§4數列在日常經濟生活中的應用學習目標1.能夠利用等差數列、等比數列解決一些實際問題.2.了解“零存整取”，“定期自動轉存”及“分期付款”等日常經濟行為的含義．知識點一單利、復利思考1第一月月初存入1000元，月利率0.3%，按單利計息，則每個月所得利息是否相同？答案按單利計息，上一個月的利息在下一個月不再計算利息，故每個月所得利息是一樣的．思考2第一月月初存入1000元，月利率0.3%，按復利計息，則每個月所得利息是否相同？答案不同．因為按復利計息，上一個月的本金和利息就成為下一個月的本金，所以每個月的利息是遞增的．梳理一般地，(1)單利是指：僅在原有本金上計算利息，對本金所產生的利息不再計算利息．利息按單利計算，本金為a元，每期利率為r，存期為x，則本利和為a(1＋rx)．(2)復利是指把上期末的本利和作為下一期的本金，在計算時每一期的本金是不同的．利息按復利計算，本金為a元，每期利率為r，存期為x，則本利和a(1＋r)x.知識點二數列應用問題的常見模型1．整存整取定期儲蓄一次存入本金金額為A，存期為n，每期利率為p，到期本息合計為an，則an＝A(1＋np)．其本質是等差數列已知首項和公差求第n項問題．2．定期存入零存整取儲蓄每期初存入金額A，連存n次，每期利率為p，則到第n期末時，應得到本息合計為：nA＋eq\f(nn＋1,2)Ap.其本質為已知首項和公差，求前n項和問題．3．分期付款問題貸款a元，分m個月將款全部付清，月利率為r，各月所付款額和貸款均以相同利率以復利計算到貸款全部還清為止．其本質是貸款按復利整存整取，還款按復利零存整取，到貸款全部還清時，貸款本利合計＝還款本利合計．1．復利在第二次計息時，將上一次的本利和當作本金．(√)2．增長率＝eq\f(增長量,增長前的量).(√)3．同一筆錢，相同的利率，用單利計息和用復利計息收益是一樣的．(×)類型一等差數列模型例1第一年年初存入銀行1000元，年利率為0.72%，那么按照單利，第5年末的本利和為________元．考點等差數列的應用題題點等差數列的應用題答案1036解析設各年末的本利和為{an}，由an＝a(1＋nr)，其中a＝1000，r＝0.72%，∴a5＝1000×(1＋5×0.72%)＝1036(元)．即第5年末的本利和為1036元．反思與感悟把實際問題轉化為數列模型時，一定要定義好數列，并確認該數列的基本量包括首項，公比(差)，項數等．跟蹤訓練1李先生為今年上高中的兒子辦理了“教育儲蓄”．從8月1號開始，每個月的1號都存入100元，存期三年，已知當年“教育儲蓄”存款的月利率是2.7‰.問到期時，李先生一次可支取本息多少元？考點等差數列的前n項和應用題題點等差數列前n項和應用題解設第n個月存入的100元到期利息為an，則a1＝100×2.7‰×36，{an}是公差為100×2.7‰的等差數列．∴數列{an}的前36項和S36＝36a1＋eq\f(36×35,2)d＝36×100×2.7‰×36＋18×35×100×2.7‰＝179.82，3年共存入本金100×36＝3600(元)．∴到期一次可支取3600＋179.82＝3779.82(元)．類型二等比數列模型例2現存入銀行8萬元，年利率為2.50%，若采用1年期自動轉存業務，則5年末的本利和是________萬元．考點等比數列的應用題題點等比數列的應用題答案8×1.0255解析定期自動轉存屬于復利問題，設第n年末本利和為an，則a1＝8＋8×0.025＝8×(1＋0.025)，a2＝a1＋a1×0.025＝8×(1＋0.025)2，a3＝a2＋a2×0.025＝8×(1＋0.025)3，∴a5＝8×(1＋0.025)5，即5年末的本利和是8×1.0255.反思與感悟在建立模型時，如果一時搞不清數列的遞推模式，可以先依次計算前幾項，從中尋找規律．跟蹤訓練2銀行一年定期儲蓄存款年息為r，按復利計算利息；三年定期儲蓄存款年息為q，按單利計算利息．銀行為吸收長期資金，鼓勵儲戶存三年定期的存款，那么q的值應大于________．