?—l?—l/iV.k0/?ˇ/Cˇt?lnk1?ˇ/tCˇik0t——0C?D—1 11.1DV.k1ˇ/.1?ˇ/o?ˇln1?Dˇth利用FOCyD?ˇk? 右邊D uf.k/yCDuf.k/g.k/C 第一部分基 2實驗導讀.....................................2實驗目的.....................................2實驗內容與要求.................................2 啟動與退出...............................2 常用命令、變量定義與基本運算...................3 數組及其運算..............................568實驗導讀.....................................8實驗目的.....................................8實驗內容與要求.................................8 建立字符串與符號型變量.......................8 符號表達式的若干運算........................9 第三章Maltab文件與編 第二部分微積分實 第五章曲線擬 第六章極限和連 第七章計算積 第八章計算積 第九章代數方程的求 第十章常微分方程的求 第三部分線性代數實 第四部分概率統計實 第五部分數學建模基 第十一章數值積 第十二章插值問 第十三章曲線擬 第十四章無約束優化問 第十五章規劃問 第十六章高級優化問 第六部分高級數學建 第十七章金融數學綜合實 第十八章案例程序集 基礎第一章基本運 圖xx為 的默認桌面。第一行為菜單行，第二行為。下面是三個最常用窗口：右邊最大的是命令窗口(CommandWindow)，左上方前臺為工作空間(Workspace)，為當前(CurrentDirectory)，左下方為指令歷史(CommandHistory)，左下角還有一個開始(start)按鈕，用于快速啟動演示(Demo)、幫助(Help)和桌面工具等。點擊進入Matab命令窗口，即可輸入命令，開始編程和運算。ans 表 i或者 跟字母、數字、下劃線等31個字符。變量中不得包含空格和標點符號，不得包含有加減號，變量名最長可包含63個字符，如ab,a2,a_1均為有效的變量名。在中，變量名、函數名對字母大小寫是區分的，如，A和a兩個變量名表(如who,length等)和保留字(如for,if,while,end等)。 中，一般命令表達式的四則運算就直接用+，?，?，\即可。而對于乘方，開方運算則分別由∧符號和函數sqrt來實現，其它常用函數如表1.3所示。aabans這里ans是指當前的計算結果，若計算時用戶沒有對表達式設定變量， 自動附當前結果給ans變量。?V 個數組，元素間用空格或者逗號分隔，不間用分號或者回車分割。??? A 369?A123456789 取出A21列的元素，賦值給刪除A2√顯示（ 2為例formatformatformatshort1.4142e+formatlongformatformatformatformat+緊密格式，顯示數據+,?,產 矩陣，aij=1/(i+j?產生nAX XB=AA\AXBA第二章Maltab1.熟 注意：字符串的每個字符（包括空格）方法2，用命令syms創建多個符號變量、符號表達式用syms不能創建符號方程a ??ao,matrix?yx?y?ysymsabcdt定義a,b,c,d,t?fcollect(S)：將符號表達式SS=x2yy2x?x2?xy3y，分別對x和y合并同類項。?symsx?symsxy?ans??ans?symsx? 達式，D為分母的表達式??symsx?ND=復合函數以z為自變量compose(f,g,x,y,z)：返回復合函數f(g(z))，使得x為f的獨立變量，y為g的獨立變量?symsx?f=1/(1+x∧2*y); ?f=?g=?g在中進行符號簡化可由函數simple和simplify實現。simple(S)：對表達式多種恒等式轉換對符號表達式S進行綜合化簡f36 8?syms?f=??f?symsxab?f=?f?syms?f=?f??fsubs(S,old,new)：對表達式S中的變量old用變量new?symsaxy?S=?S2=double(S):若S是字符串，轉換為S中相應字符的ASCII值；若S是符號型變量，轉換為數值形式，若有非數字符號（除了m,n,i,j，則給出錯誤信息。sym(f):將f轉換為符號型變量（其中f為字符串或數值型變量）str2num(S)：將字符串S 轉換為字符串digits(d)：設置有效數 的近似解精度vpa(S,d)：求符號表達式S在精度digits(d)下的數值解eval(S)：執行符號表達式S的功能?syms?t=1+x;?vpa(s,7)%結果為??sym(’0.3’)%結果為?double(s)%結果為:1.333333,double(t)a=‘matrixlaboriatory’,s=sym(’m+n-2’)然后分別輸入命令a(3),s(3),s(1),double(a),double(s)，f(x)=x5+3x4+4x3+2x2+3x+x=s?1，將f(x替換成s求值S=∑6 32i=1+2+4+8+···+263。由于數值方法采用double形式進求證：cos(4a?4cos(2a3=8sin4(3x2/3)6因式分解：asin2x?(2a2?a+1)sinx+2a?第三章Maltab 軟件中關系運算和邏輯運算、M文件和M函數文件編制方法， 熟 軟件中M文件和M函數文件編制方 之間的大小，并返回真（用”1”表示、假（用”0”表示。6個：>（大于、<（小于、>=（大于等于、<=（小于等于、==（等于）和～=（不等于。為“真”，0的邏輯量為“假”。 ?isempty%因此在 1括號2矩陣冪3代數正邏輯非4矩陣乘矩陣左除5加67大于小于大于等于小于等于等于不等于8數組與9數組或??t3=～t1-? 要調用這個數據文件，只要在File菜單中點Open操作，就可以打開這個文件。要將令集成為M文件。M文件分為兩類：M文件和M函數文件。文件名名規則與變量名相 能，M對于M文件的生成，可以先打開文本編輯窗口（File->New->M-File，然 fu=inline(’2*x∧2+3*x+1’)v=fv(4,5,2)??fuInlinefunctionv格式：functiony1y2myfun([x1x2y1y2,...是輸出變量。v=v0+a*t;s=?vs 格式：myfun=inline(‘expr’,arg1,arg2,..∑mmyfun=??ansfor循環結構中，V為一個向量，循環變量i每次從V向量中取一個數值，執∑i?s=?fori= ??s=?while s=s+i;?在使用循環語句時，如果不陷入了死循環，可以使用快捷鍵Ctrl+C強行行組成的指令組。If指令組1；指令組2； ?s=?fori=???s=s+i;? ??ans第四章作圖初 計算limx→af計算limx→∞f計算單側極限limx→a+flimit(f,x,a,‘le計算單側極限limx→a?f例題：求極限limx→0(1+)1xsymsy=?ansexx。symsx;1其中z=6x?求極限

