三角形全等的證明專題

三角形全等是證明險段相等I角相等I最基本、最常用的方法，這不僅因為全等三角形有很多重要的角相等、

線段相等的特征，還在于全等三角形能把已知的線段相等、角相等與未知的結論聯系起來.那么我們應該怎樣應

用三角形全等的判別方法呢？

(1)條件充足時直接應用

在證明與線段或角相等的有關問題時，常常需要先證明線段或角所在的兩個三角形全等，而從近年的中考題

來看，這類試題難度不大，證明兩個三角形的條件比較充分.只要同學們認真觀察圖瓶，結合已知條件分析尋找

兩個三角形全等的條件即可證明兩個三角形全等.A

例1已知：如圖1,CE_LAB于點E,BD_LAC于點D,

BD、CE交于點O,且A0平分NBAC.E/\D

那么圖中全等的三角形有一對.

(2)條件不足，會增加條件用判別方法

此類問題實際是指條件開放題，即指題中沒有確定的已知條件或已知條件不充分，A

需要補充使三角形全等的條件.解這類問題的基本思路是：執果索因，逆向思維，逐步

分析，探索結論成立的條件，從而得出答案.^7

例2如圖2,已知AB=AD,Z1=Z2,要使aABC絲ZkADE,

還需添加的條件是(只需填一個).\

(3)條件比較隱蔽時，可通過添加輔助線用判別方法A

在證明兩個三角形全等時，當邊或角的關系不明顯時，可通過添加A

輔助線作為橋梁，溝通邊或角的關系，使條件由隱變顯，從而順利運用/\

全等三角形的判別方法證明兩個三角形全等./\

例3已知：如圖3,AB=AC,Z1=Z2./\

求證：A0平分NBAC./\

分析：要證A0平分/BAC,即證/BAO=/BCO,

要證NBAO=NBCO,只需證/BAO和NBCO所在的兩

個三角形全等.而由已知條件知，只需再證明BO=CO即可.

(4)條件中沒有現成的全等三角形時，會通過構造全等三角形用判別方法

有些幾何問題中，往往不能直接證明一對三角形全等,

?般需要作輔助線來構造全等三角形.

例4已知：如圖4,在RtaABC中，ZACB=90°,

AC=BC,D為BC的中點，CE_LAD于E,交AB于F,連接DF.

求證：ZADC=ZBDF.

說明：常見的構造三角形全等的方法有如下三種：①涉及三角形的中線問題時，常采用延長中線倍的方法,

構造出一對全等三角形；②涉及角平分線問題時，經過角平分線上一點向兩邊作垂線，可以得到一對金等三角形;

③證明兩條線段的和等于第三條線段時，用“截長補短”法可以構造一對全等三角形.

(5)會在實際問題中用全等三角形的判別方法

新課標強調了數學的應用價值，注意培養同學們應用數學的意識，形成解決簡單實際問題的能力.在近年中

考出現的與全等三角形有關的實際問題，體現了這一數學理念，應當引起同學們的重視.

例5要在湖的兩岸A、B間建一座觀賞橋，由于條件

限制，無法直接度量A,B兩點間的距離.請你用學過的數

學知識按以下要求設計一測量方案.

(1)畫出測量圖案.

(2)寫出測量步驟(測量數據用字母表示).圖5

(3)計算A、B的距離(寫出求解或推理過程，結果用字母表示).

分析：可把此題轉化為證兩個三角形全等.第(1)題，測量圖案如圖5所示.第(2)題，測量步驟：先在陸地

上找到一點O,在AO的延長線上取一點C,并測得OC=OA,在BO的延長線上取一點D,并測得OD=OB,這

時測得CD的長為a,則AB的長就是a.第⑶題易證aAOB絲△COD,所以AB=CD,測得CD的長即可得

AB的長.

解：⑴如圖6示.

(2)在陸地上找到可以直接到達A、B的一點O,在A0的延長線上取一點C,并測得OC=OA,在B0的

延長線上取一點D,并測

得OD=OB,這時測出CD的長為“，則AB的長就是".

(3)理由：由測法可得OC=OA,OD=OB.

XZCOD=ZAOB,.?.△COD^AAOB.

???CD—AB—u.

(注意書寫格式和書寫過程，一定要嚴謹！)

圖6

評注：本題的背景是學生熟悉的，提供了一個學生動手操作的機會，重點考查了學生的操作能力，培養了

學生用數學的意識.

練習

A

1.已知：如圖，D是AABC的邊AB上一點，AB/7FC,

求證：AE=CE.

2.如圖，在aABC中，點E在BC上，點D在AE上，已知NABD=/ACD,ZBDE=ZCDEA

求證：BD=CD.