考點等比數列的應用題題點等比數列的應用題答案eq\f(1,3)[(1＋r)3－1]解析設儲戶開始存入的款數為a，由題意得，a(1＋3q)>a(1＋r)3，∴q>eq\f(1,3)[(1＋r)3－1]．類型三分期付款例3用分期付款的方式購買價格為25萬元的住房一套，如果購買時先付5萬元，以后每年付2萬元加上欠款利息．簽訂購房合同后1年付款一次，再過1年又付款一次，直到還完后為止，商定年利率為10%，則第5年該付多少元？購房款全部付清后實際共付多少元？考點等差數列的前n項和應用題題點等差數列前n項和應用題解購買時先付5萬元，余款20萬元按題意分10次分期還清，每次付款數組成數列{an}，則a1＝2＋(25－5)·10%＝4(萬元)；a2＝2＋(25－5－2)·10%＝3.8(萬元)；a3＝2＋(25－5－2×2)·10%＝3.6(萬元)，…，an＝2＋[25－5－(n－1)·2]·10%＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(n－1,5)))(萬元)(n＝1,2，…，10)．因而數列{an}是首項為4，公差為－eq\f(1,5)的等差數列．a5＝4－eq\f(5－1,5)＝3.2(萬元)．S10＝10×4＋eq\f(10×10－1×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5))),2)＝31(萬元)．因此第5年該付3.2萬元，購房款全部付清后實際共付36萬元．反思與感悟建立模型離不開準確理解實際問題的運行規則．不易理解時就先試行規則，從中觀察歸納找到規律．跟蹤訓練3某企業在今年年初貸款a萬元，年利率為γ，從今年年末開始每年償還一定金額，預計5年還清，則每年應償還()A.eq\f(a1＋γ,1＋γ5－1)萬元 B.eq\f(aγ1＋γ5,1＋γ5－1)萬元C.eq\f(aγ1＋γ5,1＋γ4－1)萬元 D.eq\f(aγ,1＋γ5)萬元考點等比數列的前n項和應用題題點等比數列的前n項和應用題答案B解析根據已知條件知本題屬于分期付款問題，設每年應償還x萬元，則x[(1＋γ)4＋(1＋γ)3＋…＋1]＝a(1＋γ)5，∴x·eq\f(1－1＋γ5,1－1＋γ)＝a(1＋γ)5故x＝eq\f(aγ1＋γ5,1＋γ5－1)(萬元).1．一個蜂巢里有1只蜜蜂，第1天它飛出去找回了5個小伙伴；第2天，6只蜜蜂飛出去，各自找回了5個伙伴，…，如果這個找伙伴的過程斷續下去，第6天所有的蜜蜂都歸巢后，蜂巢中一共有蜜蜂()A．65只B．66只C．216只D．36只考點等比數列的應用題題點等比數列的應用題答案B解析設第n天蜜蜂飛出蜂巢中共有an只蜜蜂，則a1＝1，a2＝5a1＋a1＝6a1，a3＝5a2＋a2＝6a2，…，∴{an}是首項為1，公比為6的等比數列．∴a7＝a1·q7－1＝66.2．某種細胞開始時有2個，1小時后分裂成4個并死去1個，2小時后分裂成6個并死去1個，3小時后分裂成10個并死去1個，……，按照這種規律進行下去，6小時后細胞的存活數是()A．32B．31C．64D．65考點等比數列的應用題題點等比數列的應用題答案D解析可遞推下去，4小時后分裂成18個并死去一個，5小時后分裂成34個并死去一個；6小時后分裂成66個并死去一個，65個存活．3．一群羊中，每只羊的重量數均為整千克數，其總重量為65千克，已知最輕的一只羊重7千克，除去一只10千克的羊外，其余各只羊的千克數恰構成一等差數列，則這群羊共有()A．6只B．5只C．8只D．7只考點等差數列的前n項和應用題題點等差數列前n項和應用題答案A解析依題意除去一只羊外，其余n－1只羊的重量從小到大依次排列構成等差數列．設a1＝7，d>0，Sn－1＝65－10＝55，∴(n－1)a1＋eq\f(n－1n－2,2)d＝55，即7(n－1)＋eq\f(n－1n－2d,2)＝55，∴(n－1)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(7＋\f(n－2d,2)))＝55.