數(shù)列的綜合應(yīng)用時(shí)間：45分鐘分值：100分一、選擇題(每小題5分，共30分)1．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n－1，則此數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)的前n項(xiàng)和是()\f(1,3)(2n＋1－1) \f(1,3)(2n＋1－2)\f(1,3)(22n－1) \f(1,3)(22n－2)解析：由Sn＝2n－1，得an＝2n－1，∴數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．∴此數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)的前n項(xiàng)和為eq\f(a1[1－(q2)n],1－q2)＝eq\f(1－22n,1－4)＝eq\f(1,3)(22n－1)．答案：C2．已知a，b，a＋b成等差數(shù)列，a，b，ab成等比數(shù)列，且0<logm(ab)<1，則m的取值范圍是()A．(0,1) B．(1，＋∞)C．(0,8) D．(8，＋∞)解析：∵a，b，a＋b成等差數(shù)列，∴2b＝2a＋b，b＝2a∵a，b，ab成等比數(shù)列，∴a≠0，b≠0，且b2＝a2b，b＝a2.②由①②知a2＝2a，a＝2，b＝4，ab∵0<logm(ab)＝logm8<1，∴m>8.答案：D3．一套共7冊(cè)的書計(jì)劃每兩年出一冊(cè)，若出完全部，各冊(cè)書公元年代之和為13958，則出齊這套書的年份是()A．1994 B．1996C．1998 D．2000解析：設(shè)出齊這套書的年份是x，則(x－12)＋(x－10)＋(x－8)＋…＋x＝13958，∴7x－eq\f(7(12＋0),2)＝13958，x＝2000.答案：D4．(2022·寧夏銀川一模)已知正數(shù)組成的等差數(shù)列{an}的前20項(xiàng)的和為100，那么a7·a14的最大值為()A．25 B．50C．100 D．不存在解析：由S20＝100得a1＋a20＝10，∴a7＋a14＝10.又a7>0，a14>0，∴a7·a14≤(eq\f(a7＋a14,2))2＝25.答案：A5．(2022·河南鄭州一模)數(shù)列{an}中，a1＝1，an，an＋1是方程x2－(2n＋1)x＋eq\f(1,bn)＝0的兩個(gè)根，則數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn等于()\f(n,2n＋1) \f(n,n＋1)\f(1,2n＋1) \f(1,n＋1)解析：∵an，an＋1是方程x2－(2n＋1)x＋eq\f(1,bn)＝0的兩個(gè)根，∴an＋an＋1＝2n＋1，an·an＋1＝eq\f(1,bn).∴bn＝eq\f(1,an·an＋1).又a1＝1，∴a2＝2，a3＝3，…，an＝n.∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝eq\f(1,1×2)＋eq\f(1,2×3)＋…＋eq\f(1,n(n＋1))＝1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)＝1－eq\f(1,n＋1)＝eq\f(n,n＋1).答案：B6．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝3n2－(9＋a)n＋6＋2a(其中a為常數(shù))，若a6與a7兩項(xiàng)中至少有一項(xiàng)是an的最小值，則實(shí)數(shù)a()A．B．C．{a|27≤a≤33，a∈N*}D．{a|24≤a≤36，a∈N*}解析：設(shè)f(x)＝3x2－(9＋a)x＋6＋2a，其對(duì)稱軸為x＝eq\f(9＋a,6)，當(dāng)eq\f(11,2)≤eq\f(9＋a,6)≤eq\f(15,2)時(shí)，即24≤a≤36時(shí)，a6與a7至少有一項(xiàng)是an的最小值．答案：A二、填空題(每小題5分，共20分)7．有這樣一首詩：“有個(gè)學(xué)生資性好，一部《孟子》三日了，每日添增一倍多，問君每日讀多少？”(注：《孟子》全書共34685字，“一倍多”指一倍)，由此詩知該君第二日讀的字?jǐn)?shù)為__________．解析：設(shè)第一日讀的字?jǐn)?shù)為a，由“每日添增一倍多”得此數(shù)列是以a為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，可求得三日共讀的字?jǐn)?shù)為eq\f(a(1－23),1－2)＝7a＝34685，解得a＝4955，∴2a＝9910，即該君第二日讀的字?jǐn)?shù)為9910.答案：99108．在等差數(shù)列{an}中，滿足3a4＝7a7，且a1>0，Sn是數(shù)列{an}前n項(xiàng)的和，若Sn取得最大值，則解析：設(shè)公差d，由題設(shè)3(a1＋3d)＝7(a1＋6d)，所以d＝－eq\f(4,33)a1<0.解不等式an>0，即a1＋(n－1)(－eq\f(4,33)a1)>0，所以n<eq\f(37,4)，則n≤9，當(dāng)n≤9時(shí)，an>0，同理可得n≥10時(shí)，an<0.故當(dāng)n＝9時(shí)，Sn取得最大值．答案：99．已知數(shù)列{an}滿足eq\f(an＋1,an)＝eq\f(n＋2,n)(n∈N*)，且a1＝1，則an＝__________.解析：本題考查利用遞推公式確定數(shù)列通項(xiàng)公式．據(jù)已知有：n≥2時(shí)利用累乘法得：an＝a1·eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·…·eq\f(an,an－1)＝1·eq\f(3,1)·eq\f(4,2)·eq\f(5,3)·…·eq\f(n,n－2)·eq\f(n＋1,n－1)＝eq\f(n(n＋1),2)，又驗(yàn)證知a1＝1也適合，故an＝eq\f(n(n＋1),2).