矢量分析與場論第1頁，共36頁，2023年，2月20日，星期一導論第2頁，共36頁，2023年，2月20日，星期一“Thebeautyofelectricity...[is]thatitisunderlaw.”

——MichaelFaraday第3頁，共36頁，2023年，2月20日，星期一電磁力(作用)電磁力（Electromagnetism）是自然界四種基本力（相互作用）之一。其它三種力（相互作用）是：重力（gravity）強相互作用力（stronginteraction）弱相互作用力（weakinteraction）第4頁，共36頁，2023年，2月20日，星期一場的含義空間性：場是所關注量的空間分布特性，其可以是矢量場，也可以是標量場。時間性：場不但是空間的函數，往往也是時間的函數。事件性：當一個事件對另一個空間位置的某個事件產生影響，稱這些事件被場所聯系。第5頁，共36頁，2023年，2月20日，星期一什么是電磁場“電磁場”（electromagnetism）的研究內容是電荷在靜止或者運動狀態的電磁作用。其研究內容可分為以下三類：靜電場：靜止電荷產生的電場；靜磁場：穩定運動電荷（直流）產生的磁場動態場：運動電荷（非直流）產生的電磁場。第6頁，共36頁，2023年，2月20日，星期一課程目標理解電磁現象的物理本質掌握電磁場問題的基本概念和基本分析方法應用所學知識分析解決典型電磁場問題拓寬知識面，為后續課程和其它研究工作打下基礎。第7頁，共36頁，2023年，2月20日，星期一課程的知識結構Maxwell方程靜電場靜磁場動態場電磁場基本定律特殊情形電路理論元件尺度遠小于電磁波波長第8頁，共36頁，2023年，2月20日，星期一課程簡介復習場論、相量等概念；靜電場基礎（Electrostatics）靜磁場基礎（Magnetostatics）電磁場邊值問題（BoundaryValueProblems）材料的電磁特性及其與電磁場的相互作用機理Maxwell方程（Maxwell’sEquations）第9頁，共36頁，2023年，2月20日，星期一電磁場課程難點？電場和磁場的特點為：是三維的空間函數（3D）是空間矢量不僅是空間的函數，而且是時間的函數描述場的方程是偏微分方程（PDEs）第10頁，共36頁，2023年，2月20日，星期一電磁場課程難點？電磁場問題的求解通常需要較強的抽象思維能力。電磁場問題的求解不僅需要對物理現象有深刻的理解，同時，還必須熟練掌握數學工具和一定的數學技巧。第11頁，共36頁，2023年，2月20日，星期一標量場和矢量場標量場的梯度矢量場的通量與散度矢量場的環量與旋度亥姆霍茲定理電磁場的特殊形式第0章矢量分析下頁返回VectorAnalysis第12頁，共36頁，2023年，2月20日，星期一場在某一空間區域內，某一物理量是該區域內關于空間位置函數，則在該區域內建立了該物理量的場。場中任一個點都與一個確定的標量或矢量函數值對應。采用標量函數描述的場即為標量場，采用矢量函數描述的場即為矢量場。0.1標量場和矢量場ScalarFieldandVectorField下頁上頁返回第13頁，共36頁，2023年，2月20日，星期一例如，在直角坐標下,空間區域內的某個物理量滿足如下兩個函數：標量場矢量場如溫度場、電位場、高度場等；如流速場、電場、渦流場等。下頁上頁返回第14頁，共36頁，2023年，2月20日，星期一其方程為:高度場的等高線(1)標量場--等值線(面)形象描繪場分布的工具——場線思考在某一高度上沿什么方向高度變化最快？下頁上頁返回第15頁，共36頁，2023年，2月20日，星期一三維場二維場圖0.1.2矢量線矢量場--矢量線其方程為：在直角坐標下：下頁上頁返回第16頁，共36頁，2023年，2月20日，星期一0.2標量場的運算－梯度

GradientofScalarField

設一個標量函數(x，y，z)，若函數在點P可微，則在點P

沿任意方向

的方向導數為設

式中,,分別是任一方向與x,y,z軸的夾角則有：當，最大下頁上頁返回第17頁，共36頁，2023年，2月20日，星期一——梯度(gradient)——哈密頓算子式中圖0.1.3等溫線分布梯度的方向為該點最大方向導數的方向。梯度的大小為該點標量函數的最大變化率，即最大方向導數。標量場的梯度是一個矢量，是空間坐標點的函數。梯度的意義下頁上頁返回第18頁，共36頁，2023年，2月20日，星期一例0.2.1