∵55＝11×5且(n－1)為正整數，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(7＋\f(n－2d,2)))為正整數．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n－1＝5，,7＋\f(n－2,2)d＝11.))解得n＝6.1．數列應用問題的常見模型(1)一般地，如果增加(或減少)的量是一個固定的具體量時，那么該模型是等差模型，增加(或減少)的量就是公差，其一般形式是：an＋1－an＝d(d為常數)．(2)如果增加(或減少)的百分比是一個固定的數時，那么該模型是等比模型．(3)如果容易找到該數列任意一項an＋1與它的前一項an(或前幾項)間的遞推關系式，那么我們可以用遞推數列的知識求解問題.2．數列綜合應用題的解題步驟(1)審題——弄清題意，分析涉及哪些數學內容，在每個數學內容中，各是什么問題.(2)分解——把整個大題分解成幾個小題或幾個“步驟”，每個小題或每個小“步驟”分別是數列問題、函數問題、解析幾何問題、不等式問題等．(3)求解——分別求解這些小題或這些小“步驟”，從而得到整個問題的解答．(4)還原——將所求結果還原到實際問題中．一、選擇題1．夏季高山上的氣溫從山腳起每升高100米降低0.7度，已知山腳氣溫為26度，山頂氣溫為14.1度，那么此山相對山腳的高度為()A．1600米 B．1700米C．1800米 D．1900米考點等差數列的應用題題點等差數列的應用題答案B解析從山腳到山頂氣溫的變化成等差數列，首項為26，末項為14.1，公差為－0.7，設數列的項數為n，則14.1＝26＋(n－1)×(－0.7)，解得n＝18，所以山的高度為h＝(18－1)×100＝1700(米)．2．通過測量知道，溫度每降低6℃，某電子元件的電子數目就減少一半．已知在零下34℃時，該電子元件的電子數目為3個，則在室溫27℃時，該元件的電子數目接近()A．860個 B．1730個C．3072個 D．3900個考點等比數列的應用題題點等比數列的應用題答案C解析由題設知，該元件的電子數目變化為等比數列，且a1＝3，q＝2，由27－(－34)＝61，eq\f(61,6)＝10eq\f(1,6)，可得，a11＝3·210＝3072，故選C.3．一個卷筒紙，其內圓直徑為4cm，外圓直徑為12cm，一共卷60層，若把各層都視為一個同心圓，π＝3.14，則這個卷筒紙的長度為(精確到個位)()A．14m B．15mC．16m D．17m考點等差數列的前n項和應用題題點等差數列前n項和應用題答案B解析紙的厚度相同，且各層同心圓直徑成等差數列，則l＝πd1＋πd2＋…＋πd60＝60π·eq\f(4＋12,2)＝480×3.14＝1507.2(cm)≈15m，故選B.4．某放射性物質的質量每天衰減3%，若此物質衰減到其質量的一半以下，則至少需要的天數是(參考數據lg0.97＝－0.0132，lg0.5＝－0.3010)()A．22 B．23C．24 D．25考點等比數列的應用題題點等比數列的應用題答案B解析依題意有(1－3%)n<0.5，所以n>eq\f(lg0.5,lg0.97)≈22.8，故選B.5．某人從2009年1月1日起，且以后每年1月1日到銀行存入a元(一年定期)，若年利率r保持不變，且每年到期后存款均自動轉為新一年定期，至2015年1月1日將所有存款及利息全部取回，他可取回的錢數(單位為元)為()A．a(1＋r)7B.eq\f(a,r)[(1＋r)7－(1＋r)]C．a(1＋r)8D.eq\f(a,r)[(1＋r)8－(1＋r)]考點等比數列的前n項和應用題題點等比數列的前n項和應用題答案B解析2009年存入錢為a元，2010年本息和為a＋a(1＋r)，2011年本息和為a＋a(1＋r)＋a(1＋r)2，2012年本息和為a＋a(1＋r)＋a(1＋r)2＋a(1＋r)3，2013年本息和為a＋a(1＋r)＋a(1＋r)2＋a(1＋r)3＋a(1＋r)4，2014年本息和為a＋a(1＋r)＋a(1＋r)2＋a(1＋r)3＋a(1＋r)4＋a(1＋r)5，2015年本息和為a(1＋r)＋a(1＋r)2＋a(1＋r)3＋a(1＋r)4＋a(1＋r)5＋a(1＋r)6，故選B.6．