乘法公式1乘法公式1一、推導(dǎo)、觀察與探索推導(dǎo)的展開式，并總結(jié)公式.或.幫助學(xué)生認清每一項是由哪一部分產(chǎn)生的！【變式】根據(jù)例題結(jié)論請直接寫出下面式子的答案.⑴⑵推導(dǎo)、的公式，比較、、的公式，并探索規(guī)律.觀察上述三個公式，可發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：一、項數(shù)：設(shè)字母（或者說元）的個數(shù)為，則公式的展開式的項數(shù)為；二、次數(shù)：每個公式的展開式中的每一項的次數(shù)均為2；三、系數(shù)：每個公式中每個字母的二次項的系數(shù)為1，其余均為2.根據(jù)上述規(guī)律，可寫出任意個字母的完全平方公式.【變式】利用例題得出的規(guī)律推導(dǎo)、、的展開式.【解析】令中，也就是以替換可得，同理可知，根據(jù)例題中歸納出來的規(guī)律，的展開式共有15項，所有字母的二次項的系數(shù)均為1，其他項的系數(shù)均為2，每一項的次數(shù)均為2，由上述特點可知推導(dǎo)的公式，比較、，并探索規(guī)律.【解析】；；觀察上述幾個公式，可以發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：一、項數(shù)：公式展開后的項數(shù)等于公式左端的指數(shù)加1；二、次數(shù)：展開式中字母的次數(shù)均等于公式的指數(shù)，比如完全平方公式的指數(shù)為2，則展開式中字母的次數(shù)也都是2，展開式按的降冪排列的同時，按的升冪排列.三、系數(shù)：首末兩項的系數(shù)都是1，且這三個公式的展開式中各項系數(shù)滿足右圖.右圖中的系數(shù)表叫做楊輝三角（楊輝是我國宋朝數(shù)學(xué)家，寫有《詳解九章算術(shù)》一書.）【變式】利用例題得出的結(jié)論和相關(guān)規(guī)律推導(dǎo)、的展開式.【解析】，以替換上述公式中的可得由例題中歸納出的結(jié)論可知，有6項，每一項的次數(shù)均為5，各項系數(shù)根據(jù)楊輝三角可知，分別為1，5，10，10，5，1，故.隨練1.填空：⑴；⑵；⑶；⑷.⑴；⑵；⑶；⑷.拓展：=.填空：⑴；⑵.⑴；⑵.二、三元完全平方公式的運用計算：⑴； ⑵；填空：⑶；⑷【解析】⑴；⑵.⑶，，；⑷，.(河南省中考題)已知，，，求代數(shù)式的值.由，，，可知，，，故(06浙江寧波中考題)已知，，求的值.由可知，，故.(第屆希望杯培訓(xùn)試題)已知三個數(shù)滿足方程，求.三式相加，得，所以，.拓展：，，為有理數(shù)且，求的值．先將已知等式的等號兩邊分別展開，得：左邊；右邊 對等號兩邊合并同類項，得即因為，，均為實數(shù)所以，故.隨練3.（廣西競賽題）已知，則___________.解法一：由已知條件可知，，故，.解法二：由已知條件可知，，故，.隨練4.（第屆希望杯試）若，，，則．隨練5.如果，，是三邊的長，且，那么是()A.等邊三角形．B.直角三角形．C.鈍角三角形．D.形狀不確定．已知關(guān)系式可化為，即，所以，故，，.即．選A．三、立方和（差）、和（差）立方公式的運用立方和公式：； 立方差公式：；和的完全立方公式：； 差的完全立方公式：.計算：⑴； ⑵；⑶； ⑷；⑴；⑵；⑶；⑷；利用立方和、立方差公式填空：⑴；⑵；⑶.⑴；⑵；⑶，.(第八屆“祖沖之杯”初中數(shù)學(xué)競賽)已知，，求的值．由，∴．隨練6.計算：⑴⑵⑶⑷⑴；⑵；⑶；⑷.隨練7.若，求的值.解法一：由，故從而可知，解法二：由，故隨練8.(山西長治初中數(shù)學(xué)競賽)已知，，求的值．由，得，即．所以．四、巧用倒數(shù)法⑴已知：，求的值.⑵已知：，求的值.⑴∵，∴，即，⑵∵，∴，即，拓展：設(shè)，求的值.∵，∴，∴，所以已知：，求⑴；⑵；⑶的值.⑴∵，∴，∴，即⑵∵，∴，∴⑶∵，∴，∴若，則=__________.若，則=_________.，.隨練9.已知，，求、、的值.由可知，，又，故另外，求出之后，結(jié)合可知，，，故.隨練10.(101中學(xué)期中考試試題)已知，則=_________.，隨練11.設(shè)，求的值.由條件知，因而，即，，隨練12.若，求的值.解法一：由可知，解法二：，又，故.角谷猜想角谷靜夫是日本的一位著名學(xué)者。他提出了兩條極簡單的規(guī)則，可以對任何一個自然數(shù)進行變換，最終使它陷入角谷猜想角谷靜夫是日本的一位著名學(xué)者。他提出了兩條極簡單的規(guī)則，可以對任何一個自然數(shù)進行變換，最終使它陷入“4-2-1”的死循環(huán)。角谷提出的變換法則是：1.當(dāng)是奇數(shù)時，下一步變?yōu)椋?.當(dāng)是偶數(shù)時，下一步變?yōu)椤Ｈ藗儼阉Q為“角谷猜想”。任舉幾個例子試試看：當(dāng)N是一位數(shù)6時，按規(guī)則應(yīng)變?yōu)椋?→6÷2→3→3×3+1→10→10÷2→5→5×3+1→16→16÷2→8→8÷2→4→4÷2→2→2÷2→1→1×3+1→4→4÷2→2→2÷2→1→……最后落入“4-2-1”的死循環(huán)。當(dāng)N為兩位數(shù)，如46，應(yīng)變換為：46→46÷2→23→23×3+1→70→70÷2→35→35×3+1→106→106÷2→53→53×3+1→160→160÷2→80→80÷2→40→40÷2→20→20÷2→10→10÷2→5→5×3+1→16→16÷2→8→8÷2→4→4÷