3.用有刻度的直尺能平分任意角嗎？下面是一種方法：如圖所示，先在/AOB的兩邊上取6P=0Q,

再取PM=QN,連接PN、QM,得交點C,則射線OC

平分NAOB.你能說明道理嗎？

4.如圖，AABC中，AB=AC,過點A作GE〃BC,角平分線BD、CF相交于點H,它們的

延長線分別交GE于點E、G.試在圖10中找出3對全等三角形，牛對其中一對全等三角形給出不明.

5.已知：如圖，點C、D在線段AB上，PC=PD.請你添加一個條件，使圖中存在全等三角形A并給予證

明.所添條件為_________,你得到的一對全等三角形是△_____g“/\

7.如圖，在4ABD和4ACD中，AB=AC,ZB=ZC.求證：

8.如圖14,直線AD與BC相交于點O,且AC=BD,AD=BC.求證：CO=DO.

CD

A.

9.已知△ABC,AB=AC,E、F分別為AB和AC延長線.上的點且BE=CF,EF交BC于GA求證：EG=GF.

A

10.已知：如圖16,AB=AE,BC=ED,點F是CD的中點，AF1CD.求證：ZB=ZE.不

11.如圖17,某同學把?把三角形的玻璃打碎成了三塊，

現在要到玻璃店去配一塊大小形狀完全一樣的玻璃，那么

最省事的辦法是（）.

（A）帶①和②去（B）帶①去（C）帶②去（D）帶③去

12.有一專用三角形模具，損壞后，只剩下如圖中的陰影部分

,你對圖中做哪些數據度量后，就可以重新制作一塊與原模具完全

一樣的模具，并說明其中的道理.

初中數學定理公式匯編

一、數與代數

1.數與式

（1）實數

實數的性質：

①實數a的相反數是一a,實數a的倒數是[（a￥0）；

a

②實數a的絕對值：

<7（<7>0）

同=<0（<7=0）

-a（a<0）

③正數大于0,負數小于0,兩個負實數，絕對值大的反而小。

二次根式：

①積與商的方根的運算性質：

y[ab-4a-y/b（a20,b20）；

②二次根式的性質：

-a(a<0)

（2）整式與分式

①同底數塞的乘法法則：同底數塞相乘，底數不變，指數相加，即（m、n為正整數）；

②同底數寤的除法法則：同底數幕相除，底數不變，指數相減，即（aWO,m、n為正整數,

③塞的乘方法則：黑的乘方，底數不變，指數相乘，即（”6）"（n為正整數）;

④零指數：“°=1（a/0）；

⑤負整數指數：。一"=4（a/0,n為正整數）；

⑥平方差公式：兩個數的和與這兩個數的差的積等于這兩個數的平方，即（“+6）（。-6）=。2一62；

⑦完全平方公式：兩數和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或減去）它們的積的2倍，即

（a±b）2=a2±2ah+b2；

分式

①分式的基本性質：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一個不等于零的整式，分式的值不變，即

aaxmaa+m_,口力稱十小.八、皿>

—=-----;—=------，其中m是不等于零的代數式；

bbxmbb+m

②分式的乘法法則：--

③分式的除法法則：—（c^O）；

bdb

④分式的乘方法則：（0）”=2（n為正整數）;

⑤同分母分式加減法則：:

CCC

…口八e八=、n、上…a,dah±cd

⑥異分母分式加減法則：一±丁=-------；

cbbe

2.方程與不等式

①一元二次方程辦2+樂+。=0。￥0）的求根公式：x=j+"b2-4acg_20）

2（7

②一元二次方程根的判別式：△=/-4雙叫做一元二次方程。/+6x+c=0（a#0）的根的判別式:

△〉00方程有兩個不相等的實數根；

△=0。方程有兩個相等的實數根：

△<0。方程沒有實數根；

）b

③一元二次方程根與系數的關系：設為、/是方程妝+6x+c=0（a￥0）的兩個根，那么百+々=一一，

不等式的基本性質：

①不等式兩邊都加上（或減去）同一個數或同一個整式，不等號的方向不變；

②不等式兩邊都乘以（或除以）同一個正數，不等號的方向不變；

③不等式兩邊都乘以（或除以）同一個負數,不等號的方向改變；

3.函數

一次函數的圖象：函數y=kx+b（k、b是常數，kWO）的圖象是過點（0,b）且與直線丫=1?平行的一條直線;

一次函數的性質：設丫=1?+13（kWO）,則當k>0時，y隨x的增大而增大；當k<0,y隨x的增大而減小；

正比例函數的圖象：函數歹="的圖象是過原點及點（1,k）的一條直線。

正比例函數的性質：設^="（左#0）,貝IJ：

①當k>0時，y隨x的增大而增大；

②當k<0時，y隨x的增大而減小；

反比例函數的圖象：函數y=4（k#0）是雙曲線；

X

反比例函數性質：設y=&（k70）,如果k>0,則當x>0時或x<0時，y分別隨x的增大而減小；如果k〈0,

x

則當x>0時或x<0時，y分別隨x的增大而增大；

二次函數的圖象：函數歹=改2+&+,（4*0）的圖象是對稱軸平行于丫軸的拋物線；

①開口方向：當a>0時，拋物線開口向上，當a〈0時，拋物線開口向下；

②對稱軸：直線x=—2；

2a

b4cic—b?