三維高度場的梯度圖0.2.1三維高度場的梯度高度場的梯度與過該點的等高線垂直；數值等于該點位移的最大變化率；指向地勢升高的方向。下頁上頁返回第19頁，共36頁，2023年，2月20日，星期一例0.2.2電位場的梯度圖0.2.2電位場的梯度電位場的梯度與過該點的等位線垂直；數值等于該點的最大方向導數；指向電位增加的方向。下頁上頁返回第20頁，共36頁，2023年，2月20日，星期一0.3矢量場的通量與散度0.3.1通量(Flux)

矢量E沿有向曲面S的面積分若S

為閉合曲面根據通量的大小判斷閉合面中源的性質：FluxandDivergenceofVector>0

(有正源)<0

(有負源)=0(無源)圖0.3.2矢量場通量的性質

下頁上頁返回圖0.3.1矢量場的通量

第21頁，共36頁，2023年，2月20日，星期一0.3.2散度(Divergence)如果包圍點P的閉合面S

所圍區域V

以任意方式縮小到點P

時：———散度(divergence)下頁上頁返回第22頁，共36頁，2023年，2月20日，星期一散度的意義在矢量場中，若?

A=0，稱之為有源場，稱為(通量)源密度；若矢量場中處處?A=0

，稱之為無源場。矢量的散度是一個標量，是空間坐標點的函數；散度代表矢量場的通量源的分布特性。(無源）

(正源)

(負源)圖0.3.3通量的物理意義

下頁上頁返回第23頁，共36頁，2023年，2月20日，星期一0.3.3高斯散度定理(DivergenceTheorem)圖0.3.4散度定理通量元密度——高斯公式矢量函數的面積分與體積分的相互轉換。下頁上頁返回第24頁，共36頁，2023年，2月20日，星期一0.4矢量場的環量與旋度0.4.1環量(Circulation)矢量A

沿空間有向閉合曲線L的線積分——環量環量的大小與閉合路徑有關，它表示繞環線旋轉趨勢的大小。CirculationandRotationofVectorField下頁上頁返回圖0.4.1環量的計算第25頁，共36頁，2023年，2月20日，星期一水流沿平行于水管軸線方向流動，=0，無渦旋運動。例：流速場圖0.4.2流速場流體做渦旋運動，0，有產生渦旋的源。下頁上頁返回第26頁，共36頁，2023年，2月20日，星期一0.4.2旋度(Rotation)1.環量密度過點P作一微小曲面S，它的邊界曲線記為L，面的法線方向與曲線繞向符合右手定則。當S

點P時，存在極限——環量密度環量密度是單位面積上的環量。下頁上頁返回第27頁，共36頁，2023年，2月20日，星期一2.旋度旋度是一個矢量，其大小等于環量密度的最大值；其方向為最大環量密度的方向——旋度(curl)－S

的法線方向它與環量密度的關系為在直角坐標下:下頁上頁返回第28頁，共36頁，2023年，2月20日，星期一3.旋度的物理意義矢量的旋度仍為矢量，是空間坐標點的函數。某點旋度的大小是該點環量密度的最大值，其方向是最大環量密度的方向。在矢量場中，若A=J0

稱之為旋度場（或渦旋場），J

稱為旋度源（或渦旋源）。若矢量場處處A=0，稱之為無旋場。下頁上頁返回第29頁，共36頁，2023年，2月20日，星期一4.斯托克斯定理(Stockes’Theorem)矢量函數的線積分與面積分的相互轉化。圖0.4.3斯托克斯定理——斯托克斯定理下頁上頁在電磁場理論中，高斯定理和斯托克斯定理是兩個非常重要的公式。返回第30頁，共36頁，2023年，2月20日，星期一

0.5亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理：在有限區域內，矢量場由它的散度、旋度及邊界條件惟一地確定。已知：矢量A的通量源密度矢量A的旋度源密度場域邊界條件電荷密度電流密度J場域邊界條件在電磁場中HymherzeTheorem下頁上頁返回第31頁，共36頁，2023年，2月20日，星期一例0.5.1

試判斷下列各圖中矢量場的性質。000000下頁上頁返回第32頁，共36頁，2023年，2月20日，星期一0.6特殊形式的電磁場如果在經過某一軸線(設為z軸）的一族平行平面上，場F

的分布都相同，即F=f（x，y），則稱這個場為平行平面場。1.平行平面場SpecialFormsofElectromagneticField如無限長直導線產生的電場。下頁上頁返回0第33頁，共36頁，2023年，2月20日，星期一如果在經過某一軸線(設為z軸)的一族子午面上，場F

的分布都相同，即F=f（r,），則稱這個場為軸對稱場。2.軸對稱場如螺線管線圈產生的磁場；有限長直帶