第13講軸對稱與旋轉（壓軸題組）1．綜合與實踐問題情境：數學活動課上，老師出示了一個問題：如圖①，在平行四邊形ABCD中，BE⊥AD，垂足為E，F為CD的中點，連接EF，BF，試猜想EF與BF的數量關系，并加以證明．獨立思考：（1）請解答老師提出的問題；實踐探究：（2）希望小組受此問題的啟發，將平行四邊形ABCD沿著BF（F為CD的中點）所在直線折疊，如圖②，點C的對應點為C′，連接DC′并延長交AB于點G，請判斷AG與BG的數量關系，并加以證明．問題解決：（3）智慧小組突發奇想，將?ABCD沿過點B的直線折疊，如圖③，點A的對應點為A′，使A′B⊥CD于點H，折痕交AD于點M，連接A′M，交CD于點N．該小組提出一個問題：若此平行四邊形ABCD的面積為20，邊長AB＝5，BC＝2，求圖中陰影部分（四邊形BHNM）的面積．請你思考此問題，直接寫出結果．2．（2021·山東中區·九年級期末）定義：關于x軸對稱且對稱軸相同的兩條拋物線叫作“同軸對稱拋物線”．例如：y1＝（x﹣1）2﹣2的“同軸對稱拋物線”為y2＝﹣（x﹣1）2+2．（1）請寫出拋物線y1＝（x﹣1）2﹣2的頂點坐標；及其“同軸對稱拋物線”y2＝﹣（x﹣1）2+2的頂點坐標；（2）求拋物線y＝﹣2x2+4x+3的“同軸對稱拋物線”的解析式．（3）如圖，在平面直角坐標系中，點B是拋物線L：y＝ax2﹣4ax+1上一點，點B的橫坐標為1，過點B作x軸的垂線，交拋物線L的“同軸對稱拋物線”于點C，分別作點B、C關于拋物線對稱軸對稱的點、，連接BC、、、．①當四邊形為正方形時，求a的值．②當拋物線L與其“同軸對稱拋物線”圍成的封閉區域內（不包括邊界）共有11個橫、縱坐標均為整數的點時，直接寫出a的取值范圍．3．（2021·江蘇·蘇州市景范中學校二模）如圖1，在中，，邊，點分別在線段上，將沿直線翻折，點C的對應點是點；（1）當分別是邊的中點時，求出的長度；（2）若，點到線段的最短距離是________；（3）如圖2，當點在落在邊上時，①點運動的路程長度是______；②當時，求出的長度．4．（2021·湖北當陽·一模）如圖，在矩形中，，，點是邊上的點（不與點，重合），將沿折疊，點是點的對應點；點是邊上的點，將沿折疊，點是點的對應點，且點在直線上．（1）若，求的長；（2）若點是的中點，求的值；（3）當點恰好落在邊上時，求四邊形的面積．5．（2021·河北競秀·一模）如圖，平行四邊形ABCD中，AB＝9，AD＝13，tanA＝，點P在射線AD上運動，連接PB，沿PB將△APB折疊，得△A'PB．（1）如圖1，點P在線段AD上，當∠DPA'＝20°時，∠APB＝度；（2）如圖2，當PA'⊥BC時，求線段PA的長度；（3）當點A'落在平行四邊形ABCD的邊所在的直線上時，求線段PA的長度；（4）直接寫出：在點P沿射線AD運動過程中，DA′的最小值是多少？6．（2021·四川·中江縣凱江中學校九年級期中）在平面直角坐標系中，二次函數y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，過點D（）且頂點P的坐標為（﹣1，3）．（1）求二次函數的解析式；（2）如圖1，若點M是二次函數圖象上的點，且在直線CD的上方，連接MC，MD．求△MCD面積的最大值及此時點M的坐標；（3）如圖2，設點Q是拋物線對稱軸上的一點，連接QC，將線段QC繞點Q逆時針旋轉90°，點C的對應點為F，連接PF交拋物線于點E，求點E的坐標．7．（2021·湖北新洲·九年級期中）問題背景：（1）如圖1，等邊△ABC，點P在△ABC左側且∠APC＝30°，將△APC繞點A順時針旋轉60°，畫出圖形．探究思考：（2）在（1）的條件下，求證：PB＝AC；拓展創新：（3）如圖2，等邊△ABC，∠AMC＝60°，AM＝6，CM＝4，直接寫出BM的長．8．（2021·重慶八中九年級期中）在△ABC中，CA＝CB，CA⊥CB，點D是射線AC上一動點，連接BD，將BD繞點D逆時針旋轉90°得ED，連接CE．（1）如圖1，當點D在線段AC上時，若DE＝，BC＝3，求△ABD的周長；（2）如圖2，點D在AC延長線上，作點C關于AB邊的對稱點F，連接FE，FD，將FD繞點D順時針旋轉90°得GD，連接AG，求證：AG＝CE；（3）如圖3，點D在AC延長線上運動過程中，延長EC交AG于H，當BH最大時，直接寫出的值．9．（2021·河南汝陽·九年級期中）如圖1，矩形AEGH的頂點E、H在矩形ABCD的邊上，且AD：AB＝AH：AE＝1：2．（1）請直接寫出HD：GC：EB的結果（不必寫計算過程）；（2）如圖2，矩形AEGH繞點A旋轉一定角度，此時HD：GC：EB的結果與（1）的結果有變化嗎？如有變化，寫出變化后結果并說明理由；若無變化，請說明理由．10．（2021·湖北漢川·九年級期中）如圖，若拋物線（a、b、c為常數，且）與直線l交于點，，與x軸另一交點為．（1）則拋物線的解析式為______；