③頂點坐標（--/）；

2a4a

④增減性：當a>0時，如果2,則y隨x的增大而減小，如果x>-2,則y隨x的增大而增大；當a<0

2a2a

時，如果xW—2,則y隨X的增大而增大，如果X>—2,則y隨X的增大而減小；

2a2a

二、空間與圖形

1.圖形的認識

⑴角

角平分線的性質：角平分線上的點到角的兩邊距離相等，角的內部到兩邊距離相等的點在角平分線上。

（2）相交線與平行線

同角或等角的補角相等，同角或等角的余角相等；

對頂角的性質：對頂角相等

垂線的性質：

①過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；

②直線外一點有與直線上各點連結的所有線段中，垂線段最短；

線段垂直平分線定義：過線段的中點并且垂直于線段的直線叫做線段的垂直平分線；

線段垂直平分線的性質：線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，到線段兩端點的距離相等的點在線段

的垂直平分線；

平行線的定義：在同一平面內不相交的兩條直線叫做平行線；

平行線的判定：

①同位角相等，兩直線平行；

②內錯角相等，兩直線平行；

③同旁內角互補，兩直線平行；

平行線的特征：

①兩直線平行，同位角相等；

②兩直線平行，內錯角相等；

③兩直線平行，同旁內角互補；

平行公理：經過直線外一點有且只有一條直線平行于已知直線。

（3）三角形

三角形的三邊關系定理及推論：三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；

三角形的內角和定理：三角形的三個內角的和等于180"；

三角形的外角和定理：三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個的和；

三角形的外角和定理推理：三角形的一個外角大于任何一-個和它不相鄰的內角；

三角形的三條角平分線交于一點（內心）；

三角形的三邊的垂直平分線交于--點（外心）；

三角形中位線定理：三角形兩邊中點的連線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半；

全等三角形的判定：

①邊角邊公理（SAS）

②角邊角公理（ASA）

③角角邊定理（AAS）

④邊邊邊公理（SSS）

⑤斜邊、直角邊公理（HL）

等腰三角形的性質：

①等腰三角形的兩個底角相等；

②等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（三線合-）

等腰三角形的判定：

有兩個角相等的三角形是等腰三角形；

直角三角形的性質：

①直角三角形的兩個銳角互為余角；

②直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；

③直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方（勾股定理）；

④直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半；

直角三角形的判定：

①有兩個角互余的三角形是直角三角形；

②如果三角形的三邊長a、b、c有下面關系/+/=。2,那么這個三角形是直角三角形（勾股定理的逆定理）。

（4）四邊形

多邊形的內角和定理：n邊形的內角和等于（〃-2）180°（n23,n是正整數）；

平行四邊形的性質：

①平行四邊形的對邊相等；

②平行四邊形的對角相等；

③平行四邊形的對角線互相平分；

平行四邊形的判定：

①兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；

②兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形：

③對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；

④一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。

矩形的性質：（除具有平行四邊形所有性質外）

①矩形的四個角都是直角；

②矩形的對角線相等；

矩形的判定：

①有三個角是直角的四邊形是矩形；

②對角線相等的平行四邊形是矩形；

菱形的特征：（除具有平行四邊形所有性質外

①菱形的四邊相等；

②菱形的對角線互相垂直平分，并且每條對角線平分?組對角；

菱形的判定：

四邊相等的四邊形是菱形；

正方形的特征：

①正方形的四邊相等；

②正方形的四個角都是直角；

③正方形的兩條對角線相等，且互相垂直平分，每一條對角線平分一組對角；

正方形的判定：

①有一個角是直角的菱形是正方形；

②有一組鄰邊相等的矩形是正方形。

等腰梯形的特征：