某廠在2010年年底制定生產計劃，要使2020年年底的總產量在原有基礎上翻兩番(變為原來的四倍)，則年平均增長率為()A．－1B．－1C．－1D．－1考點等比數列的應用題題點等比數列的應用題答案A解析設年增長率為x,2010年總產量為1，到2020年年底翻兩番后的總產量為4，故1·(1＋x)10＝4，∴x＝－1.二、填空題7．小王每月除去所有日常開支，大約結余a元．小王決定采用零存整取的方式把余錢積蓄起來，每月初存入銀行a元，存期1年(存12次)，到期取出本息和．假設一年期零存整取的月利率為r，每期存款按單利計息．那么，小王存款到期利息為________元．考點等差數列的前n項和應用題題點等差數列前n項和應用題答案78ar解析依題意得，小王存款到期利息為12ar＋11ar＋10ar＋…＋3ar＋2ar＋ar＝78ar.8．據某校環保小組調查，某區垃圾量的年增長率為b,2009年產生的垃圾量為a噸，由此預測，該區下一年的垃圾量為________噸，2016年的垃圾量為________噸．考點等比數列的應用題題點等比數列的應用題答案a(1＋b)a(1＋b)7解析2009年產生的垃圾量為a噸，下一年的垃圾量在2009年的垃圾量的基礎之上增長了ab噸，所以下一年的垃圾量為a(1＋b)噸；2016年是從2009年起再過7年，所以2016年的垃圾量是a(1＋b)7噸．9．某彩電價格在去年6月份降價10%之后經10,11,12三個月連續三次回升到6月份降價前的水平，則這三次價格平均回升率是________．考點等比數列的應用題題點等比數列的應用題答案eq\r(3,\f(10,9))－1解析設6月份降價前的價格為a，三次價格平均回升率為x，則a×90%×(1＋x)3＝a，∴1＋x＝eq\r(3,\f(10,9))，x＝eq\r(3,\f(10,9))－1.10．某大樓共有20層，有19人在第1層上了電梯，他們分別要去第2層至第20層，每層1人，而電梯只允許停1次，可只使1人滿意，其余18人都要步行上樓或下樓，假設乘客每向下走1層的不滿意度為1，每向上走一層的不滿意度為2，所有人的不滿意度之和為S，為使S最小，電梯應當停在________層．考點等差數列的前n項和應用題題點等差數列前n項和應用題答案14解析設停在第x層，則S＝[1＋2＋…＋(20－x)]×2＋[1＋2＋…＋(x－2)]＝eq\f(3x2－85x,2)＋421，∴當x＝eq\f(85,6)時取最小值，而x∈{2,3，…，20}，∴當x＝14時取最小值．三、解答題11．家用電器一件，現價2000元，實行分期付款，每期付款數相同，每期為一月，購買后一個月付款一次，每月付款一次，共付12次，購買后一年還清，月利率為0.8%，按復利計算，那么每期應付款多少？(1.00812＝1.1)．考點等比數列的前n項和應用題題點等比數列的前n項和應用題解方法一設每期應付款x元．第1期付款與到最后一次付款所產生利息之和為x(1＋0.008)11(元)．第2期付款與到最后一次付款所產生利息之和為x(1＋0.008)10(元)，…，第12期付款沒有利息．所以各期付款連同利息之和為x(1＋1.008＋…＋1.00811)＝eq\f(1.00812－1,1.008－1)x，又所購電器的現價及其利息之和為2000×1.00812，于是有eq\f(1.00812－1,1.008－1)x＝2000×1.00812，解得x＝eq\f(16×1.00812,1.00812－1)＝176(元)．即每期應付款176元．方法二設每期應付款x元，則第1期還款后欠款2000×(1＋0.008)－x第2期還款后欠款(2000×1.008－x)×1.008－x＝2000×1.0082－1.008x－x，…，第12期還款后欠款2000×1.00812－(1.00811＋1.00810＋…＋1)x，第12期還款后欠款應為0，所以有2000×1.00812－(1.00811＋1.00810＋…＋1)x＝0.