–求極限limx→0(x2x求極限

ffnfxifxin3x36x1的二階導數。symsf=?ansy=3x2?2x+1y′|x=1。symssymsy=3*x∧2-z=4其中z=6x?zx2sin(2yx的偏導數。symsxz=zx=?zxy=7x3?2x+3，求zexsin(2ylnxcos(2yyxt2sinty2tcostyx fxfx計算不定積分∫dx∫f(x,計算不定積分bdxdf(x, syms?1例題：計算∫xdx∫2symst=(1+x-1/x)∧1/2;1 (1+x?1/x)1/2dx∫計算∫

1計算∫2e?x210計算1x+1(x2y20 例題：用圖解法求解方程：ex?x3=1ezplot(‘exp(x)-x∧3-以把該點附近局部放大，直到曲線穿越橫軸，且x軸給出的各個標點的數值完全一致時，則可以斷定元方程的解為x軸的刻度。上述例題的9.1所示，即該方程的一個解為：x=1.5459.1:代數方程圖解方法默認圖形（左）和局部放大后的圖形(右符號工具箱中給出的solve函數可以求出代數方程的符號解，此函數對多例題：試用solve函數求解方程：x3=4x2?4x?1=0。1-yx+x?=1=x=其中，所求方程fun應該用M函數文件或者inline函數按指定的格式描述，x0為x。5x2sinxe?x0在區間內[010]試用數值方法求之。解答：先用繪圖命令繪制出方程曲線，看其與x軸的交點個ezplot(’5*xezplot(’5*x∧2*sin(x)-exp(-x)’,[0,10])holdon而，可以使用fsolve函數求其數值解。?ans x0.7sinx0.2cosy=0y?0.7cosx+0.2sin =functiony=fun(x)y=[y(1),y(2)];x=fsolve(’fun’,[0.5?x試用圖解法和數值求解方法分別求解方程：5x4?sin2x=求解方程 x1?x2?1=2(x1?2)+2(x2?0.5)?1=第十章掌握用 號解(解析解)，該函數的調用格式為：dsolve(f1,f2,..dsolve(f1,f2,..)=如果描述微分方程的自變量不是t而是x，則可以由后一個 y′′?y′?ex=0y(0)=1y′(0)=2下的dsolve(’D2y-Dy-?ansdsolve(’D2y-Dy-?ans 例題：求解微分方程y′?2y2x2+2x,0≤x≤0.5y(0)=1。2+y? +y=2y(0)=1y′(0)=0的解（μ=7。解答：建議讀者試者用dsolve dyf(tyx1=yx2=dyμ=7