①等腰梯形同一底邊上的兩個內角相等

②等腰梯形的兩條對.角線相等。

等腰梯形的判定：

①同一底邊上的兩個內角相等的梯形是等腰梯形；

②兩條對角線相等的梯形是等腰梯形。

平面圖形的鑲嵌：

任意一個三角形、四邊形或正六邊形可以鑲嵌平面；

⑸圓

點與圓的位置關系（設圓的半徑為r,點P到圓心。的距離為d）：

①點P在圓上，則d=r,反之也成立；

②點P在圓內，則d<r,反之也成立；

③點P在圓外，則d>r,反之也成立；

圓心角、弦和弧三者之間的關系：在同圓或等圓中，圓心角、弦和弧三者之間只要有一組相等，可以得到另外兩

組也相等；

圓的確定：不在一直線上的三個點確定一個圓；

垂徑定理（及垂徑定理的推論）：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧；

平行弦夾等弧：圓的兩條平行弦所夾的弧相等；

圓心角定理：圓心角的度數等于它所對弧的度數；

圓心角、弧、弦、弦心距之間的關系定理及推論：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦的弦

心距相等；

推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦心距中有一組量相等，那么它們所對應的其

余各組量分別相等；

圓周角定理：圓周角的度數等于它所對的弧的度數的一半：

圓周角定理的推論：直徑所對的圓周角是直角，反過來，90°的圓周角所對的弦是直徑；

切線的判定定理：經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；

切線的性質定理：圓的切線垂直于過切點的半徑；

切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，這一點到兩切點的線段相等，它與圓心的連線平分兩切線的夾角；

弧長計算公式：/=四（R為圓的半徑，n是弧所對的圓心角的度數，/為弧長）

180

n、I

扇形面積：S扇形=而加?2或S扇形=]/R（R為半徑，n是扇形所對的圓心角的度數，/為扇形的弧長）

弓形面積S弓形=S扇形土SA

（6）尺規作圖（基本作圖、利用基本圖形作三角形和圓）

作一條線段等于已知線段，作一個角等于已知角：作已知角的平分線：作線段的垂直平分線；過一點作已知直線

的垂線；

（7）視圖與投影

畫基本幾何體（直棱柱、圓柱、圓錐、球）的三視圖（主視圖、左視圖、俯視圖）：

基本兒何體的展開圖（除球外）、根據展開圖判斷和設別立體模型；

2.圖形與變換

圖形的軸對稱

軸對稱的基本性質：對應點所連的線段被對稱軸平分；

等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多邊形、圓是軸對稱圖形；

圖形的平移

圖形平移的基本性質：對應點的連線平行且相等；

圖形的旋轉

圖形旋轉的基本性質：對應點到旋轉中心的距離相等，對應點與旋轉中心的距離相等、對應點與旋轉中心連線所

成的角彼此相等；

平行四邊形、矩形、菱形、正多邊形（邊數是偶數）、圓是中心對稱圖形；

圖形的相似

比例的基本性質：如果烏=￡,則加/=從，如果=則@=￡伯力0,〃力0）

hdbd

相似三角形的設別方法：①兩組角對應相等；②兩邊對應成比例且夾角對應相等；③三邊對應成比例

相似三角形的性質：①相似三角形的對應角相等；②相似三角形的對應邊成比例；③相似三角形的周長之比等于

相似比：④相似三角形的面積比等于相似比的平方；

相似多邊形的性質：

①相似多邊形的對應角相等；②相似多邊形的對應邊成比例；

③相似多邊形的面積之比等于相似比的平方：

圖形的位似與圖形相似的關系：兩個圖形相似不一定是位似圖形，兩個位似圖形一定是相似圖形;

RtAABC.ZC=90,SinA=N'的對邊，ccsA=乙’的縱邊，tanA=/<的對邊，

斜邊斜邊NZ的鄰邊

CctA=N”的鄰邊

//的對邊

特殊角的三角函數值：

30"45’60°

j_V2V3

Sina

22~T

V3

CosQ近

~T22

tana1百

T

V3

Cota1

WT

三、概率與統計

1.統計

數據收集方法、數據的表示方法（統計表和扇形統計圖、折線統計圖、條形統計圖）

（1）總體與樣本

所要考察對象的全體叫做總體，其中每一個考察對象叫做個體，從總體中所抽取的一部分個體叫做總體的?個樣

本，樣本中個體數目叫做樣本的容量。

數據的分析與決策（借助所學的統計知識，對所收集到的數據進行整理、分析，在分析的結果上再作判斷和決策）

（2）眾數與中位數

眾數：一組數據中，出現次數最多的數據；

中位數：將一組數據按從大到小依次排列，處在最中間位置的數據。

（3）頻率分布直方圖

頻率=型,,各小組的頻數之和等于總數，各小組的頻率之和等于1,頻率分布直方圖中各個小長方形的面積為

總數

各組頻率.

