《機械振動學》習題解答（三）2013-05-1511力法

牛頓第二定律/動量矩定理2視察法對鏈式系統，直接寫出結果3剛度法/柔度法剛度法——要使第j個廣義坐標發生單位位移而其余廣義坐標的位移為0，需要在第i個廣義坐標上施加的力，即為剛度矩陣[K]中的元素kij

柔度法——在第j個廣義坐標上施加單位力，使第i個廣義坐標發生的位移，即為柔度矩陣[A]中的元素aij

4Lagrange方程多自由度系統列微分方程慣性力保守力阻尼力動能勢能2Ok2xk1J0T2T1θT1mg解法一(力法)：設m相對平衡位置的位移為x，向下為正；J0相對平衡位置的轉角為θ，順時針為正。對m：對J0：2－14

如圖所示，固定滑車力學模型中，起吊物品質量為m，滑輪繞中心O的轉動慣量為J0，假定繩索與滑輪間無滑動，求系統的振動微分方程。整理可得微分方程：注：重力項和彈簧靜伸長抵消，因為mg=kΔ。（參見習題2-5）由θ單獨引起的彈簧彈力（彈簧被壓短）由x單獨引起的彈簧彈力（彈簧被拉長）3解法二（Lagrange方程）：設m相對平衡位置的位移為x；J0相對平衡位置的轉角為θ。

系統動能：

系統勢能：Ok2x將以上各式代入Lagrange方程：即得微分方程。k1J0θ注：重力勢能和彈簧靜變形的彈性勢能抵消。m4解法三（剛度法）：設m相對平衡位置的位移為x，向下為正；J0相對平衡位置的轉角為θ，順時針為正。先令x=1，θ=0，要使系統受力平衡，須在m上施加向下的力k1，在J0上施加逆時針力矩k1R，即再令x=0，θ=1，要使系統受力平衡，須在m上施加向上的力k1R，在J0上施加順時針力矩

即

因此微分方程為Ok2xk1J0θm5解法四（柔度法）：設m相對平衡位置的位移為x，向下為正；J0相對平衡位置的轉角為θ，順時針為正。假設m受到一個向下的單位力，則彈簧k1相對平衡位置伸長1/k1，彈簧k2相對平衡位置伸長1/k2，所以x=1/k1+1/k2，θ=1/(k2R)，即

假設J0受到一個順時針方向的單位力矩，則彈簧k1相對平衡位置無變形，彈簧k2伸長1/k2R，所以x=1/k2R，θ=1/(k2R2)，即

因此微分方程為Ok2xk1J0θm62－15

用視察法建立圖示鏈式系統的振動微分方程。解：微分方程為與m1相連的所有彈簧連接m1和m2之間的所有彈簧的負數對角陣對稱陣(規則與剛度陣相同)對稱陣與m2相連的所有彈簧m1k4k1k2k3c1m272－16

繩索-質量系統的參數如圖所示，設m1=2m2，各段繩索中的張力均為T。試用柔度法建立系統作微振動的微分方程。解法一：（柔度法）把m1和m2豎直方向的位移作為廣義坐標，向下為正。對m1施加一豎直向下的單位力，使m1和m2產生的位移即為柔度系數a11和a21。同理，對m2施加一豎直向下的單位力，得柔度系數a12和a22。

于是微分方程：Tm1m2T1θ1θ2LLL8解法二：（剛度法）把m1和m2豎直方向的位移作為廣義坐標，向下為正。使m1產生豎直向下的單位位移，m2位置不變，需要對m1和m2施加的豎直向下的力，即為剛度系數k11和k21。同理，使m2產生豎直向下的單位位移，m1位置不變，得剛度系數k12和k22。于是微分方程：Tm1m2Tθ1LLLk11Tk21T92－17

