時間序列的預測第1頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五☆時間序列的預測：根據現在與過去的隨機序列的樣本取值，對未來某一時刻的隨機變量進行估計.☆已知條件：設當前時刻為t，已知序列{Xt}在時刻t及以前的觀察值Xt，Xt-1，Xt-2，…欲對t時刻以后的觀察值Xt+l(l>0)進行預測，稱為以t為原點，向前步長為l的預測，記為(預測值).第2頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五☆預測效果的衡量標準：預測誤差(隨機變量)的方差最小——最小均方誤差預測.預測誤差方差第3頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五線性預測函數預測方差最小原則即使最小.第4頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五☆預測內容：點預測、區間預測.☆預測原理：最小方差預測值由Xt+l的條件期望得出，即第5頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五第一節

平穩時間序列的預測一、

條件期望預測二、適時修正預測第6頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五一、條件期望預測（一）{Xt}的條件期望及性質因為{Xt}具有相關性，所以Xt+l的概率分布為在Xt，Xt-1，…給定條件下的條件分布，從而期望亦為條件期望第7頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五性質1、現在或過去觀察值的條件期望即為其本身（已知的）2、現在或過去擾動的條件期望即為其本身（可計算出）第8頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五3、未來觀察值的條件期望即為其預測值4、未來擾動的條件期望為零第9頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五（二）平穩時間序列的條件期望預測——格林函數形式：1、

模型的傳遞形式：第10頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五2、預測公式：推導第11頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五(4)

Xt+l的置信區間：Xt+l的95%的置信區間為：3、預測誤差：第12頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五序列分解預測誤差預測值第13頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五特點(1)預測步數l越大，則置信區間的寬度越大；(2)與預測原點t無關.注①實際中，可估計出；②一般，近似截取有限項.結論：（1）在X1,X2…Xn條件下預測Xn+l，Xn+l的條件期望與最小均方誤預測的結論是一樣的；（2）最小均方誤預測就是基于現有值的條件期望值.第14頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五（三）平穩時間序列的逆轉形式預測：1、

模型的逆轉形式：第15頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五2、預測公式：推導第16頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五（四）直接從模型入手的預測：第17頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五1、AR(p)模型AR(1)模型的條件期望預測設適合如下AR(1)模型：以t為原點，向前一步預測公式為：第18頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五向前兩步預測公式為：向前L步預測公式為：第19頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五AR(2)模型的條件期望預測設適合如下AR(2)模型：以t為原點，向前一步預測公式為：第20頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五向前兩步預測公式為：向前L步預測公式為：第21頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五AR(p)序列的預測預測值預測方差95％置信區間第22頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五2、MA(q)模型MA(1)模型的條件期望預測設以t為原點，向前一步預測公式為：第23頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五向前兩步預測公式為：向前L步預測公式為：第24頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五MA(q)序列的預測預測值預測方差第25頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五設：向前一步預測：對上式兩端求條件期望得到一步預測值：3、ARMA(p,q)序列預測第26頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五向前兩步預測：對上式兩端求條件期望得到兩步預測值：第27頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五預測值預測方差向前L步預測公式第28頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五（五）預測誤差與白噪聲的關系

時的預測誤差為：亦即：說明ARMA模型中白噪聲項其實就是以為原點，向前一步預測誤差。

由此可推得，向前一步預測誤差的方差其實就是白噪聲項的方差。第29頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五例1、已知某地區每年常駐人口數量近似服從MA(3)模型（單位：萬）：最近3年的常駐人口數量及一步預測數量如下預測未來5年該地區常住人口的95％置信區間年份統計人數預測人數200210411020031081002004105109第30頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五第31頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五第32頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五第33頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五第34頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五第35頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五第36頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五注(1)在預測時，往往給at序列一個初始值，之前的擾動視為零，由此可遞推計算出at.(2)如果把預測值看作的函數，則預測函數的形式是由模型的自回歸部分決定的，滑動平均部分用于確定預測函數中的待定系數，使得預測函數“適應”于觀測數據.第37頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五二、適時修正預測（一）問題的提出以時刻t為原點向前預測，得到

當到時刻t+1時，Xt+1已成為已知，對于t+2,t+3,…時刻的預測是否還用原來的

問題：當有新息加入時，如何修正原有預測？第38頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五修正預測定義所謂的修正預測就是研究如何利用新的信息去獲得精度更高的預測值

方法在新的信息量比較大時——把新信息加入到舊的信息中，重新擬合模型

在新的信息量很小時——不重新擬合模型，只是將新的信息加入以修正預測值，提高預測精度第39頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五（二）適時修正預測第40頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五修正預測原理在舊信息的基礎上，的預測值為假設新獲得一個觀察值，則的修正預測值為修正預測誤差為預測方差為第41頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五（三）含義