∴x＝eq\f(2000×1.00812,\f(1.00812－1,1.008－1))＝176(元)．即每期應還款176元．12．假設某市2009年新建住房400萬平方米，其中有250萬平方米是中低價房．預計在今后的若干年內，該市每年新建住房面積平均比上一年增長8%.另外，每年新建住房中，中低價房的面積均比上一年增加50萬平方米．那么，到哪一年年底(1)該市歷年所建中低價房的累計面積(以2009年為累計的第一年)將首次不少于4750萬平方米？(2)當年建造的中低價房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%？(1.085≈1.47)考點等差數列的前n項和應用題題點等差數列前n項和應用題解(1)設中低價房面積構成數列{an}，由題意可知{an}是等差數列．其中a1＝250，d＝50，則Sn＝250n＋eq\f(nn－1,2)×50＝25n2＋225n.令25n2＋225n≥4750，即n2＋9n－190≥0，而n是正整數，∴n≥10.∴到2018年年底，該市歷年所建中低價房的累計面積將首次不少于4750萬平方米．(2)設新建住房面積構成數列{bn}，由題意可知{bn}是等比數列．其中b1＝400，q＝1.08，則bn＝400×1.08n－1.由題意可知an>0.85bn，有250＋(n－1)·50>400×1.08n－1×0.85.由1.085≈1.47解得滿足上述不等式的最小正整數n＝6，∴到2014年年底，當年建造的中低價房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%.13．為了加強環保建設，提高社會效益和經濟效益，某市計劃用若干年時間更換10000輛燃油型公交車．每更換一輛新車，則淘汰一輛舊車，更換的新車為電力型車和混合動力型車．今年初投入了電力型公交車128輛，混合動力型公交車400輛，計劃以后電力型車每年的投入量比上一年增加50%，混合動力型車每年比一年多投入a輛．設an，bn分別為第n年投入的電力型公交車、混合動力型公交車的數量，設Sn，Tn分別為n年里投入的電力型公交車、混合動力型公交車的總數量．(1)求Sn，Tn，并求n年里投入的所有新公交車的總數Fn；(2)該市計劃用7年時間完成全部更換，求a的最小值．考點等比數列的前n項和應用題題點等比數列的前n項和應用題解(1)依題意知，數列{an}是首項為128，公比為1＋50%＝eq\f(3,2)的等比數列；數列{bn}是首項為400，公差為a的等差數列，所以數列{an}的前n項和Sn＝eq\f(128\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))n)),1－\f(3,2))＝256·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))n－1))，數列{bn}的前n項和Tn＝400n＋eq\f(nn－1,2)a.所以經過n年，該市更換的公交車總數Fn＝Sn＋Tn＝256eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))n－1))＋400n＋eq\f(nn－1,2)a.(2)易知Fn是關于n的單調遞增函數，依題意得F7≥10000，即256eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))7－1))＋400×7＋eq\f(7×6,2)a≥10000，解得a≥eq\f(3082,21)，又a∈N＋，所以a的最小值為147.四、探究與拓展14.如圖是畢達哥拉斯的生長程序：正方形上連接著一個等腰直角三角形，等腰直角三角形的直角邊上再連接正方形，…，設起始正方形的邊長為eq\f(\r(2),2)，若共有1023個正方形，則最小正方形的邊