（4）平均數的兩個公式

①n個數不、x2……，的平均數為：+……+4；

n

②如果在n個數中，項出現/次、々出現九次……，S出現九次，并且工+人……+fk=n,則

x/+X?/+……ffk

n

（5）極差、方差與標準差計算公式：

①極差：

用一組數據的最大值減去最小值所得的差來反映這組數據的變化范圍，用這種方法得到的差稱為極差，即：極差

=最大值-最小值；

②方差：

數據為、x2...,X“的方差為$2,

③標準差:

數據修、x2……,X,,的標準差S,

?組數據的方差越大，這組數據的波動越大。

2.概率

①如果用P表示一個事件發生的概率，則OWP（A）W1；

P（必然事件）=1；P（不可能事件）=0；

②在具體情境中了解概率的意義，運用列舉法（包括列表、畫樹狀圖）計算簡單事件發生的概率。

③大量的重復實驗時頻率可視為事件發生概率的估計值；

3.統計的初步知識、概率在社會生活中有著廣泛的應用，能用所學的這些知識解決實際問題。

說明：凡上述整理的內容與義務教育《數學課程標準》不一致處，以義務教育《數學課程標準》和《蘇州市2005

年初中畢業生學業評價說明（數學學科）》為準。

中學數學常用的解題方法

數學的解題方法是隨著對數學對象的研究的深入而發展起來的。教師鉆研習題、精通解題方法，可以促進教師進

■?步熟練地掌握中學數學教材，練好解題的基本功，提高解題技巧，積累教學資料，提高業務水平和教學能力。

下面介紹的解題方法，都是初中數學中最常用的，有些方法也是中學教學大綱要求掌握的。

1,配方法

所謂配方，就是把一個解析式利用恒等變形的方法，把其中的某些項配成一個或幾個多項式正整數次幕的和形式。

通過配方解決數學問題的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是數學中一種重要的恒等變形

的方法，它的應用十分非常廣泛，在因式分解、化簡根式、解方程、證明等式和不等式、求函數的極值和解析式等方

面都經常用到它。

2、因式分解法

因式分解，就是把一個多項式化成幾個整式乘積的形式。因式分解是恒等變形的基礎，它作為數學的一個有力工具、

一種數學方法在代數、幾何、三角等的解題中起著重要的作用。因式分解的方法有許多，除中學課本上介紹的提取公

因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法等外，還有如利用拆項添項、求根分解、換元、待定系數等等。

3、換元法

換元法是數學中一個非常重要而且應用十分廣泛的解題方法。我們通常把未知數或變數稱為元，所謂換元法，就是

在一個比較復雜的數學式子中，用新的變元去代替原式的一個部分或改造原來的式子，使它簡化，使問題易于解決。

4、判別式法與韋達定理

一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c屬于R,a#））根的判別，△=b2-4ac,不僅用來判定根的性質，而且作為一種

解題方法，在代數式變形，解方程（組），解不等式，研究函數乃至幾何、三角運算中都有非常廣泛的應用。

韋達定理除了已知一元二次方程的一個根，求另一根；已知兩個數的和與積，求這兩個數等簡單應用外，還可以求

根的對稱函數，計論二次方程根的符號，解對稱方程組，以及解一些有關二次曲線的問題等，都有非常廣泛的應用。

5、待定系數法

在解數學問題時，若先判斷所求的結果具有某種確定的形式，其中含有某些待定的系數，而后根據題設條件列出關

于待定系數的等式，最后解出這些待定系數的值或找到這些待定系數間的某種關系，從而解答數學問題，這種解題方

法稱為待定系數法。它是中學數學中常用的方法之一。

6、構造法

在解題時，我們常常會采用這樣的方法,通過對條件和結論的分析，構造輔助元素，它可以是-個圖形、-個方程（組卜

一個等式、一個函數、一個等價命題等，架起一座連接條件和結論的橋梁，從而使問題得以解決，這種解題的數學方

法，我們稱為構造法。運用構造法解題，可以使代數、三角、幾何等各種數學知識互相滲透，有利于問題的解決。

7、反證法

反證法是一種間接證法，它是先提出一個與命題的結論相反的假設，然后，從這個假設出發，經過正確的推理，導

致矛盾，從而否定相反的假設，達到肯定原命題正確的一種方法。反證法可以分為歸謬反證法（結論的反面只有一種）

與窮舉反證法（結論的反面不只一種）。用反證法證明一個命題的步驟，大體上分為：（1）反設；（2）歸謬；（3）結論。

反設是反證法的基礎，為了正確地作出反設，掌握一些常用的互為否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存

在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大（小）于/不大（小）于；都是/不都是；至少有?個/一個