當有新息加入時，新的預測值可在舊預測值基礎上，適當修正獲得，修正項為Glat+1，與舊的一步預測誤差有關，系數Gl隨預測超前步數而變化.第42頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五一般情況假設新獲得p個觀察值，則的修正預測值為修正預測誤差為預測方差為第43頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五第二節

非平穩時間序列的預測一、最小均方誤差預測二、指數平滑預測三、預測效果評估四、預測的Eviews實現第44頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五一、最小均方誤差預測雖然均值和二階矩隨時間變化，但過程可由有限的參數完全確定.設模型可逆1、當Xt,Xt-1,…已知時，Xt+l的最優預測由其條件期望給出，即第45頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五2、ARIMA模型的預測公式與ARMA模型有完全相同的形式.第46頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五3、對于不同的模型，Gj的性質各不相同，從而預測的穩定性不同.(1)ARMA:①

系統的記憶性衰減為零，預測值隨著超前步數的增大，也將趨于零(過程的均值).②

預測的有效范圍可由兩條水平線表示.第47頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五第48頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五(2)ARIMA:①

系統的記憶性趨于恒定，預測值隨著超前步數的增大，也將趨于常數.②

預測有效的范圍隨預測步長的增大而增大，預測結果隨時間推移越來越不確定，不再可信.第49頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五第50頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五4、實際預測中，可對SARIMA或ARIMA模型直接考察條件期望，即直接由模型表達式遞推出Xt+l的表達式，等式兩邊求條件期望可得.第51頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五考察如下模型已知ARIMA(1,1,1)模型為

且求的95％的置信區間.

第52頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五等價形式計算預測值第53頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五計算置信區間Green函數值方差95％置信區間第54頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五二、指數平滑預測（一）指數平滑預測1、簡單移動平均法①選一個N，N的大小取決于我們想要研究多遠的過去，并取最近N個觀察值的平均數作為下一個觀察值的預測值.②對Xt~Xt-N+1給定一個相等的權數1/N，對Xt-N及以前的觀察值給一個零權數的加權平均數.第55頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五2、指數平滑法①由于系統對過去記憶的衰減，強調遞減權數，使時間越遠的觀察值，其權數越小.②兩個重要公式③平滑常數的確定是關鍵，保證衰減.第56頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五3、指數平滑預測與ARIMA模型預測的關系①指數平滑預測是ARIMA預測的特例.②ARIMA模型提供非常自然和最優方式預測所需的權數，而移動平均或指數平滑需特別注意權數的個數和形式.③ARIMA預測是最小均方誤差預測，而移動平均或指數平滑不具有這種最優特性.第57頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五※預測精度的一般含義是指預測模型擬合的好壞程度，即由預測模型所產生的模擬值與歷史實際值擬合程度的優劣.

如何提高預測精度是預測研究的一項重要任務.不過，對預測用戶而言，過去的預測精度毫無價值，只有預測未來的精確度才是最重要的.

三、預測效果評估

第58頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五※測定預測精度的方法

平均誤差和平均絕對誤差

平均誤差的公式為：

平均絕對誤差的公式為：

第59頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五

平均相對誤差和平均相對誤差絕對值平均相對誤差的公式為：

平均相對誤差絕對值的公式為：

第60頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五預測誤差的方差和標準差

預測誤差的方差公式為：

預測誤差的標準差公式為：

預測誤差的方差比平均絕對誤差或平均相對誤差絕對值能更好地衡量預測的精確度.第61頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五

假設預測樣本為，T為實際值樣本長度，用和分別表示t期的實際值與預測值.計算出的預測誤差統計結果如下所示：

第62頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五第63頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五RootMeanSquaredError

均方根誤差

MeanAbsoluteError

平均絕對誤差

MeanAbsolutePercentageError

平均相對誤差

TheilInequalityCoefficient

泰爾不等系數

第64頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五

前兩個預測誤差統計量由因變量規模決定.它們應該被作為相對指標來比較同樣的序列在不同模型中的預測結果，誤差越小，該模型的預測能力越強.

后兩個統計值是相對量.泰爾(Theil)不等系數總是處于0和1之間，這里0表示與真實值完全擬合.第65頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五式中分別為和的平均值和標準差，r為和的相關系數.該比值被定義為：

預測均方差可以分解為：第66頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五BiasProportion偏差比

VarianceProportion方差比

CovarianceProportion協方差比

偏差比表明預測均值與序列實際值的偏差程度；方差比表明預測方差與序列實際方差的偏離程度；協方差比衡量非系統誤差的大小.

注意：偏差比、方差比和協方差比之和為1.

如果預測結果好，那么偏差比和方差比應該較小，協方