算的運(yùn)算律交換律結(jié)合律分配律第6頁，共31頁，2023年，2月20日，星期六●例1解

練習(xí)：已知，求解

第7頁，共31頁，2023年，2月20日，星期六●向量的線性關(guān)系解設(shè)則所以線性組合的概念：設(shè)有同維向量，如果存在一組數(shù)，使得成立，則稱向量可由向量組線性表示，或稱向量是向量組的線性組合。例2設(shè)判斷向量能否由向量組線性表示？如果可以，求出表達(dá)式。小結(jié)：可由向量組線性表示線性方程組有解第8頁，共31頁，2023年，2月20日，星期六●線性相關(guān)、線性無關(guān)的概念●顯然：含有零向量的向量組是線性相關(guān)的。因?yàn)樵O(shè)有向量組，如果存在一組不全為零的數(shù)，使得成立，則稱向量組線性相關(guān)，否則，稱向量組線性無關(guān)。即當(dāng)且僅當(dāng)

全為零時(shí)，才成立，則稱向量組

線性無關(guān)。第9頁，共31頁，2023年，2月20日，星期六證明例3證明下列向量組線性無關(guān)。設(shè)則所以所以向量組線性無關(guān)。稱向量組為n維向量空間的單位坐標(biāo)向量組。任何一個(gè)n維向量都可由向量組線性表示，第10頁，共31頁，2023年，2月20日，星期六例4討論向量組的線性相關(guān)性解設(shè)則利用矩陣的初等變換，可求得注：有無窮多組解可見，向量組線性相關(guān)齊次線性方程組有非零解第11頁，共31頁，2023年，2月20日，星期六練習(xí)判斷向量組的線性相關(guān)性解設(shè)則有因?yàn)槭欠匠探M的一組非零解所以線性相關(guān)第12頁，共31頁，2023年，2月20日，星期六證明例5已知向量組線性無關(guān)，證明：向量組線性無關(guān)。設(shè)則因?yàn)榫€性無關(guān)所以有解得所以向量組線性無關(guān)。第13頁，共31頁，2023年，2月20日，星期六例6設(shè)線性無關(guān)，又，試證明線性相關(guān)證明設(shè)則有因?yàn)榫€性無關(guān)所以有由于所以不全為零所以線性相關(guān)事實(shí)上，可取第14頁，共31頁，2023年，2月20日，星期六證明因?yàn)橄蛄拷M線性相關(guān)所以存在一組不全為零的數(shù)，使得則否則，若則由線性無關(guān)，可推得于是向量組線性無關(guān)這與已知矛盾，所以定理若向量組線性無關(guān)，而向量組線性相關(guān)，則向量可由向量組線性表示，而且表示方法惟一。第15頁，共31頁，2023年，2月20日，星期六于是假設(shè)另有表達(dá)式則可得由于線性無關(guān)，所以且表示方法唯一所以可由向量組線性表示，所以可由向量組線性表示。第16頁，共31頁，2023年，2月20日，星期六定理向量組線性相關(guān)的充分必要條件是該向量組中至少有一個(gè)向量可由其余的向量組線性表示。證明因?yàn)橄蛄拷M線性相關(guān)所以存在不全為零的數(shù)使得不妨設(shè)于是有反過來，若有可由線性表示則有所以線性相關(guān)第17頁，共31頁，2023年，2月20日，星期六例7設(shè)試問為何值時(shí)，可由線性表示，且表示方法唯一？解設(shè)則有（*）因?yàn)榭捎删€性表示，且表示方法唯一所以，方程組（*）只有唯一的一組解所以有解得第18頁，共31頁，2023年，2月20日，星期六小結(jié)：齊次線性方程組有非零解齊次線性方程組只有零解線性相關(guān)向量組（1）向量組線性無關(guān)（2）(3)向量可由向量組線性表示線性方程組有解第19頁，共31頁，2023年，2月20日，星期六●向量組的線性相關(guān)性的幾個(gè)性質(zhì)定理1、單個(gè)非零向量是線性無關(guān)的。2、兩個(gè)向量線性相關(guān)的充分必要條件是對(duì)應(yīng)分量成比例。3、增加向量，不改變向量組的線性相關(guān)；減少向量，不改變向量組的線性無關(guān)。即部分相關(guān)，則整體相關(guān)；整體無關(guān)，則部分無關(guān)。4、增加分量，不改變向量組的線性無關(guān)；減少分量，不改變向量組的線性相關(guān)。即低維無關(guān)，則高維無關(guān)；高維相關(guān)，則低維相關(guān)。5、n+1個(gè)n維的向量構(gòu)成的向量組是線性相關(guān)的。第20頁，共31頁，2023年，2月20日，星期六●向量組的極大無關(guān)組如果向量組的部分組滿足（1）線性無關(guān)；（2）任意增加一個(gè)向量（如果存在的話），向量組線性相關(guān)。則稱向量組為向量組的一個(gè)極大線性無關(guān)組，簡(jiǎn)稱為極大無關(guān)組。例如：向量組線性相關(guān)，線性無關(guān)。向量組是向量組的一個(gè)極大無關(guān)組。向量組也是向量組的一個(gè)極大無關(guān)組。可見，一個(gè)向量組的極大無關(guān)組不是惟一的。第21頁，共31頁，2023年，2月20日，星期六●向量組的秩向量組的極大無關(guān)組中所含向量的個(gè)數(shù)，稱為向量組的秩。記作例如：向量組的秩為2。如果向量組的秩小于向量組所含向量的個(gè)數(shù)，即，則向量組線性相關(guān)。矩陣A的秩=矩陣A的行向量組的秩=矩陣A的列向量組的秩可利用矩陣的初等變換求向量組的秩及極大無關(guān)組。如果向量組的秩等于向量組所含向量的個(gè)數(shù)，即，則向量組線性無關(guān)。第22頁，共31頁，2023年，2月20日，星期六●向量組的等價(jià)關(guān)系如果向量組A：中的每一個(gè)向量可由向量組B：線性表示，同時(shí)，向量組B中的每一個(gè)向量可由向量組A線性表示，則稱向量組A與向量組B等價(jià)。定理：等價(jià)向量組的秩相等。一個(gè)向量組和它的任意一個(gè)極大無關(guān)組是等價(jià)的。等價(jià)向量組的性質(zhì)（1）反身性：向量組A與自身等價(jià)；（2）對(duì)稱性：如果向量組A與B等價(jià)，則向量組B與A等價(jià)；（3）傳遞性：如果A與B等價(jià)，B與C等價(jià)，則A與C等價(jià)。第23頁，共31頁，2023年，2月20日，星期六例1

判別下列向量組的線性相關(guān)性解令因?yàn)樗跃€性相關(guān)。第24頁，共31頁，2023年，2月20日，星期六例2

判別下列向量組的線性相關(guān)性解：令因?yàn)樗跃€性無關(guān)。第25頁，共31頁，2023年，2月20日，星期六例3

求向量組的秩及一個(gè)極大無關(guān)組，并用該極大無關(guān)組表示余下的向量。解構(gòu)成矩陣，令第26頁，共31頁，2023年，2月20日，星期六于是，是它的一個(gè)極大無關(guān)組。且第27頁，共31頁，2023年，2月20日，星期六例4

求下列向量組的一個(gè)極大無關(guān)組解法1