也沒有；至少有n個/至多有（n—1）個；至多有一個/至少有兩個；唯一/至少有兩個。

歸謬是反證法的關鍵，導出矛盾的過程沒有固定的模式，但必須從反設出發，否則推導將成為無源之水，無木之木。

推理必須嚴謹。導出的矛盾有如下幾種類型：與已知條件矛盾；與已知的公理、定義、定理、公式矛盾；與反設矛盾；

自相矛盾。

8、面積法

平面兒何中講的面積公式以及由面積公式推出的與面積計算有關的性質定理，不僅可用于計算面積，而且用它來證

明平面幾何題有時會收到事半功倍的效果。運用面積關系來證明或計算平面幾何題的方法，稱為面積方法，它是幾何

中的一種常用方法。

用歸納法或分析法證明平面幾何題，其困難在添置輔助線。面積法的特點是把已知和未知各量用面積公式聯系起來，

通過運算達到求證的結果。所以用面積法來解兒何題，幾何元素之間關系變成數量之間的關系，只需要計算，有時可

以不添置補助線，即使需要添置輔助線，也很容易考慮到。

9、兒何變換法

在數學問題的研究中，常常運用變換法，把復雜性問題轉化為簡單性的問題而得到解決。所謂變換是一個集合的任

一元素到同一集合的元素的一個一一映射、中學數學中所涉及的變換主要是初等變換。有些看來很難甚至于無法下

手的習題，可以借助幾何變換法，化繁為簡，化難為易。另一方面，也可將變換的觀點滲透到中學數學教學中。將圖

形從相等靜止條件下的研究和運動中的研究結合起來，有利于對圖形木質的認識。

幾何變換包括：（1）平移：（2）旋轉；（3）對稱。

10.客觀性題的解題方法

選擇題是給出條件和結論，要求根據一定的關系找出正確答案的一類題型。選擇題的題型構思精巧，形式靈活，可

以比較全面地考察學生的基礎知識和基本技能，從而增大了試卷的容量和知識覆蓋面。

填空題是標準化考試的重要題型之一，它同選擇題一樣具有考查目標明確，知識復蓋面廣，評卷準確迅速，有利于

考查學生的分析判斷能力和計算能力等優點，不同的是填空題未給出答案，可以防止學生猜估答案的情況。

要想迅速、正確地解選擇題、填空題，除了具有準確的計算、嚴密的推理外，還要有解選擇題、填空題的方法與技

巧。下面通過實例介紹常用方法。

（1）直接推演法：直接從命題給出的條件出發，運用概念、公式、定理等進行推理或運算，得出結論，選擇正確答

案，這就是傳統的解題方法，這種解法叫直接推演法。

（2）驗證法：由題設找出合適的驗證條件，再通過驗證，找出正確答案，亦可將供選擇的答案代入條件中去驗證，

找出正確答案，此法稱為驗證法（也稱代入法）。當遇到定量命題時，常用此法。

（3）特殊元素法：用合適的特殊元素（如數或圖形）代入題設條件或結論中去，從而獲得解答。這種方法叫特殊元

素法。

（4）排除、篩選法：對于正確答案有且只有一個的選擇題，根據數學知識或推理、演算，把不正確的結論排除，余

下的結論再經篩選，從而作出正確的結論的解法叫排除、篩選法。

(5)圖解法：借助于符合題設條件的圖形或圖象的性質、特點來判斷，作出正確的選擇稱為圖解法。圖解法是解選

擇題常用方法之一。

(6)分析法：直接通過對選擇題的條件和結論，作詳盡的分析、歸納和判斷，從而選出正確的結果，稱為分析法。

初三代數總復習

填空題:

1.一種細菌的半徑約為0.000045米，用科學記數法表示為米.

2.-8的立方根是,2的平方根是；

3.如果心+2|+標=0,那么b的大小關系為“b(填或“<”)；

4.計算：(VJ+1)(VJ-1)=o

5.計算：VF+78-V18=0

6.在實數范圍內分解因式：ab2-2a=.

8.不等式組rL-2,<八1的解集是o

9.方程?_=2—的解是______________.

x-3x-2

22334455

10.觀察下列等式，Yx2=Y+2,5x3=5+3,Qx4=w+4,7x5=-+5

JLJL乙乙JJr

設〃表示正整數，用關于〃的等式表示這個規律為;

11.在函數N=—中，自變量X的取值范圍是________O

x-2

12.如果反比例函數的圖象經過點（1,-2）,那么這個反比例函數的解析式為o

13.函數y=-5x+2與x軸的交點是，與夕軸的交點是，與兩坐標

軸圍成的三角形面積是；

14.某地的電話月租費24元，通話費每分鐘0.15元，則每月話費y（元）與通話時間x（分鐘）

之間的關系式是,某居民某月的電話費是38.7元，則通話時間是

分鐘，若通話時間62分鐘，則電話費為元；

15.函數丁=-』的圖像，在每一個象限內，y隨x的增大而；

X

16.把函數歹=2/的圖象向右平移3個單位，再向下平移2個單位，得到的二次函數解析式

是；

17.把二次函數y=x2-4x+8化成丁=（x+〃y+〃的形式是,頂點坐標

是，對稱軸是;