?7(x1?1)x2?初值條件變為：x1(0)=1x2(0)=0y0=[t,x]= functiony=y0=[t,x]=因為沒有一種算法可以有效地解決所有ODE問題，為此， 解器Solver，對于不同的ODE問題，采用不同的Solver，具體如表10.1所示。單步法,4,5Runge-Kutta單步法,2,3Runge-Kuttay′′?y′2y=5y(0)=1y′(0)=2x′′(t) ?2x(t)?3x′(t)+y′′(t) 2x(t)?3y(t)?4x′(t)?4y′(t)?初始條件：x(0)=1x′(0)=2;y(0)=3y′(0)=a對于一元函數定積分，I=bf(x)dxf(x理論上不可積時，即使有a其中，x可以為行向量或者列向量，yx∈x=?ans h=π/30≈0.1，故得出的結果有較大的誤差。若步長自適應步長方法給出了quad函數來求取定積分，該函數的調用格式為：這里fun是一個描述北極函數的字符串變量，可以是一個fun.m函數文件名，還inline函數直接定義。a,b,分別為定積分的上限和下限，ε為用戶指定的誤差限，默認值是10?6。∫02 x dx調用quad函數求解定積分如下：functiony=3*x.∧2./(x.∧3-另外，還提供了一個新的函數quadl，其調用格式和quad完全一致，由于使用新型算法其精度和速度遠高于quad函數，建議在追求高精度數值解時可以采用

∫ ∫e?x2/2sin(x2y)dxfun=inline(’exp(-I=dblquad(fun,-2,2,-?I對于長方體區域中的三重積分 中提供triplequad來求解三重積acmacm例題：試求出三重積分I dx0dy0∫ ∫∫30I=?I y=f(x)上，則由這些已知樣本點的信息獲得該函數在其它點上的函數值的方y1interpl(x,y,x1,=[變量和函數值數據，可以用這兩個向量來表示已知的樣本點坐標，切不要求x向量為單調的。x1為用戶指定的一組新的插值點的橫坐標，這可以使標量、向量或者矩陣。而得出的y1是在這一組插值點處的插值結果。可以選nearest（最近點等值方式，cubic（Hermite插值）和spline（三次分段樣19002010年的國民生產總值(GDP)年的GDPGDPGDP ?p2005=interp1(year,?x=?y=interp1(year,??p2005選插值網格點(x1,y1)處的函數近似值。此函數中可以選用的插值方法仍然為linear，cubic和spline。和一元函數插值類

xy12345xy6789xy =φ(x)=anxn+an?1xn?1+...+a1x+ p=項式系數按降冪排列得出的行向量，可以用符號運算工具箱中的ploy2sym函數將其轉換成真正的多項式形式，也可以使用polyval函數求取多項式的值。x13y假設有一組數據(xiyi)(i=12···N)

J= 其中，fun為原型函數的表示，可以是M函數或者inline函數，a0為最優xyxy x12345yx6789y <得到下一個點xk+1=xk+λkpk令k=k+1，返回，繼續迭代ff) x x?xx?321221221取x0=(?2,4)Tx0=[-?fx可知，目標函數的最小值為-1，此時，x1=1x2=1x2?x2?1 (x1?2)2+(x2?0.5)2?1=min(x2?x2?1)2+((x1?2)2+(x2?0.5)2?1f=(x(1)∧2-x(2)-1)∧2+((x(1)-2)∧2+(x(2)-0.5)∧2-x0=?fx可知，非線性方程組的解為：x1可知，非線性方程組的解為：x1=1.0673x2=0.1392x其中，x=[x1x2···xn]Tf稱為目標函數，該數學表示的含義是求取一組x向量，使得最優化目標函數f(x)為最小。其中，funMinline例題：已知二元函數z=f(x,y)=(x2?2x)e?x2?y2?xy，試用最小值。解答：首先用inline語句定義目標函數：x0=x=x=?x 1. f=c1x1+c2x2+···+a11x1+a12x2+···+

