2020屆安徽省馬鞍山市高考數學一模考試

文科試題

一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的，請在答題卡相應位置將正確結論的代號用2B鉛筆涂黑．

1．已知集合S={0，1，2，3，4，5，6}，T={x|x2﹣6x+5≤0}，則S∩T=()

A．{2，3，4}B．{1，2，3，4，5}C．{2，3}D．T

2．復數(i是虛數單位)在復平面內對應的點在()

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

3．△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知，A=60°，則c=()

A．B．1C．D．2

4．若x是方程lnx+x﹣3=0的實數解，則x屬于區間()00

A．(1，1.5)B．(1.5，2)C．(2，2.5)D．(2.5，3)

5．已知變量x，y滿足，且目標函數z=x+2y的最小值為﹣2，則k的值為()

A．B．C．﹣2D．2

6．從正五邊形的5個頂點中隨機選擇3個頂點，則以它們作為頂點的三角形是銳角三角形的

概率是()

A．B．C．D．

7．設m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列命題正確的是()

A．“m∥α，m∥β”是“α∥β”的充分不必要條件

B．m∥n時，“m∥β”是“n∥β”的必要不充分條件

C．n?α時，“m⊥α”是“m⊥n”的既不充分也不必要條件

D．m⊥α，n⊥β時，“m⊥n”是“α⊥β”的充要條件

8．執行如圖所示的程序框圖，則輸出的S的值為()

A．4B．5C．6D．7

9．已知函數f(x)是定義在實數集R上的奇函數，若x＞0時，f(x)=x?ex，則不等式f(x)＞3x的解集為()

A．{x|﹣ln3＜x＜ln3}B．{x|x＜﹣ln3，或x＞ln3}

C．{x|﹣ln3＜x＜0，或x＞ln3}D．{x|x＜﹣ln3，或0＜x＜ln3}

10．已知函數f(x)=x﹣alnx，當x＞1時，f(x)＞0恒成立，則實數a的取值范圍是()

A．(1，+∞)B．(﹣∞，1)C．(e，+∞)D．(﹣∞，e)

11．過點(3，6)的直線被圓x2+y2=25截得的弦長為8，這條直線的方程是()

A．3x﹣4y+15=0B．3x+4y﹣33=0

C．3x﹣4y+15=0或x=3D．3x+4y﹣33=0或x=3

12．已知函數，若關于x的方程f2(x)+(a﹣1)f(x)﹣a=0有7個不等的實數根，則實數a的取值范圍是()

A．[1，2]B．(1，2)C．(﹣2，﹣1)D．[﹣2，﹣1]

二、填空題：本大題共4個小題，每小題5分，共20分．請在答題卡上答題．

13．已知向量，，且∥，則=．

14．一個幾何體的三視圖如圖所示，圖中矩形均為邊長是1的正方形弧線為四分之一圓，則該幾何體的體積是．

15．函數f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的圖象關于y軸對稱，該函數

的部分圖象如圖所示，△PMN是以MN為斜邊的等腰直角三角形，且，則f(

1

)

的值為．

{a}通項公式；

n

，求數列

{b}前

n

的焦點為

16．橢圓

．

橢圓的離心率的范圍是

F，F，若橢圓上存在滿足

12

的點

P，則

三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

17．已知數列

{a}的前n項和為

n

S．，且

n

．

(Ⅰ)求

(Ⅱ)設

18．PM2.5是指大氣中直徑小于或等于

霾的原因之一．PM2.5日均值越小，空氣質量越好

境空氣質量標準》見表：

n項的和T．

n

2.5微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物，它是形成霧

.2012年2月29日，國家環保部發布的《環

PM2.5日均值k(微空氣質量等級

克)

k≤35一級

35＜k≤75二級

k＞75超標

針對日趨嚴重的霧霾情況，各地環保部門做了積極的治理．馬鞍山市環保局從市區2015年11

月~12月和2016年11月~12月的PM2.5檢測數據中各隨機抽取9天的數據來分析治理效

果．樣本數據如莖葉圖所示(十位為莖，個位為葉)

(Ⅰ)分別求兩年樣本數據的中位數和平均值，并以此推斷2016年11月~12月的空氣質量

是否比2015年同期有所提高？

(Ⅱ)在2015年的9個樣本數據中隨機抽取兩天的數據，求這兩天空氣質量均超標的概率？

(α為參數，α∈R)，在以

．

19．如圖1，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，BC∥AD，AD=2AB=4，BC=3，E為AD中點，EF⊥BC，垂足為F．沿EF將四邊形ABFE折起，連接AD，AC，BC，得到如圖2所示的六面體ABCDEF．若