18.1,2,3,x的平均數是3,則3,6,x的平均數是；

19.2004年5月份，某市市區一周空氣質量報告中某項污染指數的數據是：3135313430

3231這組數據的中位數是；

20.為了調查某校初中三年級240名學生的身高情況，從中抽測了40名學生的身高，在這個問題

中總體是,個體是,樣本是;

21.點P（-l,2）關于x軸的對稱點的坐標是,關于夕軸的對稱點的坐標

是，關于原點的對稱點的坐標是；

22.若點2。-加,2+加）在第一象限，則機的取值范圍是；

23.已知0<x<l,化簡W+的結果是；

24.方程，一2x—2=0的根是x=l土百，則/一2%—2可分解為；

25.方程/-2=0的解是x=；

26.方程，一米-3=0的一根是3,則它的另一根是,k=；

27.已知x=-2時，分式--無意義，x=4時此分式值為0,則。+6=；

x+a

28.若方程組卜^+制=’的解是卜=-2,則。=_______,b=_______；

ax-by-13[y=-1

29.10張卡片分別寫有0至9十個數字，將它們放入紙箱后，任意摸出一張，則P（摸到數字

2）=,P（摸到奇數）=；

30.甲、乙兩人進行射擊比賽，在相同條件下各射擊10次他們的平均成績均為7環10次射擊成

績的方差分別是：S；,=3,S1=1.2.成績較為穩定的是.（填“甲”或"乙”）

11,（-X--------

二、選擇題：

31、在實數“，2,3.14,-V2,tan45°中，有理數的個數是（）

A、2個B、3個C、4個D、5個

32、下列二次根式中與C是同類二次根式的是（）

A、V18B、V03C>V30D、V300

33、在下列函數中，正比例函數是（）

1,

Ay=2xBy=—Cy=x~Dy=-x-4

2x

34、李老師騎自行車上班，最初以某一速度勻速行進，中途由于自行車發生故障，停下修車耽誤了

幾分鐘，為了按時到校，李老師加快了速度，仍保持勻速前進，結果準時到校，在課堂上，李老師

請學生畫出：自行車行進路程S（千米）與行進時間t（小時）的函數圖象的示意圖，同學們畫出

的示意圖如下，你認為正確的是（）

k

35、正比例函數丁=日和反比例函數y=￡（左〉0）在同一坐標系內的圖象為

()

36、二次函數y=/+辦+6中，若a+b=0,則它的圖象必經過點()

A(-1,-1)B(1,-1)C(1,1)D(-1,1)

2x+3>0

37、不等式組《的整數解的個數是)

—3x+520

A1B2C3D4

38、在同一坐標系中，作出函數^=自2和y=H-2/N0）的圖象，只可能是（）

39、若關于(）

A-4

40、某中學為了了解初中三年級數學的學習情況，在全校學生中

抽取了50名學生進行測試（成績均為整數，滿分為100分）,將50名

學生的數學成績進行整理，分成5組畫出的頻率分布直方圖如圖

所示，已知從左至右4個小組的頻率分別是0.06,0.08,0.20,0.28,那

么這次測試學生成績為優秀的有（分數大于或等于80分為優秀）。

,9$8S的379s89$99d

（）

A30人B31人C33人D34人

41、某學校用420元錢到商場去購買“84”消毒液，經過還價，每瓶便宜0.5元，結果比用原價多

買了20瓶，求原價每瓶多少元？若設原價每瓶x元，則可列出方程為（）

420420420420

A=20B=20

Xx-0.5x—0.5X

420420420420_

C=0.5D=0.5

Xx-20x-20X

42、在邊長為a的正方形中挖去一個邊長為b的小正方形（a>b）（如圖1）,把余下的部分拼成一

個矩形（如圖2）,根據兩個圖形中陰影部分的面積相等，可以驗證（）

(A)(a+b)2=a2+lab+b2

(B)(a-b)2=a2-2ab+b2

(C)a2-b2=(a+b)(a-b)

(D)(a+2b)(a-b)=a2+ab-lb2

三、解答題:

43、計算：|-2|-(-V2)°+^

(}-1—a

44'計■算：/+勿+J4+1

4x+5<3(x+2)

45、解不等式組x-1j

〔~5~<3

46、拋物線的對稱軸是x=2,且過（4,一4）、（-1,2）,求此拋物線的解析式;

47、為了保護學生的視力，課桌椅的高度是按一定的關系配套設計的。研究表明：假設課桌的高度

為ycm,椅子的高度（不含靠背）為xcm,則y應是x的一次函數，右邊的表中給出兩套符合條件

的桌椅的高度：

第一套第二套

椅子高度X(cm)40.037.0

桌子高度N(cm)75.070.2

(1)請確定歹與X的函數關系式;