x+ x+···+ m1 m2 mn xi≥ (i=1,2,..., f=cT Ax≤ x≥f=cTAx≤Aeqx=lb≤x≤ [x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)linprog查閱。f=4x1?x2+x3?x4+2x2+3x3+4x4+3x1?4x2+x3?x4+1+7x2+4x3+3x4+ x1,x2≥0,x3≥1,x4≥2,x5≥?A=[02342;3-41-15;-7743?b= ?lb=[0012?[x,fval]= ?xfval二次規劃問題是另外一種簡單的有約束最優化問題，其目標函數為x的二次型形 f=1xTHx+cT2 Ax≤ Aeqx= lb≤x≤它令格式為： f=(x1?1)2+(x2?2)2+(x3?3)2+(x4?x1+x2+x3+ 3x1+3x2+2x3+ x1,x2,x3,x4≥f(x)=x2+x2+x2+x2?2x1?4x2?6x3?8x4+ ?H=?A=[1111;332?b=??lb=[000?[x,fval]= ?xfval得最小值為：?27.75+30=2.25 f=?2x1?x2+4x3?x4+2x2+x3+4x4+ 3x1?4x2+x3?x4+ x1,x2≥0,x3≥3,x4≥1,x5≥

4x1?x2+2x3?x4=x1+x2?x3+2x4≤142x1?3x2?x3?x4≥?2x1x2x31x4無約束 2x2?4x1x2+4x2?6x1? x1+ 4x1+ x1,x2≥ 2(x1?x2)2?4(x2+2x3)2?(x1+1)2?(x2+2)2?(x3?2x1+5x2? ?x1+2x2+5x3 x1,x2,x3≥s.t.G(x)≤其中，x=[x1x2···xn]T，該數學表示的含義為求一組xG(x)≤0f(x)s.t.

f其中，x=[x1x2···xn]T。為了求解方便，約束條件還可以進一步細化為線性不等 其中，f為給目標函數寫的M文件或者inline函數，x0為初始搜索點，cf為給非線性約束函數寫的M函數文件。 f=x2+x2?x1x2?2x1? (x1?1)2? ?2x1+3x2?6≤c=(x(1)-1)∧2-ceq=?=?x0=?A=[- ?b=?[x,fval]= ?xfval12≤x1≤ ≤x2≤functionv=v=100*(x(2)-x(1)∧2)∧2-(1- 0x1. ex1(4x1+2x2+4x1x2+2x2+ x1+ ?x1x2+x1+ ?10≤x1,x2≥第十七章A(tA(0)t(t0)A(t為)]It1,t2=A(t2)? t1=n?1t2=n(n∈N)In=A(n)?A(n?累積函數a(t)具有如下性質：a(t)=)rt1,t2t1=n?1t2=n(n∈NrnA(n)?A(n? A(n?A(n?rt1,t2a(t2a(t1)?證明A(0)A(t1)=A(0)a(t1),A(t2)=

A(t2A(t1)=a(t2a(t1) 如果單位本金經歷了任意一個單位計息期的投資所產生的利息為常數，則稱對應a(t）=1+ +證明 在單利計息下，單位本金在第一個計息期末的價值為1+r，在第二計息期末價值12ra(t1rt建立 函數文件danli.m如下：functiony=danli(r,t)y=第一年投資的價值是1000×1.10=1100元；1000×1.10×1.10=12101000×1.10×1.10×1.10=1331如果單位本金經過任何一個單位計息期所產生的利率為常數，則稱對應的計息方a(t）=(1+?+證明.

na(t)=Πt=1(1+ t∈nrn= ,n=1,2,...,

a(t)=(1+r)t，t∈ 函數文件fuli.m如下：functiony=fuli(r,t)y=在本例中，r5%/20.025t10在單利計息下，a(t1rt10.02510=在復利計息下，a(t1r)t=(10.025)10=1.280110.2801。顯然，較之單利計息，復利計息更合算。a?1(t)=(1+ (t≥a?1(t)=(1+ (t≥functiony=y=y=(1+r)∧(-t); 在單利計息下：a?1(t)=(1+rt)?1=(1+0.05×10)?1=0.6667a?1(t)=(1+r)?t=(1+0.05)?10= AA(1r)tt解在本例中，A=100,r=0.08，時間t=10，將它們帶入計算有FV=A(1+r)t=100×(1+0.08)10=tA與復利貼現函數的乘積A(1r)?t為復利現值，簡稱終值530008%，按復利計算，試問該人現在 在本例中，A=3000r=0.08t=5FV=A(1+r)t=3000×(1+0.08)?5=

r?1+r=(1 ) r=(1

r?)m

–

r=(1

r?