答案：eq\f(n(n＋1),2)10．設(shè)函數(shù)f(x)定義如下表，數(shù)列{xn}滿足x0＝5，且對(duì)任意自然數(shù)均有xn＋1＝f(xn)，則x2022的值為__________.x12345f(x)41352解析：∵x0＝5，xn＋1＝f(xn)，∴x1＝f(x0)＝f(5)＝2，x2＝f(x1)＝f(2)＝1，x3＝f(x2)＝f(1)＝4，x4＝f(x3)＝f(4)＝5.從而知數(shù)列{xn}是以4為周期的數(shù)列，而x2022＝f(x2022)＝f(x1)＝f(2)＝1.答案：1三、解答題(共50分)11．(15分)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a3＝5，S15＝225；數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，b3＝a2＋a3，b2b5＝128.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an及數(shù)列{bn}的前8項(xiàng)和T8；(2)求使得eq\f(1,an－7)>eq\f(1,4)成立的正整數(shù)n.解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由已知a1＋2d＝5,15a1＋eq\f(1,2)×15×14d＝225，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋2d＝5，,a1＋7d＝15，))解得d＝2，a1＝1，所以an＝2n－1.設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q，因?yàn)閎3＝a2＋a3，所以b1q2＝8，因?yàn)閎2b5＝128，所以beq\o\al(2,1)q5＝128，解得q＝2，b1＝2，T8＝eq\f(2×(1－28),1－2)＝510.(2)eq\f(1,an－7)>eq\f(1,4)即eq\f(1,2n－8)>eq\f(1,4)，解之得4<n<6，所以n＝5.12．(15分)(2022·福建泉州一模)某城市決定對(duì)城區(qū)住房進(jìn)行改造，在新建住房的同時(shí)拆除部分舊住房．第一年建新住房am2，第二年到第四年，每年建設(shè)的新住房比前一年增長100%，從第五年起，每年建設(shè)的新住房都比前一年減少am2；已知舊住房總面積為32am2(1)若10年后該城市住房總面積正好比改造前的住房總面積翻一番，則每年拆除的舊住房面積是多少m2?(2)求前n(1≤n≤10且n∈N)年新建住房總面積Sn.解：(1)10年后新建住房總面積為a＋2a＋4a＋8a＋7a＋6a＋5a＋4a設(shè)每年拆除的舊住房為xm2，則42a＋(32a－10x)＝2×解得x＝a，即每年拆除的舊住房面積是am2.(2)設(shè)第n年新建住房面積為a，則an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2n－1a，1≤n≤4，,(12－n)a，5≤n≤10.))所以當(dāng)1≤n≤4時(shí)，Sn＝(2n－1)a；當(dāng)5≤n≤10時(shí)，Sn＝a＋2a＋4a＋8a＋7a＋6a＋…＋(12－n)a＝15a＋eq\f((n－4)(19－n)a,2)＝eq\f((23n－n2－46)a,2)，故Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1((2n－1)a，1≤n≤4且n∈N，,\f((23n－n2－46),2)a，5≤n≤10且n∈N.))13．(20分)(2022·江西高考)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}，a1＝a，a2＝b，且對(duì)滿足m＋n＝p＋q的正整數(shù)m，n，p，q都有eq\f(am＋an,(1＋am)(1＋an))＝eq\f(ap＋aq,(1＋ap)(1＋aq)).(1)當(dāng)a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(4,5)時(shí)，求通項(xiàng)an；(2)證明：對(duì)任意a，存在與a有關(guān)的常數(shù)λ，使得對(duì)于每個(gè)正整數(shù)n，都有eq\f(1,λ)≤an≤λ.解：(1)由eq\f(am＋an,(1＋am)(1＋an))＝eq\f(ap＋aq,(1＋ap)(1＋aq))得eq\f(a1＋an,(1＋a1)(1＋an))＝eq\f(a2＋an－1,(1＋a2)(1＋an－1))，將a1＝eq\f(1,2)，a2＝eq\f(4,5)代入上式化簡得an＝eq\f(2an－1＋1,an－1＋2)，所以eq\f(1－an,1＋an)＝eq\f(1,3)·eq\f(1－an－1,1＋an－1).故數(shù)列{eq\f(1－an,1＋an)}為等比數(shù)列，從而eq\f(1－an,1＋an)＝eq\f(1,3n)，即an＝eq\f(3n－1,3n＋1).可驗(yàn)證，an＝eq\f(3n－1,3n＋1)滿足題設(shè)條件．(2)由題設(shè)eq\f(am＋an,(1＋am)(1＋an))的值僅與m＋n有關(guān)，記為bm＋n，則bn＋1＝eq\f(a1＋an,(1＋a1)(1＋an))＝eq\f(a＋an,(1＋a)(1＋an))考察函數(shù)f(x)＝eq\f(a＋x,(1＋a)(1＋x))(x>0)，則在定義域上有f(x)≥g(a)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,1＋a)，a>1,\f(1,2)，a＝1,\f(a,1＋a)，0<a<1))