折起后AB的中點M到點D的距離為3．

(Ⅰ)求證：平面ABFE⊥平面CDEF；

(Ⅱ)求六面體ABCDEF的體積．

20．設動點P(x，y)(x≥0)到定點F(1，0)的距離比它到y軸的距離大1，記點P的軌跡

為曲線C．

(Ⅰ)求曲線C的方程；

(Ⅱ)設D(x，2)是曲線C上一點，與兩坐標軸都不平行的直線l，l過點D，且它們的傾012

斜角互補．若直線l，l與曲線C的另一交點分別是M，N，證明直線MN的斜率為定值．

12

21．已知函數．

(Ⅰ)當a=1時，求函數f(x)的極值；

(Ⅱ)討論函數f(x)的單調性．

[選修

請考生在第(22)和第(23)題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分．

4-4：坐標系與參數方程

22．在平面直角坐標系

坐標原點為極點，

]

xOy中，曲線C的參數方程為

1

x軸非負半軸為極軸的極坐標系中，曲線

(Ⅰ)求曲線C的普通方程與曲線C的直角坐標方程；12

(Ⅱ)若曲線C和曲線C相交于A，B兩點，求|AB|的值．12

[選修4-5：不等式選講]

23．已知函數f(x)=|x﹣a|．

(Ⅰ)若a=1，解不等式：f(x)≥4﹣|x﹣3|；

(Ⅱ)若f(x)≤1的解集為[0，2]，(m＞0，n＞0)，求mn的最小值．

2020屆安徽省馬鞍山市高考數學一模考試

文科試題參考答案

一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的，請在答題卡相應位置將正確結論的代號用2B鉛筆涂黑．

1．已知集合S={0，1，2，3，4，5，6}，T={x|x2﹣6x+5≤0}，則S∩T=()

A．{2，3，4}B．{1，2，3，4，5}C．{2，3}D．T

【考點】交集及其運算．

【分析】化簡集合T，根據交集的定義寫出S∩T即可．

【解答】解：集合S={0，1，2，3，4，5，6}，

T={x|x2﹣6x+5≤0}={x|1≤x≤5}，

則S∩T={1，2，3，4，5}．

故選：B．

2．復數(i是虛數單位)在復平面內對應的點在()

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【考點】復數代數形式的混合運算．

【分析】利用復數的運算法則、共軛復數的定義、幾何意義即可得出．

【解答】解：

故選：A．

=2i+

=2i+1﹣i=1+i在復平面內對應的點(

1，1)．

3．△ABC的內角A，B，C的對邊分別為

A．B．1C．D．2

【考點】余弦定理．

【分析】由已知利用余弦定理即可計算得解．

【解答】解：∵，A=60°，

∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：

∴解得：c=1．

a，b，c．已知

3=4+c2﹣2×

，A=60°，則c=()

，整理可得：c2﹣2c+1=0，

故選：B．

4．若x是方程lnx+x﹣3=0的實數解，則x屬于區間()00

A．(1，1.5)B．(1.5，2)C．(2，2.5)D．(2.5，3)

【考點】二分法的定義．

【分析】由方程

即可．

【解答】解：∵方程

lnx+x=3，設對應函數

lnx+x﹣3=0，

f(x)=lnx+x﹣3，然后根據根的存在性定理進行判斷

∴設對應函數f(x)=lnx+x﹣3，

∵f(2)=ln2+2﹣3=ln2﹣1＜0，f(2.5)=ln2.5+2.5﹣3=ln2.5﹣0.5lne＞0，

∴根據根的存在性定理可知在區間(2，2.5)內函數存在零點，

即x屬于區間(2，2.5)．

0

故選：C．

5．已知變量x，y滿足，且目標函數z=x+2y的最小值為﹣2，則k的值為()