–1=(1

2)2

–1=

r=(1

r?)m?1=(1

)4?1= m次，則終值為

A(1+mn年的量ArAe?rn。因rn年的ern；對于一第一年底，量為1000×(1+5%)=1050元，再加上存入的2000元，共∑tCt(1+≤ 在本例中，C1100C2200C3300C4400,r0.1t5.FVn

Ct(1+r)t=100×(1+0.1)4+200×(1+0.1)3+300×(1+0.1)2 ∑t PVn Ct(1+=100×(1+0.1)?1+200×(1+0.1)?2+300×(1+0.1)?3+400×(1+ 固定收益的基本特征包括：人，到期日、本金和票面利率，其中人 任何一種固定收益的價格都是由未來預期的現金流決定的,因此可以更具多tT tP t=1(1+其中，P表示債券價格，T表示債券期限，也是總的計息期數；C表示債券的每期現tT時，CtC（每期支付的利息t=T時,Ct=C+M（利息C加上面值M）,r表示貼現率。解在本例中，M=100，C=100×10%=10，r=0.09，T=3，由，T

10+P=t=1(1+r)t=1+0.09+(1+

+(1+P= (1+其中，P表示債券價格，r表示貼現率，T表示債券期限，M解在本例中，M=100，r=0.08/2=0.04，T=16，由，P (1+

. =53.(1+P

(1+期支付的利息tT時,CtCM（利息C加上面值M）,T表示債券期限。格確定y值解在本例中，P=110,M=100，C=100×5%=2.5，T=10，由， P= +···+ =1101+y (1+y)2 (1+y)10經計算，y=0.0284,P=110.002。很多債券附有者能夠在到期日之前回購全部或者部分債券的條款。這種者在到期日前回收債券的權利稱為贖回權(calloption)，擁有贖回權的債券稱為可贖回債券（callablebond。者執行這個權利，稱者贖回了債券，者贖回債券支付的價格成為贖回價格(callprice). P= = t=1(1+ (1+ t=1(1+其中，P表示債券的市場價格，l表示贖回日前的利息支付期數，Ct<l時，Ct=C（每期支付的利息t=l時,Ct=CCP（利息C解在本例中，P=700,Ct=C=30,CP=1030，l=10P P t

l

+···

t=1(1+

(1+ 1+ (1+

(1+2經計算，y=0.152,P=700.11。2債券的久期(Duration)概念最早是由Macaulay于1938年，所以又Macaulay久期，簡記為D D= t=1(1+ t=1(1+其中，Ct，各期現金流，當tT時，Ct=C（每期支付的利息）t=T時，Ct=CM（利息C加上面值M）t表示現金流支付的時間，y表示貼現率,T表示債券的有效期。在債券之前，有效期就等于債券期限；在債券之后，有效期在本例中，M100,C5,r0.09，T10 D=∑ / =1×1.09+2×1.09+···+10×+1t=1(1+ t=1(1++1

52+···

D=7.75418 =?1+y定義f=D為修正久期，則有P?P=?f?P實際上，債券價格的變化率和到期收益率變化之間的關系并不是上式的線性關系，而是非線性關系。所以，只用久期放映收益率變化與價格變化率之間的關系是與事實不符的。因此，我們引入債券凸性的概念。 C=P·?y2

=P(1+ t(t+1)(1+y)t100310%在本例中，M100,T3,C10y0.09P P=

=10

+ +tt=1(1+t

C

t(t+1) P(1+y)2 (1+ P

(1+1)×

2(2+1)×

3(3+1)× =每年m期內的凸性dP=?D′dy+1C(dy)2 ?P=?D′?y+1C(?y)2 代表了股東對公司的所有權，股東憑借可以獲得公司的股息和紅利，參加股東大會并行使自己的權利，同時也承擔相應的責任與風險，分為優先不確定的,所以需要選用適當的貼現率將未來現金流貼現為現值.,基于這種思路的定價模型就是普通股定價的貼息貼現模型(Dividendmodel), +··· +··· 1+ (1+ (1+ (1+ t=1(1+其中，V是價格，r是貼現率，Dt為第t期每股股息，t為與股息對應的期數。解在本例中，D1=0.1,D2=0.2,···,D7=0.7,r=0.05，則根據， +··· +··1+ (1+ (1+