如圖所示系統中，k1=k2

=k3

=k，m1=m2

=m，r1=r2

=r，J1=J2

=J。求系統的振動微分方程。解：（力法）設J1和J2分別沿順時針方向旋轉了θ1和θ2。則彈簧內力分別為（均為拉伸）

對J1和J2受力分析：k2于是微分方程：k1F1F2F2F3k3J1,r1J2,r2θ1θ2注：還可以用剛度法列方程。102－18

行車載重小車運動的力學模型如圖所示，小車質量為m1，受到兩根剛度為k的彈簧的約束，懸掛物品質量為m2，懸掛長度為L，擺角θ很小，求系統的振動微分方程。解：（Lagrange方程）以m1水平方向的位移和m2的擺角為廣義坐標。

由于m2相對m1的速度為，m1的速度（即牽連速度）為，故m2的絕對速度為系統的動能為

勢能為kkLm1θm211令L=T-U，列Lagrange方程：可得于是微分方程：略去高階項，且，方程可化簡為12微分方程令，代入方程得線性方程組要使方程有非零解，須，從而得固有頻率。將代回線性方程組，得對應的振型。于是振型矩陣振型具有正交性：正則振型

多自由度系統自由振動將[M]換成[K]也成立13微分方程令，方程可解耦

令，方程可解耦1直接解令，得，解得2

模態綜合法

先分析自由振動，得到振型和主坐標，使方程解耦，再解方程多自由度系統受迫振動143－8

求圖示系統的固有頻率和主振型（桿為剛性，不計質量）。解：(剛度法)以m和2m豎直方向的位移為廣義坐標，向下為正。使m產生豎直向下的單位位移，2m位置不變，需要對m和2m施加的豎直向下的力，即為剛度系數k11和k21。k于是微分方程：kLm2mLL得同理可得：1k11k212kk15微分方程線性方程組特征方程解得固有頻率

將固有頻率代入線性方程組，得振幅比于是振型矩陣：163－9

如圖所示均質桿的質心c點向下移動的位移x及桿順時針方向轉角θ

為廣義坐標，求系統的固有角頻率和主振型。解：設桿的質心向下移動x且向順時針方向旋轉θ。分別分析桿的受力平衡和力矩平衡：k于是微分方程：kL/4mcL/4L/217微分方程線性方程組特征方程解得固有頻率

將固有頻率代入線性方程組，得振幅比于是振型矩陣：183－10

如圖所示扭轉振動系統中，kt1=kt2

=kt，J1=

2J2

=2J。①求系統的固有頻率和主振型；②設θ1(0)=1rad，θ2(0)=2rad，，求系統對初始條件的響應。解：設J1和J2的轉角分別為θ1和θ2，分析其力矩平衡kt2于是微分方程：特征方程

固有頻率kt1J1θ1J2θ2（也可用視察法）19由振型矩陣

得系統響應為

代入初始條件

解得即203－11

求圖示系統的振型矩陣

、正則化振型矩陣和主坐標。解：用視察法可得微分方程

特征方程固有頻率kmkmk振型矩陣主質量：主質量矩陣21主坐標正則化的振型矩陣(p.63式3-79)或注：據此，微分方程可改寫為如下的解耦形式：223－12

如圖所示系統中，軸的抗彎剛度為EI，它的慣性矩不計，圓盤的轉動慣量J=mR2/4，R=L/4，靜平衡時軸在水平位置。求系統的固有頻率。解：以圓盤豎直向下的位移x和轉角θ

為廣義坐標。方法一：柔度法微分方程：LR23方法二：剛度法當梁端點的撓度為1，轉角為0時，受到的力為k11，力矩為k21。當梁端點的撓度為0，轉角為1時，受到的力為k12，力矩為k22。LR微分方程：24計算固有頻率特征方程固有頻率LR253－13

用Rayleigh法和Dunkerley公式估算圖示系統中質點在鉛垂平面中作垂直于繩索微振動時的基頻，并與精確解相比較。解：由2-16題知，微分方程特征方程：m1m2LLL解得基頻的精確解：26Rayleigh法Dunkerley法274－15

扭轉振動參數如圖所示，求系統在簡諧激勵下的穩態響應。解：微分方程kt線性方程組：振幅

穩態響應kt2Jθ1Jθ2Tsinωt284－17

求圖示有阻尼兩自由度系統的穩態響應。解：微分方程特征方