(2)現有一把高42.0cm的椅子和一張高78.2cm的課桌，它們是否配套？請通過計算說明理由。

48、有一個拋物線形拱橋，其最大高度為16m,跨度為40m,現把它的示意圖放在平面直角坐標

系中如圖(4),求拋物線的解析式

49、某工廠第一季度生產甲、乙兩種機器共480臺.改進生產技術后，計劃第二季度生產這兩種機

器共554臺，其中甲種機器產量要比第一季度增產10%,乙種機器產量要比第一季度增產

20%.該廠第一季度生產甲、乙兩種機器各多少臺？

50、為節約用電，某學校于本學期初制定了詳細的用電計劃。如果實際每天比計劃多用2度電，那

么本學期的用電量將會超過2530度；如果實際每天比計劃節約2度電，那么本學期用電量將會不

超過2200度電。若本學期的在校時間按110天計算，那么學校每天用電量應控制在什么范圍內？

51、某公司銷售部有營銷人員15人，銷售部為了制定某種商品的月銷售定額，統計了這15人某月

的銷售量如下：

每人銷售件數1800510250210150120

人數113552

（1）求這15位營銷人員該月銷售量的平均數、中位數和眾數；

（2）假設銷售部負責人把每位營銷員的月銷售額定為320件，你認為是否合理，為什么？如果不

合理，請你制定一個較合理的銷售定額，并說明理由；

52、小剛為書房買燈，現有兩種燈可供選擇，其中一種是9瓦（0.009千瓦）的節能燈，售價49

元/盞；另一種是40瓦（0.04千瓦）的白熾燈，售價18元/盞。假設兩種燈的照明亮度一樣，使用

壽命都可以達到2800小時，并已知小剛家所在地的電價是每千瓦時0.5元。

（1）設照明時間是x小時，設一盞節能燈的費用必和一盞白熾燈的費用力，求出必,必與x之間的

函數關系式（注：費用=燈的售價+電費）

（2）小剛想在這兩種燈中選一盞。

①當照明時間是多少時，使用兩種燈的費用一樣多？

②照明時間是在什么范圍內，選用白熾燈的費用最低?

③照明時間是在什么范圍內，選用節能燈的費用最低?

(3)小剛想在這兩種燈中選購兩盞。

假定照明時間是3000小時，使用壽命就是2800小時。請你幫他設計一種費用最低的選燈方案，并

說明理由。

答案：

一、填空題

1)、4.5X1052)、-2,±V23)、<4)、25)、0

6)、a(b-V2)(b+V2)7)、18)、-1(x(39)、x=5

10)、Wx(〃+1)=四+5+1)(〃為正整數)

nn

11)、xw212)、y=13)、(-,0),(0,2)>-14)、y=0.15x+24,(X>0)、98,

x55

3.33

15)、增大16)、y=2(x-3)2-217)、y=(x-2)2+418)、519)、31

20)、某校初中三年級240名學生的身高，一名學生的身高，某校初中三年級40名

學生的身高

21)、(-1,-2)(1,2)(1,-2)22)、-2〈加〈123)、124)、(x-l-V3)(x-l+V3)

25)、±V226)、-1,227)、628)、-5,329)、—,-30、乙

102

二、選擇題

31、B32、D33、A34、C35、B36、C37、C38、B39、B

40、C4kB42、C

三、解答題

17AAA

43)、444)、-45)、46)、=

a255

47)、⑴y=1.6x+ll(2)當高為4.20cm時，y=42X1.6+11=78.2它們是配套的

48)、依題意得：A(20,16)B(0,40)設丁=左。-20)2+16/.40=^(0-20)2+16

k=0.06歹=0.06(0-20f+16

49)、解：設第一季度生產甲機器x臺，乙機器y臺

?x+y=480解得.[x=220

10%x+20%y=554-480'[y=260

答：甲機器220臺，乙機器260臺。

50、解：設每天用電量為x度。

110(x+2))2530

H0(x-2)<2200

解得：21〈x422

51、(1)平均數：340中位數：210眾數：210,150

(2)不合理；因為銷售額等達到320件的人只有2人，還有13人不能達到。可以

把銷售額定為210件。因為中位數為210,眾數為210,說明有大多數的人可以達到。

52、1)yt-49+0.0045%,y2-18+0.02x

2)①由乂=%,解得x=2000;②由%>為,解得x<2000;③由M<為，解得x>2000;

3)如果選用兩盞節能燈，則費用是111.5元；如果選用兩盞白熾燈，則費用是96元;

如果選用一盞節能燈和一盞白熾燈，由(2)可知，當照明時間大于2000小時時，

用節能燈比白熾燈費用低，所以節能燈用完2800小時時，費用最低，費用是83.6元。

因此，因選一盞燈，且節能燈使用2800小時，白熾燈使用200小時費用最低。

2002年全國初中數學聯合競賽試卷

(2002年4月21日8：30—10：30)

一、選擇題(本題4