+···

+··

(1+ (1+ +··· +··1+ (1+ (1+D0(1+ 1+

D0(1++(1+

···

D0(1++(1+

··

1+ (1++

+···1+ (1+=D[(1+g)/(1+ ]=D0(1+g)= 01?(1+g)/(1+ r? r?在本例中，D0=1g0.06r0.1V=D0(1+g)=1×(1+0.06)=1.06=r? 0.1? 當前的市場價格是40元，則說明該 增長率g的平均數。V r? 在本例中，D0=1g0=0.06g=0.03r=0.08t1=2，股息增長率保持不變時刻t2=6，由上述模型，則該的價格 H (t2?t1) (6?2)= V=r?g[(1+g)+H(g0?g)]=0.08?0.03[(1+0.03)+H(0.06?0.03)]=1000元8按每季度計息一次的復利形式支付利息借期,8%年復合利率,2%的單利利率支付一1000(1+0.02)4= 解1000(1+0.18/12)12=在上述例子中，我們看到實際支付的利息比我們以單利利率r支付得多。在此interestrate)為reff

本息和?立(1+r)n=而(1+ (1+ ≈n≈log(2)=0.693≈ 1%70r0.02，那么需要35年，依次類推。======rxi(i=12345)(1+r)如果r很小，那么序列A最好的，因為它的支付總額最大。對于稍大一些的序列B可能是最好的。對于更大的一些r，序列C可能是最好的。rABC 一臺新機器，一臺新機器是第一年的運轉成本是6000元，在隨后的每年中將增加1000元。如果利率為6%， 解這家公司可以在第1，2，3，4年的年初新機器，其對應的六年現金流如：r0.10，第一個現金流序列的現值為22+7 +10 = r=0.06/12=0.005β=1A+Aβ+Aβ2+···+

1?=A1?

+

+···+

=

2401?1?1?A1?

=

1?1?W1000β1/1.005A=提取1000i12···icr，每年計息個現金流。因此這個無限期現金流的現值為c/r。 + + +··1+c

(1+1

(1+1=1+

[1 1+

(1+

+··· 11+r1?c 初始費用8000元，房屋檢驗費2000元，以及 款需要在未來180個月中以月利率0.6%償還，所以A(a+a2+·+a180)=

A=100(1?a(1?

=但是，如果考慮到銀行收取的初始費用，房屋檢驗費以及一個百分點的額（這意味著收到時，銀行將收取名義額100萬元的1%），你實際得到的是98萬元，因此有效月利率是滿足下式的γ值。 +·+ )=981+γ (1+γ)2 (1+γ)180

1?(1 =107.69γγ=(10.00627)121.07790.6的名義月利率對應的有效年利率應該約為7.8%。LnAr +

A+···

1?(1 11+ (1+

(1+ 1+

1?

A[1?(1+ra1

A 1?(1+

L(a? an?么r=0.09/12=0.0075，每月支付為A (1.0075)360? =Rj表示在第j(j01···n月月末支付完當月償還額后還欠的本金總額，為了確定這幾個量，應該注意到，如果在第j月的月末欠款為Rj，那么在第j+1月月末未發生支付前的欠款應該是Rj(1+r)，由于每個月末的支付額為A，所以有Rj+1=(1+r)Rj?A=aRj?R0L =aL?A =aR1?=a(aL?A)?=a2L?aA? =aR2?=a(a2L?aA?A)? a3L?(1+a+j=12···n =ajL?(1+a+ aj?aL?Aa?=ajL

Lan(aj?an?L(an? an?IjPjjRj?1是到上 L(a?1)(an? an?和Pj=A?L(a? an?

[an?(an?L(a? an?nPj=1.0075增長。 =a或者r ?1+ >P(r)=?a

bi(1+?P(r?)=a0,bi≥0,bn0,r?1時，P(rr的嚴格遞減的函數。這意味著存在唯一的r?滿足前面的方程。

P(0) bi?

bi>?100 1+ (1+x=1/(1r)

60x2+60x?100=√ xx=

602+r?1x0√

x=27600?60≈1+r? ≈%(諸如二分法在這里也是一個很有效的方法。如果我們假設現金流序列b1,···,bn代表貸出a的 人的每期回報率r?就是借款人每期支付的實際利率。0，r(sssx單位存入h很小時，shx(1r(s)h)r(ss時刻D(t)01到tr(s),0≤s≤D(t)，注意到(h)D(s+h)≈D(s)(1+或D(s+h)?D(s)≈hh→0取極限，D′(s)=

=或

∫t ∫ds 0 logD(s)?logD(0)D(0)=1∫

∫0D(t)=

0現在令P(t)表示t時刻單位的當前價值，例如0時刻，(P(t)可以看作在P(t)

∫= =0很顯然，如果