A．B．C．﹣2D．2【考點】簡單線性規劃．

【分析】作出不等式組對應的平面區域，利用目標函數z=x+2y的最小值為﹣2，建立條件關系

即可求出k的值．

【解答】解：目標函數z=x+2y的最小值為﹣2，

∴y=﹣x+z，要使目標函數z=x+2y的最小值為﹣2，

則平面區域位于直線y=﹣x+z的右上方，求x+2y2，

作出不等式組對應的平面區域如圖：

則目標函數經過點A，

由，解得A(﹣k，﹣k)，同時A也在直線x+2y2時，

即﹣3k=﹣2，

解得k=，

故選：B．

6．從正五邊形的5個頂點中隨機選擇3個頂點，則以它們作為頂點的三角形是銳角三角形的

概率是()

A．B．C．D．【考點】列舉法計算基本事件數及事件發生的概率．

【分析】從正六邊形的6個頂點中隨機選擇3個頂點，選擇方法有種，且每種情況出現的

可能性相同，故為古典概型，由列舉法計算出它們作為頂點的三角形是直角三角形的方法種數，

求比值即可

【解答】解：從正五邊形的5個頂點中隨機選擇

基本事件總數為n==10，

它們作為頂點的三角形是銳角三角形的方法種數為

3個頂點，

5，

∴以它們作為頂點的三角形是銳角三角形的概率是

p=．

故選：C．

7．設m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列命題正確的是()

A．“m∥α，m∥β”是“α∥β”的充分不必要條件

B．m∥n時，“m∥β”是“n∥β”的必要不充分條件

C．n?α時，“m⊥α”是“m⊥n”的既不充分也不必要條件

D．m⊥α，n⊥β時，“m⊥n”是“α⊥β”的充要條件

【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．

【分析】利用線面面面平行與垂直的判定及其性質定理即可判斷出關系．

【解答】解：A．“m∥α，m∥β”是“α∥β”的既不充分也不必要條件，因此不正確；

B．m∥n時，“m∥β”是“n∥β”的既不充分也不必要條件，因此不正確；

C．n?α時，“m⊥α”是“m⊥n”的充分但不必要條件，因此不正確；

D．m⊥α，n⊥β時，“m⊥n”是“α⊥β”的充要條件，正確．

故選：D．

8．執行如圖所示的程序框圖，則輸出的

S的值為()

A．4B．5C．6D．7

【考點】程序框圖．

【分析】由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環結構計算并輸出變量S的值，模

擬程序的運行過程，分析循環中各變量值的變化情況，可得答案．

【解答】解：模擬程序的運行，可得

n=1，S=0

a=1，b=﹣1

滿足條件滿足條件滿足條件滿足條件滿足條件不滿足條件

故選：

n≤5，執行循環體，

n≤5，執行循環體，

n≤5，執行循環體，

n≤5，執行循環體，

n≤5，執行循環體，

n≤5，退出循環，輸出

B．

S=1，n=2，a=2，b=﹣2

S=2，n=3，a=3，b=﹣3

S=3，n=4，a=4，b=﹣4

S=4，n=5，a=5，b=﹣5

S=5，n=6，a=6，b=﹣6

S的值為5．

9．已知函數f(x)是定義在實數集＞3x的解集為()

A．{x|﹣ln3＜x＜ln3}B．

R上的奇函數，若x＞0時，f(x)=x?ex，則不等式

{x|x＜﹣ln3，或x＞ln3}

f(x)

C．{x|﹣ln3＜x＜0，或x＞ln3}D．{x|x＜﹣ln3，或0＜x＜ln3}

【考點】函數奇偶性的性質．

【分析】根據函數奇偶性的性質求出當x＜0的解析式，解不等式即可．

【解答】解：若x＜0，則﹣x＞0，

∵當x＞0時，f(x)=x?ex，

∴當﹣x＞0時，f(﹣x)=﹣x?e﹣x，

∵f(x)是定義在R上的奇函數，

∴f(﹣x)=﹣x?e﹣x=﹣f(x)，

則f(x)=x?e﹣x，x＜0，

當x＞0時，不等式f(x)＞3x等價為x?ex＞3x即ex＞3，

得x＞ln3，此時x＞ln3，

當x＜0時，不等式f(x)＞3x等價為x?e﹣x＞3x即e﹣x＜3，

得﹣ln3＜x＜0，

當x=0時，不等式f(x)＞x等價為0＞0不成立，

綜上，不等式的解為﹣ln3＜x＜0，或x＞ln3，

故選A．

10．已知函數f(x)=x﹣alnx，當x＞1時，f(x)＞0恒成立，則實數a的取值范圍是()

