專業資料八年級數學培優專題訓練（二）探索三角形全等的條件1、一張長方形紙片沿對角線剪開，得AAECE到兩張三角形紙片，再將這兩張紙片擺PNM成如下圖形式，使點、、、在同BFCD一條直線上.FBDBDFC⑴求證：AB⊥ED；⑵若PB＝BC，請找出圖中與此條件有關的一對全等三角形，并給予證明BE2、如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°AD平分∠BAC，BE⊥ADD交AC的延長線于，E為垂足，則結論：①AD＝BF；②CF＝CD；③AC＋CD＝AB；④BE＝CF；⑤BF＝2BE.其中正確的是（）FCAWORD完美格式下載可編輯專業資料E3、如圖，點C在線段AB上，DA⊥AB，EB⊥AB，FC⊥AB，且DA＝BC，EBD＝AC，FC＝AB，∠AFB＝51°，求∠DFC的度數.CABFWORD完美格式下載可編輯專業資料4、如圖，四邊形ABCD中，AB∥CDAD∥BC，O為對角線AC的中點，過點OA作一條直線分別與AB、交于點、，點、F在直線、N上，且EBMOOE＝OF.NDFC⑴圖中共有幾對全等三角形，請把它們都寫下來；⑵求證：∠MAE＝∠NCF5、在△ABC中，高所在直線AD和BE交于H點，且BH＝AC，則∠ABC＝_____________.6、下列三個判斷：⑴有兩邊及其中一邊上的高對應相等的兩個三角形全等；⑵有兩邊及第三邊上的高對應相等的兩個三角形全等；⑶一邊及其它兩邊上的高對應相等的兩個三角形全等.上述判斷是否正確？若正確，說明理由；若不正確，請舉出反例.WORD完美格式下載可編輯專業資料八年級數學培優專題訓練（三）全等三角形的應用全等三角形常用來轉移線段和角，用它來證明：①線段和角的等量關系②線段和角的和差倍分關系③直線與直線的平行或垂直等位置關系A

P、如圖，已知BD、分別是△ABC的邊AC和AB上的高，點P在DEQBD的延長線上，BP＝ACQ在上，CQ＝AB.試判斷AP與AQ的關系，并證明.BCA、如圖，AD是△ABC的高，E為AC上一點，BE交AD于點，且EFBF＝AC，FD＝CD，求證：BE⊥ACBCDWORD完美格式下載可編輯專業資料EA·阜新中考）如圖,在△ABC中,AB＝AC,AD＝AE,∠BAC＝D∠DAC＝90°.C

B⑴當點D在AC上時,如圖①,線段BD,CE有怎樣的數量和位置關系?①證明你猜想的結論.⑵將圖①中的△ADE繞點A順時針旋轉α角(0°＜α＜90°)，如E

A圖②，線段BD、CE有怎樣的數量關系和位置關系？問明理由.DC

B②WORD完美格式下載可編輯專業資料、在△ABC中，AB＝AC，點D是直線BC上一點（不與、C重A合AD為一邊在AD的右側作△ADEAD＝AEDAE＝∠BAC，E連接CE.⑴如圖①，當點D在線段BC上時，若∠BAC＝90°，則∠BCE＝BDC①_______度.⑵設∠BAC＝α，∠BCE＝βAa、如圖②，當點D在線段BC上移動時，α，β之間有E怎樣的數量關系？請說明理由.b、當點D在直線BC上移動時，α，β之間有怎樣的數CBD②量關系？請直接寫出你的結論.WORD完美格式下載可編輯專八年級數學培優專訓（）輔助線作法之連法在幾何證明中，常通過添加輔助線來構造全等角.常見的添加輔助線方法有：連法、截長補短法、倍長中線法、翻折法、旋轉法以及利用特殊條件構造全等角等等.、如圖，ABC的兩條高BD，CE相交于點，且PD＝PE.CD證明∶AC＝ABPAB

EFAE、已知AB＝DE，BC＝EF，∠＝∠，AF＝CDBD

C求證：AC∥DFWORD完美格式下載專業資料ADOE、如圖，AB交CD于點，AD、CB的延長線相交于點，且OA＝BOC，EA＝∠＝∠C嗎？點O在∠AEC的平分線上嗎？CWORD完美格式下載可編輯專業資料八年級數學培優專題訓練（五）輔助線作法之倍長中線法在題目條件中含有中線的問題，我們常用的輔助線就是將中線延長一倍，其目的是為了得一對全等三角形，將分散的條件集中到一個三角形中去.A、△ABC中，AB＝，AC＝3，求中線AD的取值范圍.BC

DA、如圖，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，又是BC上的中線求證：AB＝ACBCDWORD完美格式下載可編輯專A·襄陽初三模擬）在△ABC中，D是BC上的一點，且CD＝AB，∠BAD＝∠BDA，AE是△ABD的中.BCED求∶AC＝2AEWORD完美格式下載專業資料AABC中，D為BC的中點，DE⊥DF交AB，FEAC于點，F.CB

D求證：BE＋CF＞EF6AD是△ABC的中線，BE交AC于點，AE交AD于點，且AE＝EF.F求證＝BFD

CBWORD完美格式下載可編輯專八年級數學培優專訓（）輔助線作法之截長補短法再證明剩余部分與另一條相等.補短法：把兩條線段中的一條補到另一條線段上去，證明所得新線段與第三條線段相等.、已知AC∥BD，EA，EB分別平分∠CAB和∠DBA，點EDEC在CD上.求證：AB＝AC＋BDABADABCD中，AC平分∠BADCE⊥AB于點AEAB＋AD.E求證∶∠＋∠＝°BCWORD完美格式下載專AD