A．(1，+∞)B．(﹣∞，1)C．(e，+∞)D．(﹣∞，e)

【考點】利用導數求閉區間上函數的最值．

【分析】由f(x)＞0對x∈(1，+∞)上恒成立可分a≤1和a＞1來討論轉化為函數的最小

值大于等于0的問題來求解．

【解答】解：f′(x)=1﹣=，

當a≤1時，f'(x)≥0在(1，+∞)上恒成立，

則f(x)是單調遞增的，

則f(x)＞f(1)=1恒成立，則a≤2，

當a＞1時，令f′(x)＞0，解得：x＞a，令f′(x)＜0，解得：1＜x＜a，

故f(x)在(1，a)上單調遞減，在(a，+∞)上單調遞增，

所以只需f(x)=f(a)=a﹣alna＞0，解得：x＜e，

min

綜上：a＜e，

故選：D．

11．過點(3，6)的直線被圓x2+y2=25截得的弦長為8，這條直線的方程是()

A．3x﹣4y+15=0B．3x+4y﹣33=0

C．3x﹣4y+15=0或x=3D．3x+4y﹣33=0或x=3

【考點】直線與圓的位置關系．

【分析】由圓的方程，可知圓心(

種情況，一是若直線斜率不存在，則垂直

0，0)，r=5，圓心到弦的距離，求圓心到直線的距離，分兩

x軸x=3，成立；若斜率存在，由圓心到直線距離

=3求解．

【解答】解：圓心(0，0)，r=5，圓心到弦的距離=3，

若直線斜率不存在，則垂直x軸

x=3，圓心到直線距離

若斜率存在

y﹣6=k(x﹣3)即：

則圓心到直線距離

解得k=，

=|0﹣3|=3，成立

kx﹣y﹣3k+6=0

=3，

綜上：x﹣3=0和3x﹣4y+15=0

故選C．

12．已知函數，若關于x的方程f2(x)+(a﹣1)f(x)﹣a=0有7個不等的實數根，則實數a的取值范圍是()

A．[1，2]B．(1，2)C．(﹣2，﹣1)D．[﹣2，﹣1]

【考點】根的存在性及根的個數判斷．

【分析】畫出函數的圖象，利用函數的圖象，判斷f(x)的范圍，然后利用二次函數的性質

求解a的范圍．

【解答】解：函數的圖象如圖：

關于f2(x)+(a﹣1)f(x)﹣a=0有7個不等的實數根，即[f(x)+a][f(x)﹣1]=0有7個不等的實數根，

∴f(x)=﹣a必須有4個不相等的實數根，由函數

可知﹣a∈(1，2)，∴a∈(﹣2，﹣1)．

故選：C．

f(x)=1有f(x)圖象

3個不等的實數根，

二、填空題：本大題共

13．已知向量

5分，共

∥，則

20分．請在答題卡上答題．

=2．

4個小題，每小題

，，且

【考點】平面向量共線(平行)的坐標表示．

【分析】利用向量共線定理、模的計算公式即可得出．

【解答】解：∵∥，∴2x﹣6=0，解得x=3．

則=(﹣2，﹣4)，

則==2．

故答案為：．

14．一個幾何體的三視圖如圖所示，圖中矩形均為邊長是1的正方形弧線為四分之一圓，則該幾何體的體積是．

【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積．

進而

【分析】由已知中的三視圖，可得該幾何體是一個正方體切去八分之一球所得的組合體，

得到答案．

【解答】解：由已知中的三視圖，可得該幾何體是一個正方體切去八分之一球所得的組合體，

正方體的棱長為

球的半徑為

故組合體的體積

故答案為：

1，故體積為1，

1，故八分之一球的體積為：

V=．

=，

15．函數f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的圖象關于y軸對稱，該函數

的部分圖象如圖所示，△PMN是以MN為斜邊的等腰直角三角形，且，則f(

1

)

的值為0．

【考點】正弦函數的圖象．

【分析】由題意，求出結合函數的圖象，圖象關于

等腰直角三角形，可得|PM|?sin45°=

(x)=Asin(ωx+φ)

|

MN|，且

y軸對稱，φ=，△

，求解

PMN是以MN為斜邊的

|MN|和A，即得函數

f

【解答】解：由題意，圖象關于y軸對稱，

∵△PMN是以MN為斜邊的等腰直角三角形，可得

解得：|MN|=2，|PM|=

φ=，

|PM|?sin45°=

|

MN|，且

，

三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

，

．

故得A=，

T=2|MN|=4，

∴

∴函數f(x)=Asin(ωx+φ)=sin(當x=1時，即f(1)=cos=0．

故答案為0．

)=，

F，F，若橢圓上存在滿足

12

16．橢圓

的焦點為

．

橢圓的離心率的范圍是

【考點】橢圓的簡單性質．

【分析】由F、F是橢圓的兩個焦點，橢圓上存在點

12

推出a，c的關系，由此能求出離心率的范圍．

的點P，則

P，滿足

【解答】解：∵橢圓

的焦點為

F，F，若橢圓上存在滿足

12

的

點P，

=

b2，

4c2=

﹣2

∴||?||cos

|cos，

||?||

，解得

4c2=4a2﹣2

﹣b2，

可得+2||?||=4a2，∴

e

，可得

∴2|PF|?|PF|=3a2﹣3c2≤2

12

所以e∈

故答案為：

．

．

|

|

?|

．

17．已知數列

(Ⅰ)求

(Ⅱ)設

{a}的前n項和為

n

{a}通項公式；

n

，求數列

S．，且

n

{b}前n項的和T．

nn

【考點】數列的求和；數列遞推式．

【分析】(I)利用遞推關系即可得出．

(II)利用“錯位相減法”與等比數列的求和公式即可得出．

【解答】解：(Ⅰ)∵

∴n=1時，a=﹣1；n≥2時，

1

所以a=2n﹣3…6分

n

…8分

…①

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

…②

…11分

=

①﹣②得：

T=

n

…12分．

18．PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物，它是形成霧

霾的原因之一．PM2.5日均值越小，空氣質量越好.2012年2月29日，國家環保部發布的《環

境空氣質量標準》見表：

PM2.5日均值k(微空氣質量等級

克)

k≤35一級

35＜k≤75二級

k＞75超標

針對日趨嚴重的霧霾情況，各地環保部門做了積極的治理．馬鞍山市環保局從市區2015年11

月~12月和2016年11月~12月的PM2.5檢測數據中各隨機抽取9天的數據來分析治理效

果．樣本數據如莖葉圖所示(十位為莖，個位為葉)

(Ⅰ)分別求兩年樣本數據的中位數和平均值，并以此推斷

是否比2015年同期有所提高？

(Ⅱ)在2015年的9個樣本數據中隨機抽取兩天的數據，求這兩天空氣質量均超標的概率？

2016年11月~12月的空氣質量

【考點】列舉法計算基本事件數及事件發生的概率；莖葉圖．

【分析】(Ⅰ)由莖葉圖中數據能求出2015，2016兩年數據的中位數的平均值，

年11月~12月的空氣質量比2015年同期有所提高．

(Ⅱ)從2015年的9個數據隨機抽取兩天的數據，共有36種不同的情況，在這

有四個數據是空氣質量超標的數據，從中隨機抽取兩個，有6種不同的情況．

天空氣質量均超標的概率．

【解答】解：(Ⅰ)由莖葉圖中數據可知，2015，2016兩年數據的中位數分別為

2015年數據的平均數為，

2016年數據的平均數為，∴2016年11月~12月的空氣質量比2015年同期有所提高．…6分

(Ⅱ)從2015年的9個數據隨機抽取兩天的數據，共有36種不同的情況，

而在這9個數據中，有四個數據是空氣質量超標的數據，

從中隨機抽取兩個，有6種不同的情況．

所以所求概率為．…12分．

19．如圖1，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，BC∥AD，AD=2AB=4，BC=3，E為