E、如圖，已知ABC中，∠＝90°，AB＝AC，DAC的中BC

F點，AE⊥BD于，延AE交BC于F.求證：∠ADB＝∠CDFA、如圖，∠＝90°，AC＝BC，AD是∠BAC的角平分.求證∶AC＋CD＝ABBC

D12、如圖，已知AB＝CD＝AE＝BC＋DE＝2，∠ABC＝∠AED＝90°，求五邊ABCDE的面.WORD完美格式下載C專業資料BDA

EWORD完美格式下載可編輯專業資料八年級數學培優專題訓練（七）輔助線作法之利用特殊條件構造全等三角形A2012ABC中，AC＝?AB，AD平分∠BAC，且AD＝BDC求證：CD⊥ACBDWORD完美格式下載可編輯專業資料八年級數學培優專題訓練（八）全等三角形在動態幾何中的運用、(競賽·014·3)如圖，△ABC的邊BC在直線l上，AC⊥BC，且AC＝△的邊FP也在直線l上，邊EF與邊AC重合，且EF＝FP.⑴在圖①中,請你通過觀察、測量、猜想并寫出AB與AP所滿足的數量關系和位置關系;⑵將△EFP沿直線l向左平移到圖②的位置時,EP交AC于點Q,連接AP,BQ.猜想并寫出BQ與AP所滿足的數量關系和位置關系,并證明你的猜想;⑶將△EFP沿直線l向左平移到圖③的位置時,EP的延長線交AC的延長線于點Q,連接AP,BQ.你認為⑵中所猜想的BQ與AP的數量關系和位置關系還成立嗎?若成立,給出證明;若不成立,請說明理由.EAA

EA(E)lQFPBCllPCBFBC(F)PQWORD完美格式下載可編輯專業資料八年級數學培優專題訓練（九）探究角平分線一、知識清單角平分線的定義：從一個角的頂點引出一條射線，把這個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的角平分線.三角形的角平分線定義：三角形的一個角的平分線與這個角的對邊相交，連結這個角的頂點和與對邊交點的線段叫做三角形的角平分線（也叫三角形的內角平分線）.由定義可知，三角形的角平分線是一條線段.角平分線性質:、角平分線上的點，到這個角的兩邊的距離相等.、角平分線分得的兩個角相等，都等于該角的一半.、三角形的三條角平分線交于一點，且到各邊的距離相等，這個點稱為內心.二、方法點撥證明角平分線有兩種方法:一是運用定義證明兩個角相等;二是運用角平分線的判定方法.三、規律清單①遇到角平分線,可從角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線段(圖1).②遇到角平分線,常可利用翻折法或截長補短法解題(圖2).③有兩條角平分線(內角或外角)交于一點,則連接該點與三角形第三個頂點的線段會平分一個內角或外角(圖3).④有垂直于角平分線的線段,則延長這條線段以利用三線合一解題(圖4).WORD完美格式下載可編輯專業資料⑤遇到角內的一點到角的兩邊有垂線段時,就連接這點與角的頂點,看能否平分已知角(圖5).⑥遇到有多條角平分線時,可嘗試用整體的思想解題(圖6).⑦有翻折條件時,除注意全等的結論,還應關注折線就是角平分線、是對稱軸（如圖7）.⑧角平分線、平行線、等腰三角形三個條件中出現任意兩個,常可直接得到另一個(如圖8）.AAAC

FD

BAAGD

EDB圖1DCBC圖2BC圖3DBCWORD完美格式下載可編輯專業資料A

ACEF

F圖5FBED

CBCD圖4EADBA

A1C'D'A1AP

DD

FDEF四、真題訓練2

23B＋2＋＝90°BE圖7CBCBDCC圖61＋2＝90?B圖8A(2011·鄂州·競賽18·重慶PABC的外角∠ACD的平分線CP與內角∠ABCDB

C的平分線BP相交于點，若∠BPC＝40°，則∠CAP＝_____________.DC、(競賽·019)如圖，∠＝∠＝90°M是BC的中點，DM平分∠ADC.M求證:AM平分∠DABABWORD完美格式下載可編輯專業資料(競賽·019)如圖,在△ABC中,∠BAC＝90°,AB＝平分∠AEABC,CE⊥BE.D12求證＝BDBCA、如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD＝CD求證：∠＝∠CBCDA在Rt△ABC＝90°AC＝BCAD是∠BAC的平分線，交BC于，DE⊥AB于，若AB＝10cm，則△DBE的周長是多少？ECB

DWORD完美格式下載可編輯專業資料A，恩施中考）AD是△ABC的角平分線，DF⊥AB，垂足EG

F為DE＝DGADG和△AED的面積分別為50和39EDF的面BCD積為多少？WORD完美格式下載可編輯專業資料、如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于，ADF⊥AC于F.EG

C求證：BE＝CFBFDAF、在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，、F分別為AB、AC上的點，EB且∠EDF＋∠BAF＝°DC⑴求證：DE＝DF⑵如果把最后一個條件改為AE＞AF，且∠AED＋∠AFD＝180°，那么結論還成立嗎？BF、如圖，已知AB＝AC，BE⊥AC于，CF⊥AB于，BE與CF交于點DDAC

E求證：點D在∠BAC的平分線上.WORD完美格式下載可編輯專業資料10、如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC平分∠BAD，AB＞AD，下A列結論正確的是()DA.AB－AD＞CB－CDBB.AB－AD＝CB－CDCC.AB－AD＜CB－CDD.AB－CD與CB－CD的大小關系不確定A11）如圖，已知△中，∠＝60°，∠BAC，∠的平分線AD，相交于點O.EO求證：DC＋AE＝ACCB

DWORD完美格式下載可編輯專業資料A12、(競賽·019)如圖，