垂足為F．沿EF將四邊形ABFE折起，連接AD，AC，BC，得到如圖2所示的六面體

折起后AB的中點M到點D的距離為3．

由此得到2016

9個數據中，

由此能求出這兩

61，51．

AD中點，EF⊥BC，

ABCDEF．若

以所∴

(Ⅰ)求證：平面ABFE⊥平面CDEF；

(Ⅱ)求六面體ABCDEF的體積．

【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；平面與平面垂直的判定．

【分析】(Ⅰ)取EF中點N，連接MN，DN，推導出四邊形ABFE是邊長為2的正方形，從而MN

⊥EF，MN⊥DN，進而MN⊥平面CDEF，由此能證明平面ABFE⊥平面CDEF．

ABCDEF四棱錐C﹣ABFE三棱錐A﹣CDE

(Ⅱ)連接CE，V六面體=V+V．由此能求出六面體ABCDEF的體積．

【解答】證明：(Ⅰ)取EF中點N，連接MN，DN．

根據題意可知，四邊形ABFE是邊長為2的正方形，

∴MN⊥EF．

F，

∵AD=2AB=4，BC=3，E為AD中點，EF⊥BC，垂足為

，

∴，∴

∴MN⊥DN，EF∩DN=N，

∴MN⊥平面CDEF．

6分

又∴MN?平面ABFE，∴平面ABFE⊥平面CDEF．…

解：(Ⅱ)連接CE，

=V+V．

則V六面體ABCDEF四棱錐C﹣ABFE三棱錐A﹣CDE

由(Ⅰ)的結論及CF⊥EF，AE⊥EF得，

CF⊥平面

ABFE，AE⊥平面CDEF，

，

，

．…12分

4=4x?x=1，從而D(1，2)

00

20．設動點P(x，y)(x≥0)到定點F(1，0)的距離比它到y軸的距離大1，記點P的軌跡

為曲線C．

(Ⅰ)求曲線C的方程；

(Ⅱ)設D(x，2)是曲線C上一點，與兩坐標軸都不平行的直線0

斜角互補．若直線l，l與曲線C的另一交點分別是

12

M，N，證明直線

l，l過點D，且它們的傾

12

MN的斜率為定值．

【考點】直線與拋物線的位置關系；拋物線的定義．

【分析】(Ⅰ)由題意知，動點P(x，y)(x≥0)到定點F(1，0)的距離等于點P(x，y)

到直線x=﹣1的距離，由拋物線的定義知點P的軌跡方程．

(Ⅱ)由D(x，2)在曲線C上，得4=4x?x=1，從而D(1，2)，設而不求的思想，利用韋000

達定理，通過直線l，l過點D，且它們的傾斜角互補建立關系，證明直線MN的斜率為定值．

12

【解答】解：(Ⅰ)由題意知，動點

P(x，

P(x，y)(x≥0)到定點F(1，0)的距離等于點

y)到直線x=﹣1的距離，

由拋物線的定義知點P的軌跡方程是以

F(1，0)為焦點，以x=﹣1為準線的拋物線，

故曲線C的方程為y2=4x．

(Ⅱ)由D(x，2)在曲線C上，得0

設M(x，y)，N(x，y)，

1122

直線l：y=k(x﹣1)+2，

1

則l：y=﹣k(x﹣1)+2，

2

，

由

∴

同理

，

．

∴，

∴

∴

直線MN的斜率為定值﹣1．

21．已知函數

(Ⅰ)當

(Ⅱ)討論函數

a=1時，求函數f(x)的極值；

f(x)的單調性．

【考點】利用導數研究函數的單調性；利用導數研究函數的極值．

【分析】(Ⅰ)求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間和極值即可；

(Ⅱ)求出函數的導數，通過討論a的范圍求出函數的單調區間即可．

【解答】解：(Ⅰ)當a=1時，…1分

f'(x)=ex+xex﹣(x+1)=ex(x+1)﹣(x+1)=(x+1)(ex﹣1)…2分

令f'(x)=0得x=﹣1，或x=0．

x(﹣∞，﹣1(﹣1，0)0(0，+∞)

﹣1)

+

f(x)

f'(x)

﹣

↘

↗

↗

+

0

0

∴x=﹣1時，f(x)有極大值

…3分

x=0時，f(x)有極小值f(0)=0…4分

(Ⅱ)f'(x)=ex+xex﹣a(x+1)=ex(x+1)﹣a(x+1)=(x+1)(ex﹣a)

(1)當a≤0時，ex﹣a＞0，

由f'(x)＞0得x＞﹣1，即在(﹣1，+∞)上，函數f(x)單調遞增，

由f'(x)＜0得x＜﹣1，即在(﹣∞，﹣1)上，函數f(x)單調遞減；…6分

(2)當a＞0時，令f'(x)=0得x=﹣1，或x=lna．

①當lna=﹣1即a=e﹣1時，無論x＞﹣1或x＜﹣1均有f'(x)＞0，又f'(﹣1)=0即在R上，f'(x)≥0，從而函數f(x)在R上單調遞增；…8分

②當lna＜﹣1即0＜